北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第8讲 二次根式的乘除运算(基础)

二次根式的乘除运算—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.
2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.
【要点梳理】
要点一、二次根式的乘法1.乘法法则：
/（/≥0，/≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
/≥0，/≥0，…../≥0）.
(3)若二次根式相乘的结果能写成/的形式，则应化简，如/.
要点二、二次根式的除法1.除法法则：
/（/≥0，/>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，/≥0，/>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.要点三、分母有理化
1.分母有理化
把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.
2.有理化因式
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用/来确定，如：/，/，/与/等分别互为有理化因式.
②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如/与/，/，/分别互为有理化因式.
要点诠释：
分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
【典型例题】
类型一、二次根式的乘除运算
/1．(1)/×/； 　(2)/×/； (3)/； (4)/；
【答案与解析】(1)/×/=/；
(2)/×/=/=/；(3)/=/=/=2； (4)/=/=/×2=2/.
【总结升华】直接利用//计算即可．
举一反三：【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)/；
(2)/×/=4×/×/=4/×/=4/=8/.
【答案】(1)不正确．改正：/=/＝/×/=2×3=6；(2)不正确．改正：/×/=/×/=/=/=/＝4/.
/2. （2019春?德州校级月考）计算：/．
【思路点拨】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可．
【答案与解析】
解：/
=3×（﹣/）×2/
=﹣/×5
=﹣/．
【总结升华】本题考查了二次根式的乘除混合运算，正确转换成乘法运算是关键．
/3.已知0＜/＜/,化简/.
【答案与解析】原式=/=/=/
【总结升华】/成立的条件是/＞0；若/＜0,则/.
类型二、分母有理化
/4. 把下列各式分母有理化：
/ / /
【思路点拨】找分母有理化因式.
【答案与解析】
（1）/
（2）/
（3）/
【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，///与///，a//与a//，//b与//b都是互为有理化因式.
举一反三：【变式】（2018?科左中旗校级一模）观察下列等式：
①/=/=/﹣1
②/=/=/﹣/
③/=/=/﹣/
……
回答下列问题：
（1）化简：/=　　 ；（n为正整数）
（2）利用上面所揭示的规律计算：/+/+/+…+/+/．
【答案】
解：（1）/=/；
故答案为：/．
（2）/+/+/+…+/+/
=/…+/
=﹣1/．
二次根式的乘除运算—巩固练习（基础）

【巩固练习】
选择题
1.计算/的结果是（ ）
A．/ B./ C./ D./
2.当/＜0, /＜0时，化简/得（ ）
A．/ B.-/ C./ D. /
3.在/中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
4. （2019春?柘城县校级月考）化简/结果正确的是（　　）
A．3/ B．3/ C．17/ D．17﹣12/
5.（2018春?杭州校级月考）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①/?/=1；②/=/；③/÷/=﹣b，其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6. 已知/，化简二次根式/的正确结果为（ ）.
　　A. /　　　　B. /　　　　C. /　　　　D. /
二. 填空题
7..计算：/=____________________________.
8.（2018春?宜兴市校级期中）化简：/=　　 ．
9．计算：(1)/=_______；　(2)/=________.
10.化简：（1）/=_________,(2)/=___________.
11.若/=0，则/=_______________.
12.有如下判断：
（1）/ (2)/=1 (3)/
(4)/ （5）/ （6）/成立的条件是/同号.其中正确的有_____________个.
三 综合题
13.把下列各式化成最简二次根式.(1)/； (2)/； (3)/； (4)/； (5)/
14.（2018春?淮阴区校级月考）/（x＞0，y＞0）
15.（2019春?福清市期中）阅读材料并解决问题：/=/=/=/﹣/，像上述解题过程中，/+/与/﹣/相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
（1）/的有理化因式是　 　；/﹣2的有理化因式是　 　；
（2）将下列式子进行分母有理化：①/= 　；②/=　　 ；
（3）已知a=/，b=4﹣2/，利用上述知识比较a与b的大小．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C
2．【答案】C
【解析】/原式=/=/=/.
3．【答案】A
4．【答案】A
【解析】解：原式=/=3+2/．
5．【答案】B
【解析】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴①/?/=1，正确；②/=/，错误；③/÷/=﹣b，正确，
故选B．
6．【答案】 D
【解析】 因为/，/是被开方数，所以y<0,x<0.
所以原式=/=/=/
二、填空题/
7.【答案】/
【解析】原式=/=/
8.【答案】/+/；
【解析】解：原式=/=/+/．
故答案为：/+/.
9.【答案】 （1）/；（2）6.
10.【答案】 (1) /;(2) /.
【解析】（1）.原式=/;
(2).原式=/.
11.【答案】 -1
【解析】因为/=0，所以2-x≥0，x-2≥0，所以x=2;则原式=/.
12．【答案】 2个
【解析】只有（1），（3）正确.
三、解答题13.【解析】(1) /； (2) /；(3) /；(4) /；(5) /.
14.【解析】
解：原式=﹣/
=﹣/，
∵x＞0，y＞0，
∴原式=﹣/=﹣3xy．
15.【解析】
解：（1）/的有理化因式是：/，
/﹣2的有理化因式是：/+2；
（2） ①/=/；
②/=3﹣/；
（3）∵a=/=/=4﹣2/，
∴a=b．