北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第7讲 二次根式(基础)

二次根式—知识讲解（基础）

【学习目标】
1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.
2、理解并掌握下列结论： ≥0，（≥0），（≥0），（≥0），并利用它们进行计算和化简．
【要点梳理】
要点一、二次根式的概念
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
要点诠释：　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
要点二、二次根式的性质1.≥0，（≥0）；2. （≥0）；3..
4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（≥0，≥0）.
5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，
即（≥0，>0）.要点诠释：（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即.
（2）与要注意区别与联系：
①的取值范围不同，中≥0，中为任意值。
②≥0时，==；<0时，无意义，=.
要点三、最简二次根式 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开放数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
【典型例题】
类型一、二次根式的概念1.当为实数时，下列各式，，，属二次根式的有____ 个.
【答案】 3.
【解析】 这三个式子满足无论取何值，被开方数都大于或等于零.
【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
举一反三：
【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.
（1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）（）
A．2 B.3 C.4 D.5
【答案】B.
2. x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？
（1）； （2）y=－；
【答案与解析】 （1）≥0，所以x≥1.
（2）≥0,≥0,所以≤x≤；
【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.
举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B.
类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：
(1) (2)
【答案与解析】(1) .
(2) .
【总结升华】 二次根式性质的运用.
举一反三：【变式】（1）=_____________.
（2）=_____________.
【答案】(1) 10； (2) 0.
4. （2018?蓬溪县校级模拟）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a﹣b|．
【答案与解析】解：从数轴上a、b的位置关系可知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，且b＞a，
故a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
原式=|a+1|+2|b﹣1|﹣|a﹣b|
=﹣（a+1）+2（b﹣1）+（a﹣b）
=b﹣3．
【总结升华】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题.
举一反三：
【变式】若整数满足条件则的值是___________.
【答案】=0或=-1.
类型三、最简二次根式
5. （2019?濉溪县校级月考） 下列根式
中，最简二次根式共有 个.
【思路点拨】最简二次根式要满足两个条件（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
【答案与解析】
【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.
举一反三：
【变式】（2018?东莞二模）下列各式中,是最简二次根式的是（　　）
　 A． B． C． D.2
【答案】C.
二次根式—巩固练习（基础）

【巩固练习】
一．选择题
1. （2019?宁波）使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
2. 若,化简 ( ).
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是（ ）
A．是一个无理数 B．函数的自变量x的取值范围是x≥1
C．8的立方根是 D.若点关于x轴对称，则的值为5.
4.（2018?蓬溪县校级模拟）下列各式中正确的是（　　）
　 A.=a B.=±a C.=﹣a D.=|a|
5.下列根式是最简二次根式的是（ ）.A．　　　　 B．　　　　 C． 　　　　D．
6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）.A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
二. 填空题
7. （2019?营山县一模）使式子有意义的x的取值范围是　 　．
8.=____________. 若，则____________.9．（1）=_____________.
（2） （a>0）=__________________________.
10.若=0，则=_______________.
11.当x≤0时，化简=__________________________.
12.有如下判断：
（1） (2)=1 (3)
(4)（5）（6）成立的条件是同号.其中正确的有_____个.
三 综合题
13. 当为何值时，下列式子有意义？
（1） (2)
（3）； （4）；
14. 已知实数x，y满足，求代数式的值.
15.（2018春?江夏区期中）已知实数x，y满足y=+﹣65，求．
【答案与解析】
一、选择题1．【答案】D.
【解析】由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1.
2．【答案】D .
【解析】因为 原式=.
3．【答案】 D.
【解析】 =2是有理数；的x的取值范围是x>1;8的立方根是2；
因为关于x轴对称，所以，及,所以选D.
4．【答案】D.
【解析】解：A、当a＜0时，=﹣a，故选项错误；
B、表示算术平方根，故选项错误；
C、当a＞0时，=a，故选项错误；
D、正确．
故选D．
5．【答案】 B.
【解析】 根据最简二次根式的性质，A,D选项都含有能开方的项，C选项含有分母，所以选B.
6．【答案】 D.
【解析】 因为，是被开方数，所以y<0,x<0,
所以原式===.
二、填空题7.【答案】x≥﹣3且x≠5．
【解析】由题意得，x+3≥0，x﹣5≠0，解得x≥﹣3且x≠5．
8.【答案】.
9.【答案】(1) 45; (2) -3.
10.【答案】 -1.
【解析】因为=0，所以2-x≥0，x-2≥0，所以x=2;则原式=.
11.【答案】 1.
【解析】 原式=.
12.【答案】 2个.
【解析】只有（1），（3）正确.
解答题
13.【解析】 （1）≥0，即为任意实数；
（2）≥0，即≤0，即=0.
（3）
（4）.
14.【解析】 因为，所以x=5，y=-4.
则==1
15.【解析】解：∵实数x，y满足y=+﹣65，
∴x-1≥0，且1-x≥0，
∴x=1，y=﹣65，
∴==—4.