北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第2讲 勾股定理逆定理(基础)

勾股定理的逆定理（基础）
【学习目标】
1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；
2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；
3. 理解勾股数的含义；
4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.
【要点梳理】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长/，满足/，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如/）.
验证/与/是否具有相等关系.若/，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若/，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：当/时，此三角形为钝角三角形；当/时，此三角形为锐角三角形，其中/为三角形的最大边.
要点三、勾股数
满足不定方程/的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以/为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果/是勾股数，当/为正整数时，以/为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
要点诠释：（1）/（/是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）/（n≥1，/是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3）/ （/是自然数）是直角三角形的三条边长；
【典型例题】
类型一、勾股定理的逆定理
/1、判断由线段/组成的三角形是不是直角三角形．
（1）/＝7，/＝24，/＝25；
（2）/＝/，/＝1，/＝/；
（3）/，/，/(/)；
【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．
【答案与解析】
解：（1）∵ /，/，
∴ /．
∴ 由线段/组成的三角形是直角三角形．
（2）∵ /，/，/，
∴ /．
∴ 由线段/组成的三角形不是直角三角形．
（3）∵ /，
∴ /，/．
∵/，
/，
∴ /．
∴ 由线段/组成的三角形是直角三角形．
【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证/与/是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．
举一反三：
【变式】（2018春?安陆市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（　　）
　 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【答案】C.
解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；
②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；
③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；
④72+242=252，∴能组成直角三角形．
故选C．
/2、（2019春?丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中，∠B＝∠90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
/
【思路点拨】由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，应想到连接AC，则在Rt△ABC中即可求出△ABC的面积，也可求出线段AC的长．所以在△ACD中，已知AC，AD，CD三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．
【答案与解析】
解：连接AC，在△ABC中，
因为∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
所以/，所以AC＝5，
在△ACD中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，
所以/，
即/．
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．
所以/
//．
/
【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的综合考察．
类型二、勾股定理逆定理的应用
/3、已知：/为/的三边且满足/，试判断/的形状.
【答案与解析】
解：∵/
∴/
/
∴/，/
∴△ABC是直角三角形.
【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等.
举一反三：
【变式】请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4， 第一步
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）， 第二步
∴c2=a2+b2， 第三步
∴△ABC为直角三角形． 第四步
问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：　_________　；
（2）错误的原因是：　_________　；
（3）本题正确的结论是：　_________　．
【答案】
解：（1）第三步；
（2）方程两边同时除以（a2﹣b2）时，没有考虑（a2﹣b2）的值有可能是0；
（3）∵c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）
∴c2=a2+b2或a2﹣b2=0
∵a2﹣b2=0
∴a+b=0或a﹣b=0
∵a+b≠0
∴c2=a2+b2或a﹣b=0
∴c2=a2+b2或a=b
∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．
/4、（2018?秦皇岛校级模拟）如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是第九十四中学，AP=160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．
（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？
/
【思路点拨】（1）过点A作AE⊥MN于点E，由点A到铁路MN的距离为80米可知AE=80m，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；
（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长，进而可得出BC的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC是所用的时间即可．
【答案与解析】
解：（1）会受到影响．
过点A作AE⊥MN于点E，
∵点A到铁路MN的距离为80米，
∴AE=80m，
∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，
∴学校会受到影响；
（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，
在Rt△ABE中，
∵AB=100m，AE=80m，
∴BE=/=/=60m，
∴BC=2BE=120m，
∵火车的速度是180千米/时=50m/s，
∴t=/=/=2.4s．
答：学校受到影响的时间是2.4秒．
/
【总结升华】题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．
【巩固练习】
一.选择题
1. （2019春?庆云县期末）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5
2. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）．
/
　 A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CF、EF D.GH、AB、CD
3. 下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为/．其中说法正确的有（　）．
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.（2018春?临沂期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）
/
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
5．已知三角形的三边长为/(其中/)，则此三角形( )．
A.一定是等边三角形 B.一定是等腰三角形
C.一定是直角三角形 D.形状无法确定
6．三角形的三边长分别为 /、/、/（/都是正整数），则这个三角形是（ ）．
A．直角三角形 B． 钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
二.填空题
7．（2019春?岳池县期末）若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为　　．
8.（2018?本溪模拟）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有　 　个．
/
9. 已知/,则由此/为边的三角形是 三角形.
10．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 ．
11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60/，则它的面积为 ．
12．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．
/
三.解答题
13．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝/，求证：AF⊥FE．
/
14．观察下列各式：/，/，/，/，…，你有没有发现其中的规律?请用含/的代数式表示此规律，再根据规律写出接下来的式子．
15.（2018春?石林县校级月考）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，求这块空地的面积？
/
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】A
【解析】∵1.52+22≠32，故构不成直角三角形.
2.【答案】B
【解析】AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，所以AB2+EF2=GH2．
3.【答案】B
【解析】（1）根据勾股定理的逆定理，若a2+c2=b2，则△ABC也为直角三角形，故错误；
（2）符合勾股定理，故正确；（3）符合勾股定理的逆定理，故正确；（4）首先根据勾股定理计算其斜边是13，再根据面积计算其斜边上的高，该高等于两条直角边的乘积除以斜边，故正确．
4.【答案】A.
【解析】解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC=/=2/，
AC=/=/，
AB=/=/，
在△ABC中，
∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】/，满足勾股定理的逆定理.
6.【答案】A
【解析】/，满足勾股定理的逆定理.
二.填空题
7.【答案】4.8；
【解析】∵三角形三边的长分别为6、8和10，62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，边长为10的边是最大边，设它的最大边上的高是h，∴6×8=10h，解得，h=4.8．
8.【答案】4；
【解析】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形．
故答案为：4．
/
9.【答案】直角；
10．【答案】108
【解析】△ABC是直角三角形.
11.【答案】120
【解析】这个三角形是直角三角形，设三边长为/，
则/，解得/，它的面积为
/.
12．【答案】6
【解析】延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为Rt△．
三.解答题
13．【解析】
解：连结AE，设正方形的边长为/，则DF＝CF＝/，CE＝/，BE＝/，
在Rt△ADF中，/，
在Rt△CEF中，/，
在Rt△ABE中，/，
因为/，所以三角形AEF为直角三角形，AF⊥FE．
14.【解析】
解：/，
/．(/≥1且/为整数)
15．【解析】
解：如图，连接AC．
在△ACD中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，
∴AC=5米，
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=/×5×12﹣/×3×4=24（平方米）．
/