北师大版初中数学八年级上册第10讲 实数全章复习与巩固(基础)(知识讲解+巩固练习)

《实数和二次根式》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
【知识网络】
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【要点梳理】
要点一、平方根和立方根
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
/
/
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
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要点二、无理数与实数
有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类
实数/
要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如/，/等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
　 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
2.实数与数轴上的点一 一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：　 （1）任何一个实数/的绝对值是非负数，即|/|≥0；　　（2）任何一个实数/的平方是非负数，即/≥0；　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即/ (/).　　非负数具有以下性质：　　（1）非负数有最小值零；　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算
数/的相反数是－/；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
要点三、二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如/的式子叫做二次根式，如/等式子，都叫做二次根式.
要点诠释：二次根式/有意义的条件是/，即只有被开方数/时，式子/才是二次根式，/才有意义.
2.二次根式的性质
（1）/；/（2）/；（3）/.
要点诠释：（1） 一个非负数/可以写成它的算术平方根的平方的形式，即// （/），如/（/）.
（2） /中/的取值范围可以是任意实数，即不论/取何值，/一定有意义.
（3）化简/时，先将它化成/，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）/与/的异同
不同点：/中/可以取任何实数，而/中的/必须取非负数；
/=/，/=/（/）.
相同点：被开方数都是非负数，当/取非负数时，/=/.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如/等都是最简二次根式.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如/与/，由于/=/，/与/显然是同类二次根式.
要点四、二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
/
积的算术平方根化简公式：
/
二次根式的除法
/
商的算术平方根化简公式：
/
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如/.
（2）被开方数/一定是非负数（在分母上时只能为正数）.
如/.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如/.
【典型例题】
类型一、有关方根的问题
/1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（　　　）
A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个
【答案】B；
【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1.
【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.
举一反三：
【变式】下列运算正确的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】C；
/2、（2018春?桃园县校级期末）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．
【思路点拨】先运用立方根和平方根的定义求出x与y的值，再求出x2+y2的平方根．
【答案与解析】
解：∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，
∴x﹣2=22，2x+y+7=27，
解得x=6，y=8，
∴x2+y2=62+82=100，
∴x2+y2的平方根是±10．
【总结升华】本题主要考查了立方根和平方根，解题的关键是正确求出x与y的值．
类型二、与实数有关的问题
/3、把下列各数填入相应的集合：
－1、/、π、－3.14、/、/、/、/．
（1）有理数集合｛ ｝；
（2）无理数集合｛ ｝；
（3）正实数集合｛ ｝；
（4）负实数集合｛ ｝．
【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里.
【答案与解析】
（1）有理数集合｛－1、－3.14、/、/ ……｝；
（2）无理数集合｛ /、π、/、/ ……｝；
（3）正实数集合｛ /、π、/、/、/ ……｝；
（4）负实数集合｛ －1、－3.14、/ ……｝．
【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式.
/4、计算（1）/ （2）/
（3）/
【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.
【答案与解析】
解：（1）/＝/
（2）/＝/
（3）/＝/.
【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.
举一反三：
【变式】计算(1) /
(2) /
【答案】
解：(1) /
/
/
(2) /
/
/.
/5、若/，化简/
【思路点拨】由/判断/＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值.
【答案与解析】
解：∵/，
∴/＞0，
∴/
∴/
/
/
【总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识.
举一反三：
【变式】实数/、/在数轴上所对应的点的位置如图所示：
化简/＋∣/－/∣＝ .
/
【答案】
解：∵/＜0＜/,
∴/－/＜0
∴/＋∣/－/∣＝－/－(/－/)＝/－2/.
类型三、二次根式概念与运算
/6、（2018?阳泉模拟）已知5+/与5﹣/的小数部分分别是a和b，求（a+b）（a﹣b）的值．
【思路点拨】先估算出/的大小，然后用含/的式子表示出a、b最后代入计算即可．
【答案与解析】
解：∵2＜/＜3，
∴7＜5+/＜8，2＜5﹣/＜3，
∴a=5+/﹣7=/﹣2，b=5﹣/﹣2=3﹣/
∴原式=（/﹣2+3﹣/）（/﹣2﹣3+/）=1×（2/﹣5）=2/﹣5．
【总结升华】本题属于实数与二次根式的综合，既要有估算无理数的能力，又要达到能够准确进行二次根式的运算．
举一反三
/7、化简/.
【答案与解析】
/
【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.
/8、已知/的值.
【答案与解析】
/【总结升华】 化简求值时要注意/的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.
举一反三
【变式】已知/=-3, /=1,求/的值.
【答案】
解：∵/=-3,/=1，∴/,/
/.
【巩固练习】
一.选择题
1. 下列说法正确的是（ ）
A．数轴上任一点表示唯一的有理数
B．数轴上任一点表示唯一的无理数
C．两个无理数之和一定是无理数
D．数轴上任意两点之间都有无数个点
2．下列说法中，正确的是（ ）．　　A．0.4的算术平方根是0.2 　　　　B．16的平方根是4 　　C．/的立方根是4 　　　　　　D．/ 的立方根是/
3.（2018?八步区一模）下列运算正确的是（　　）
A．/ B．/=﹣3
C．（/）2=3 D．/+/=/
4. /，则/的值是（ ）
A. / 　　 B. / 　　　 C. / 　　 D. /
5. 若式子/有意义,则/的取值范围是 ( ).
A./ B. / C./ D. 以上答案都不对.
6. 下列说法中错误的是（ ）
A./中的/可以是正数、负数或零. B./中的/不可能是负数.
C. 数/的平方根有两个. 　　　　　　　D.数/的立方根有一个.
7. 数轴上A，B两点表示实数/，/，则下列选择正确的是（ ）
A./ B. / C./ D./
/
8.（2018?河北）关于/的叙述，错误的是（　　）
A．/是有理数
B．面积为12的正方形边长是/
C．/=2/
D．在数轴上可以找到表示/的点
二.填空题
9. 若/的整数部分是/，则其小数部分用/表示为 ．
10．当/ 时，/有意义.
11.（2018?庆阳）若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是　 　．
12. 已知最简二次根式/是同类二次根式，则/的值为___________.
13. /的平方根是 .
14.若/，则/ .
15. 比较大小：/ / ，/ / ， / /
16.（2018?黄冈）计算：|1﹣/|﹣/=　 .
三.解答题
17．（2018?新疆模拟）计算：/﹣/﹣（/）2+|2﹣/|．
18.已知：/，求/的值.
19. 已知：表示/、/两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简/
/
20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题.
大家知道/是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此/的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用/－1表示/的小数部分，你同意小明的表示方法吗?
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为/的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.
请解答：已知：10＋/＝/，其中/是整数，且/,求/的相反数.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数.
2. 【答案】D；
【解析】/；16的平方根是±4；/的立方根是2.
3．【答案】C；
【解析】解：A、原式=/=/×/=3×2=6，所以A选项错误；
B、原式=|﹣3|=3，所以B选项错误；
C、原式=3，所以C选项正确；
D、/与/不能合并，所以D选项错误．
故选C．
4.【答案】B；
【解析】/.
5. 【答案】A；
6. 【答案】C；
【解析】数/不确定正负，负数没有平方根.
7. 【答案】C；
8. 【答案】A；
【解析】A、/是无理数，原来的说法错误，符合题意；
B、面积为12的正方形边长是/，原来的说法正确，不符合题意；
C、/=2/，原来的说法正确，不符合题意；
D、在数轴上可以找到表示/的点，原来的说法正确，不符合题意，故选：A．
二.填空题
9. 【答案】/；
10.【答案】为任意实数 ；
【解析】任何实数都有立方根.
11.【答案】2；
【解析】解：若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，
∴/，
解方程得：/．
∴m﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8．
8的立方根是2．
故答案为：2．
12．【答案】2； 　　
【解析】因为/是同类二次根式，所以/,
解方程组得/.
13.【答案】/ ；
【解析】 /＝7，7的平方根是/.
14.【答案】/；
【解析】被开方数的小数点向左移动2位，平方根向左移动1位.
15.【答案】＞；＜；＞；
16.【答案】﹣1﹣/；
【解析】解：|1﹣/|﹣/=/﹣1﹣2/=﹣1﹣/．
三.解答题
17.【解析】
解：原式=2/﹣/﹣2+2﹣/
=/．
18.【解析】
解：/　∴原式/.
19.【解析】
解：∵/＜/＜0
∴/
/
20.【解析】
解：∵11＜10＋/＜12
∴/＝11，/＝10＋/－11＝/
∴/.