北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第6讲 无理数与实数(基础)

无理数与实数（基础）
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.
要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】
类型一、实数概念
/1、指出下列各数中的有理数和无理数：

【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.
【答案与解析】有理数有
无理数有……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.
举一反三：
【变式】下列说法错误的是（ ）
①无限小数一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；
③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.
A．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】C；
类型二、实数大小的比较
/2、（2018秋?新华区校级期中）比较/和1的大小．
【答案与解析】
解：∵/＜/＜/，
即2＜/＜3，
∴1＜/﹣1＜2，
∴/＜1．
【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出/﹣1的取值范围是解题关键．
举一反三：
【变式】比较大小


【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.
/3、（2019?通州区二模）如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数/的点数接近的点是（　　）
/
A．点A B．点B C．点C D．点D
【思路点拨】先估算出与/比较接近的两个整数，再根据数轴即可得到哪个点与/最接近，本题得以解决．
【答案】C；
【解析】解：∵/，
∴4＜/＜5，
∴数轴上与表示数/的点数接近的点是C，
故选C．
【总结升华】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，可以估算出/与哪两个整数最接近．
类型三、实数的运算
/4、化简：
(1) (2) (3)
【答案与解析】
解：

.
【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
举一反三：
【变式】（2018?乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+|/﹣1|﹣/．
【答案】解：原式=4+/﹣1﹣3
=/．
/5、若，则________．
【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值.
【答案】3；
【解析】
解：由非负数性质可知：，即，∴ ．
【总结升华】初中阶段所学的非负数有||，，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .
举一反三：
【变式】已知，求的值．
【答案】
解：由已知得，解得．
∴＝.
【巩固练习】
一.选择题
1．下列说法错误的是（ ）
A．实数都可以表示在数轴上 B．数轴上的点不全是有理数
C．坐标系中的点的坐标都是实数对 D．/是近似值，无法在数轴上表示准确
2.（2018春?当涂县期中）下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17的平方根是﹣/，其中正确的是（　　）
　 A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
3.估计/的大小应在（ ）
A．7～8之间 B．8.0～8.5之间
C．8.5～9.0之间 D．9～10之间
4. （2019?烟台）下列实数中，有理数是（　　）
A．/ B．/ C．/ D．0.101001001
5. 实数/和/的大小关系是（ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
6．一个正方体水晶砖，体积为100/，它的棱长大约在（ ）
A．4～5/之间 B．5～6/之间
C．6～7/之间 D．7～8/之间
二.填空题
7.（2019?南京）比较大小：/﹣3　 　/．
8.在数轴上与1距离是/的点，表示的实数为______．
9.（2018?南平模拟）计算：/﹣/=　 　．
10./的整数部分是________，小数部分是________．
11.已知/为整数，且满足/，则/________．
12./的相反数是________，绝对值是_________，平方等于_________.
三.解答题
13．（2018春?荣昌县校级期中）把下列各数填入相应的大括号内./，﹣2，/，0，/，/，3.1415，π﹣3，/，3+/，3/，0.2121121112…
整数集合：{　　　　 　　　…}；
非负实数集合：{　　　　 　　…}；
无理数集合：{　　　　　 　　…}．
14. 天安门广场的面积大约是440000/，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到/）
15. 已知/求/的值．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】实数和数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示.
2. 【答案】A；
【解析】解：①实数与数轴上的点一一对应，故①错误；
②无理数是无限不循环小数，故②错误；
③负数的立方根是负数，故③错误；
④17的平方根是±/，故④错误；
故选：A．
3. 【答案】C；
【解析】/，因为76比较接近81，所以/在8.5～9.0之间.
4. 【答案】D；
【解析】解：A、/不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；
B、/不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；
C、π为无理数，所以/为无理数，故本选项错误；
D、小数为有理数，符合．
5. 【答案】C；
【解析】/.
6. 【答案】A；
【解析】/.
二.填空题
7．【答案】＜；
【解析】解：∵4＜5＜9，
∴2＜/＜3，
∴/﹣3＜0，/﹣2＞0，
∴/﹣3＜/．
8. 【答案】/；
【解析】与1的距离是/的点在1的左右两边各有一个点，分别是/、/.
9. 【答案】0.
【解析】解：/﹣/=3﹣3=0．
10.【答案】2；/；
【解析】/，故整数部分为2，/－2为小数部分.
11.【答案】 －1, 0, 1；
12.【答案】/
【解析】/.
三.解答题
13．【解析】
解：整数集合：{﹣2，0，/，/，…}；
非负实数集合：{/，/，0，/，3.1415，π﹣3，/，3+/，3/，0.2121121112…，…}；
无理数集合：{/，/，π﹣3，3+/，3/，0.2121121112…，…}．
14.【解析】
解：设广场的边长为/，由题意,得
/440000
/
＝/≈663(/).
答：它的边长约为663m.
15.【解析】
解：∵/
∴/－2＝0且/＝0
解得/＝2，/＝－3，
∴/＝2－3＝－1.