北师大版初中数学八年级上册第11讲 平面直角坐标系(基础)(知识讲解+巩固练习)

平面直角坐标系（基础）
【学习目标】
1.了解确定位置的方法，用有序数对或用方向和距离来确定物体的位置.
2.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.
3.会用确定坐标、描点、连线的方法在直角坐标系中作出简单图形.
【要点梳理】
要点一、确定位置的方法
有序数对：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
要点诠释：
有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．
可以用有序数对确定物体的位置，也可以用方向和距离来确定物体的位置（或称方位）.
要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1.平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).
要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2.点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.
要点诠释：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
要点三、坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
要点诠释：
（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.
2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征
要点诠释：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
【典型例题】
类型一、确定物体的位置
1．如果将一张“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是 排 号.
【思路点拨】在平面上，一个数据不能确定平面上点的位置．须用有序数对来表示平面内点的位置．
【答案】10,13.
【解析】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.
【总结升华】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同．
2．如图，雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F出现．按照规定的目标表示方法，目标C、F的位置表示为C（6，120°）、F（5，210°）．按照此方法在表示目标A、B、D、E的位置时，其中表示不正确的是（　　）
A．A（5，30°） B．B（2，90°） C．D（4，240°） D．E（3，60°）
【思路点拨】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别判断各选项即可得解．
【答案】D．
【解析】
由题意可知A、B、D、E的坐标可表示为：A（5，30°），故A正确；B（2，90°），故B正确；D（4，240°），故C正确；E（3，300°），故D错误．
【总结升华】本题考查了学生的阅读理解能力，由已知条件正确确定点的位置是解决本题的关键．
类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
3.如图，写出点A、B、C、D各点的坐标.
【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离．
【答案与解析】
解：由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是2，再由点A向y轴作垂线，得A点的纵坐标是3，则点A的坐标是(2，3)，同理可得点B、C、D的坐标．
所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(－2，1)，D(－1，－2)．
【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值．
举一反三：
【变式】（2018春?临沂期末）多多和爸爸、妈妈周末到动物园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了动物园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道马场的坐标为（﹣3，﹣3），你能帮她建立平面直角坐标系并求出其他各景点的坐标？
【答案】解：建立坐标系如图：
∴南门（0，0），狮子（﹣4，5），飞禽（3，4）两栖动物（4，1）．
4.（2018春?荣昌县期末）如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）．求这个四边形的面积．
【思路点拨】分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，然后利用S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF进行计算．
【答案与解析】
解：分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，
则E（5，3），
所以S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF
=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2
=．
【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积．
举一反三：
【变式】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知：A（3，2），B（5，0），则△AOB的面积为 ．
【答案】5.
类型三、坐标平面及点的特征
5. （2019春?宜阳县期中）已知点P（2m+4，m﹣1）．试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P的纵坐标比横坐标大3；
（2）点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上．
【思路点拨】（1）根据横纵坐标的大小关系得出m﹣1﹣（2m+4）=3，即可得出m的值，进而得出P点坐标；
（2）根据平行于x轴点的坐标性质得出m﹣1=﹣3，进而得出m的值，进而得出P点坐标．
【答案与解析】
解：（1）∵点P（2m+4，m﹣1），点P的纵坐标比横坐标大3，
∴m﹣1﹣（2m+4）=3，
解得：m=﹣8，
∴2m+4=﹣12，m﹣1=﹣9，
∴点P的坐标为：（﹣12，﹣9）；
（2）∵点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上，
∴m﹣1=﹣3，
解得：m=﹣2，
∴2m+4=0，
∴P点坐标为：（0，﹣3）．
【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据已知得出关于m的等式是解题关键．
举一反三：
【变式】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P的坐标是_________；若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________.
【答案】（－5,2）；（5，2），（－5,2），（5，－2），（－5，－2）.
【巩固练习】
一、选择题
1．为确定一个平面上点的位置，可用的数据个数为( ).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法正确的是( ).
A．(2，3)和(3，2)表示的位置相同
B．(2，3)和(3，2)是表示不同位置的两个有序数对
C．(2，2)和(2，2)表示两个不同的位置
D．(m，n)和(n，m)表示的位置不同
3.(2019?大连)在平面直角坐标系中，点M(1，5)所在的象限是( ).
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．若点P(m，n)在第三象限，则点Q(－m，－n)在( ).
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．知点P(m＋3，2m＋4)在y轴上，那么点P的坐标是( ).
A．(－2，0) B．(0，－2) C．(1，0) D．(0，1)
6．（2018?北京）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（　　）
A．景仁宫（4，2）? B．养心殿（﹣2，3）
C．保和殿（1，0） D．武英殿（﹣3.5，﹣4）
二、填空题
7．已知有序数对(2x－1，5－3y)表示出的点为(5，2)，则x＝________，y＝________．
8．某宾馆一大楼客房是按一定规律编号的，例如房间403号是指该大楼中第4层第3个房间， 则房间815号是指第________层第________个房间；第6层第1个房间编号为________．
9. 点P(－3，4)到x轴的距离是________，到y轴的距离是________．
10.指出下列各点所在象限或坐标轴：
点A(5，－3)在_______，点B(－2，－1)在_______，点C(0，－3)在_______，点D(4，0)在_______，点E(0，0)在_______．
11.（2019?黔南州）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：
①△（a，b）=（﹣a，b）；
②○（a，b）=（﹣a，﹣b）；
③Ω（a，b）=（a，﹣b），
按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于　　　　　　．
12．（2018?安溪县模拟）若点（3﹣x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围是　 　．
三、解答题
13．在图中建立适当的平面直角坐标系，使A、B两点的坐标分别为(－4，1)和(－1，4)，写出点C、D的坐标，并指出它们所在的象限．
14．（2018春?夏津县校级期中）根据要求解答下列问题：
设M（a，b）为平面直角坐标系中的点．
（1）当a＞0，b＜0时，点M位于第几象限？
（2）当ab＞0时，点M位于第几象限？
（3）当a为任意实数，且b＜0时，点M位于何处？
15. 已知A，B，C，D的坐标依次为(4，0)，(0，3)，(－4，0)，(0，－3),在平面直角坐标系中描出各点，并求四边形ABCD的面积．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B.
2. 【答案】B.
3. 【答案】B；
【解析】四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）．
4. 【答案】A；
【解析】因为点P(m，n)在第三象限，所以m，n均为负，则它们的相反数均为正．
5. 【答案】B；
【解析】m＋3＝0，∴m＝－3，将其代入得：2m＋4＝－2，∴P(0，－2)．
6. 【答案】B；
【解析】解：根据表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），
可得：原点是中和殿，
所以可得景仁宫（2，4），养心殿（﹣2，3），保和殿（0，1），武英殿（﹣3.5，﹣3），故选B.
二、填空题
7. 【答案】3，1；
【解析】由2x－1＝5，得x＝3；由5－3y＝2，得y＝1．
8. 【答案】8， 15， 601；
9. 【答案】4， 3；
【解析】到x轴的距离为：│4│＝4，到y轴的距离为：│－3│＝3.
10．【答案】第四象限，第三象限，y轴的负半轴上，x轴的正半轴上，坐标原点.
11.【答案】（﹣3，4）
【解析】解：○（Ω（3，4））=○（3，﹣4）=（﹣3，4）．
12.【答案】x＞3；
【解析】解：∵点（3﹣x，x﹣1）在第二象限，
∴，
解不等式①得，x＞3，
解不等式②得，x＞1，
所以不等式组的解集是x＞3．
故答案为：x＞3．
三、解答题
13.【解析】
解：建立平面直角坐标系如图：
得C(－1，－2)、D(2，1)．由图可知，点C在第三象限，点D在第一象限.
14.【解析】
解：∵M（a，b）为平面直角坐标系中的点．
（1）当a＞0，b＜0时，点M位于第四象限；
（2）当ab＞0时，即a，b同号，故点M位于第一、三象限；
（3）当a为任意实数，且b＜0时，点M位于第三、四象限和纵轴的负半轴．
15.【解析】
解：描点如下：

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