北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第4讲 平方根(基础)

平方根和开平方（基础）
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.平方根的定义
如果/，那么/叫做/的平方根.求一个数/的平方根的运算，叫做开平方. /叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.
2.算术平方根的定义
正数/的两个平方根可以用“/”表示，其中/表示/的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号/”；/表示/的负平方根，读作“负根号/”.
要点诠释：当式子/有意义时，/一定表示一个非负数，即/≥0，/≥0.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：/和/
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
/
/
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：/，/，/，/.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
/1、下列说法错误的是（　　）
A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根
C./的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0
【答案】C；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.因为/＝5，所以本说法正确；
B.因为±/＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；
C.因为±/＝±/＝±4，所以本说法错误；
D.因为/＝0，/＝0，所以本说法正确；
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．
举一反三：
【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）/没有平方根．（ ）
（2）/．（ ）
（3）/的平方根是/．（ ）
（4）/是/的算术平方根．（ ）
【答案】√ ；×； √； ×，
提示：（2）/；（4）/是/的算术平方根．
/2、 填空：
（1）/是 的负平方根．
（2）/表示 的算术平方根，/ ．
（3）/的算术平方根为 ．
（4）若/，则/ ，若/，则/ ．
【思路点拨】（3）/就是/的算术平方根＝/，此题求的是/的算术平方根.
【答案与解析】(1)16；(2)/ (3)/ (4) 9；±3
【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的有（ ）：
①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．
③4是8的正的平方根．④ /是64的负的平方根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B；
提示：①④是正确的.
【变式2】（2018?凉山州）/的平方根是　 　．
【答案】±3.
解：因为/=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.
/3、（2019?古冶区二模）如果一个正数的平方根为2a+1和3a-11，则a=（ ）
A. ±1 B.1 C. 2 D. 9
【思路点拨】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值．
【答案】C．
【解析】
解：根据题意得：2a+1+3a-11=0
解得：a=2．
故选C.
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
举一反三：
【变式】代数式/ ＝/有意义，则/的取值范围是 ．
【答案】/.
类型二、利用平方根解方程
/4、（2018春?鄂州校级期中）求下列各式中的x值，
（1）169x2=144
（2）（x﹣2）2﹣36=0．
【思路点拨】
（1）移项后，根据平方根定义求解；
（2）移项后，根据平方根定义求解．
【答案与解析】
解：（1）169x2=144，
x/，
x=/，
x=/.
（2）（x﹣2）2﹣36=0，
（x﹣2）2=36，
x﹣2=/，
x﹣2=±6，
∴x=8或x=﹣4．
【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．
类型三、平方根的应用
/5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？
【答案与解析】
解：设宽为/，长为3/，
由题意得，/·3/＝1323
3/＝1323
/
/＝－21(舍去)
答：长为63米，宽为21米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.
【巩固练习】
一.选择题
1. （2019?泰州）4的平方根是（ ）
A. ± 2 B.-2 C. 2 D.
2．下列各数中没有平方根的是（ ）
A．/ B．0 C．/ D．/
3．下列说法正确的是（ ）
A．169的平方根是13 B．1.69的平方根是±1.3
C．/的平方根是－13 D．－（－13）没有平方根
4. 要使代数式/有意义，则/的取值范围是( 　)
　　A．/ 　　　B．/ 　　　C．/ 　　　D．/
5.（2018?江西校级模拟）下列各等式中，正确的是（　　）
　 A．﹣/=﹣3 B．±/=3
C．（/）2=﹣3 D．/=±3
6.一个数的算术平方根是/，则比这个数大8数是（ ）
A．/＋8 B．/－4 C．/－8 D．/＋8
二.填空题
7．计算：（1）/______；（2）/______；（3）/______；
（4）/______；（5）/______；（6）/______．
8.（2019?广东）9的算术平方根是________.
9./的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______．
10．/的算术平方根是______：/的算术平方根的相反数是______．
11．（2018春?丹江口市期末）若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a=　 　，这个正数是　 　．
12．/表示3的______；/表示3的______．
三.解答题
13．求下列各式中的/．
（1）/； （2）/； （3）/．
14．（2018春?福清市期中）福清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10m的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长．
15.思考题：估计与/最接近的整数．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数.
2. 【答案】D；
【解析】负数没有平方根.
3. 【答案】B；
【解析】169的平方根是/，/的平方根是/.
4. 【答案】B；
【解析】被开方数为非负数.
5. 【答案】A；
【解析】解：A、﹣/=﹣3，故A正确；
B、/3，故B错误；
C、被开方数是非负数，故C错误；
D、/=3，故D错误；
故选：A．
6. 【答案】D；
【解析】一个数的算术平方根是/，则这个数是/.
二.填空题
7. 【答案】11；－16；/；9；3；/.
8. 【答案】3；
9. 【答案】/；0.01；0.
10.【答案】2；－3；
【解析】/＝4，/＝9，此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反数.
11.【答案】﹣1，9；
【解析】解：依题意得，2a﹣1+（﹣a+2）=0，
解得：a=﹣1．
则这个数是（2a﹣1）2=（﹣3）2=9．
故答案为：﹣1，9.
12.【答案】算术平方根；平方根.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）/ （2）/ （3）/
/ / /
14.【解析】
解：原绿化带的面积：102=100（m2），
后绿化带的面积：4×100=400（m2），
则扩大后绿化带的边长是/=20（m），
答：扩大后绿化带的边长为20m．
15.【解析】
解：∵25＜35＜36
∴/
即5＜/＜6
∵35比较接近36，
∴/最接近的整数是6.