北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第1讲 勾股定理(基础)

勾股定理（基础）
【学习目标】
1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
　　　 图（1）中，所以．
　　　　　
　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
　　　　 　　图（2）中，所以．
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
　　　　　　
　　　　 ，所以．
要点三、勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．
（1）若＝5，＝12，求；
（2）若＝26，＝24，求．
【思路点拨】利用勾股定理来求未知边长．
【答案与解析】
解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝5，＝12，
所以．所以＝13．
（2）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝26，＝24，
所以．所以＝10．
【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．
举一反三：
【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．
（1）已知＝6，＝10，求；
（2）已知，＝32，求、．
【答案】
解：（1）∵ ∠C＝90°，＝6，＝10，
∴ ，
∴ ＝8．
（2）设，，
∵ ∠C＝90°，＝32，
∴ ．
即．
解得＝8．
∴ ，．
类型二、与勾股定理有关的证明
2、（2018?丰台区一模）阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4×，
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：
由图2可以得到　　 ，
整理，得　 　，
所以　 　．
【答案与解析】
证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，
∴c2=4×ab+（b﹣a）2，
整理，得
2ab+b2﹣2ab+a2=c2，
∴c2=a2+b2．
故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．
【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（ ）　　A．AC2　　　?B．BD2?　　　C．BC2　　　?D．DE2
【答案】连接AD构造直角三角形，得，选A．
类型三、与勾股定理有关的线段长
3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D；
【解析】
解：设AB＝，则AF＝，
∵ △ABE折叠后的图形为△AFE，
∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，
EC＝BC－BE＝8－3＝5，
在Rt△EFC中，
由勾股定理解得FC＝4，
在Rt△ABC中，，解得．
【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．
类型四、与勾股定理有关的面积计算
4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）
A．6 B．5 C．11 D．16
【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积．
【答案】D
【解析】
解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∵
∴△ABC≌△CDE∴BC=DE∵
∴
∴b的面积为5+11=16，故选D．
【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
举一反三：
【变式】（2018?东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S=4，S=9，S=8，S=10，则S=（　　）
?A.25??? ??B.31? ?????C.32???? ? D.40
【答案】解：如图，由题意得：
AB2=S1+S2=13，
AC2=S3+S4=18，
∴BC2=AB2+AC2=31，
∴S=BC2=31，
故选B．
类型五、利用勾股定理解决实际问题
5、（2019春?淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．
【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．
【答案与解析】
解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，
根据勾股定理可得：
x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，
解得：x=7.5，
竹竿高=7.5+1=8.5（尺）
答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺．
【总结升华】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？
【答案】
解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴ ．
∴ ()．
∴ BC＋AB＝5＋13＝18()．
∴ 旗杆折断前的高度为18．
勾股定理（基础）
【巩固练习】
一．选择题
1．（2019?荆门）如图，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．若直角三角形的三边长分别为2，4，，则的值可能有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3． 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )
A．12米 B．10米 C．8米 D．6米
4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则的值为( )
A．8 B．4 C．6 D．无法计算
5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )
A．4 B．6 C．8 D．5
6．（2018?深圳模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB?PC等于（　　）
A．25 B．15 C．20 D．30
二．填空题
7．（2019?黔东南州一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，CD=　　．
8．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米路，却踩伤了花草．
9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为　 　mm．
10．如图，有两棵树，一棵高8，另一棵高2，两树相距8，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______．
11．如图，直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．
12.（2018?延庆县一模）学习勾股定理相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“已知直角三角形的两条边长分别为3，4，请你求出第三边．”张华同学通过计算得到第三边是5，你认为张华的答案是否正确：　 　，你的理由是　 　 ．
三．解答题
13． 如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．
14． 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．
15.（2018春?滨州月考）如图所示的一块地，AD=9m，CD=12m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】C；
【解析】勾股定理．
2．【答案】B；
【解析】可能是直角边，也可能是斜边．
3．【答案】A；
【解析】设旗杆的高度为米，则，解得米．
4．【答案】A；
【解析】．
5．【答案】B；
【解析】AD＝8，,∴BD=6．
6．【答案】A.
【解析】解：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，
∴BD=CD，根据勾股定理得：PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，
∴AP2+PB?PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）=AP2+（BD+PD）（BD﹣PD）=AP2+BD2﹣PD2=AP2﹣PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25．
故选A.
二．填空题
7．【答案】；
8．【答案】2；
【解析】走捷径是5米，少走了7－5＝2米．
9．【答案】150；
【解析】∵AC=150﹣60=90mm，BC=180﹣60=120mm，，所以AB=150mm．
10．【答案】10；
【解析】∵=100，∴飞行距离为10m．
11．【答案】10；
【解析】可证两个三角形全等，∵，∴正方形边长为10．
12．【答案】不正确；若4为直角边，第三边为5；若4为斜边，第三边为.
【解析】解：张华的答案不正确，
理由为：若4为直角边，第三边为=5；
若4为斜边，第三边为=．
三．解答题
13．【解析】
解：连接BD，因为AB＝AD＝12，∠A＝60°
所以△ABD是等边三角形，
又因为∠D＝150°，
所以△BCD是直角三角形，
于是BC＋CD＝42－12－12＝18，
设BC＝，从而CD＝18－，
利用勾股定理列方程得，
解得＝13，即BC的长为13．
14．【解析】
解：过D点作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝3，
易证△ACD≌△AED，
∴AE＝AC，
在Rt△ DBE中，∵BD＝5 ，DE＝3，∴BE＝4
在Rt△ACB中，∠C＝90°
设AE＝AC＝，则AB＝
∵
∴
解得，∴AC＝6．
15．【解析】
解：解：连结AC，
由勾股定理可知
AC===15，
又∵AC2+BC2=152+362=392=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故这块地的面积=S△ABC﹣S△ACD=×15×36﹣×12×9=216（m）2，
即这块地的面积是216平方米．