北师大版初中数学八年级上册第12讲 轴对称与坐标变化(基础)(知识讲解+巩固练习)

坐标平面内图形的轴对称和平移（基础）
【学习目标】
能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.
掌握左右、上下平移点的坐标规律.
【要点梳理】
要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征
1.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．
3.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
要点二、用坐标表示平移
1.点的平移：
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．
要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．
2.图形的平移：
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
要点诠释：
（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．
（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
【典型例题】
类型一、用坐标表示轴对称
/1．已知点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），则/的值为_______.
【思路点拨】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a＋b＝－3，1－b＝－1，再解方程可得a、b的值，进而算出/的值．
【答案】25
【解析】
解：∵点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），∴a＋b＝－3，1－b＝－1，解得：b＝2，a＝－5，/＝25，
【总结升华】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
举一反三：
【变式】点（3，2）关于x轴的对称点为（　　）
A．（3，－2） B．（－3，2） C．（－3，－2） D．（2，－3）
【答案】A．
/2.已知点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B的坐标．
/
【思路点拨】由“点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．
【答案与解析】
解：如图，
∵ 点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，
∴ 点B与点A的横坐标相同，
∴ x＝－3．
∵ 点B到x轴的距离为3，
∴ y＝3或y＝－3．
∴ 点B的坐标是(－3，3)或(－3，－3)．
【总结升华】在点B的横坐标为－3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．
举一反三：
【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（ ）.
A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）
C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）
【答案】B.
【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：
（1）点P1（a ,－b)在第 象限；
（2）点P2（－a ,b)在第 象限；
（3）点P3（－a ,－b)在第 象限；
（4）点P4（ b ,a )在第 象限.
【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.
类型二、用坐标表示平移
/3.（2018?海安县校级二模）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是　 　．
【思路点拨】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．
【答案】（0，﹣3）．
【解析】解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，
∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
举一反三：
【变式1】已知：两点A（－4，2）、B（－2，－6），
(1)线段AB的中点C坐标是 ；
(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是 ．
(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是 ．
【答案】（1）(－3, －2)； (2)(1,2),(3,－6)； (3)(－4,－1),(－2,－9).
【变式2】点P（－2，5）向右平移 个单位长度，向下平移 个单位长度，变为P′（0，1）．
【答案】2、4．
/4. （2019春?江西期末）如图中，A、B两点的坐标分别为（2，3）、（4，1），
（1）求△ABO的面积．
（2）把△ABO向下平移3个单位后得到一个新三角形△O′A′B′，求△O′A′B′的3个顶点的坐标．
/
【思路点拨】（1）把△ABO放在一个矩形里面，用矩形COED的面积﹣△ACO的面积﹣△ABD的面积﹣△BEO的面积即可算出△ABO的面积；
（2）根据点的坐标平移的规律，用A、B、O的坐标的纵坐标分别减去3即可．
【答案与解析】
解：（1）如图所示：
S△ABO=3×4﹣/×3×2﹣/×4×1﹣/×2×2=5；
（2）A′（2，0），B′（4，﹣2），O′（0，﹣3）．
/
【总结升华】此题主要考查了点的平移，以及求三角形的面积，当计算一个三角形的面积时，可以把它放在一个矩形里，然后用矩形的面积减去周围三角形的面积．
举一反三：
【变式】（2018秋?宣汉县期末）如图所示，△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（4，3），C（3，1）．把△A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
/
【答案】解：A1（﹣3，5），B1（0，6），C1（﹣1，4）．
【巩固练习】
一、选择题
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（－3，5）关于y轴的对称点的坐标为（　　）
/
A．（－3，－5） B．（3，5） C．（3．－5） D．（5，－3）
2.平面直角坐标系中，点P的坐标为（－5，3），则点P关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（5，3） B．（－5，－3） C．（3，－5） D．（－3，5）
3．如图，△COB是由△AOB经过某种变换后得到的图形，请同学们观察A与C两点的坐标之间的关系，若△AOB内任意一点P的坐标是(a，b)，则它的对应点Q的坐标是( )．
/
A．(a，b) B．(－a，b) C．(－a，－b) D．(a，－b)
4．（2019?贵港）在平面直角坐标系中，将点A（1，-2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（　　）
A．（-1，1） B．（-1，-2） C．（-1，2） D．（1，2）
5．在平面直角坐标系中，将某个图象上各点的横坐标都加上3，得到一个新图形，那么新图形与原图形相比( )．
A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
6.（2018春?赵县期末）线段CD是由线段AB平移得到的．点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　）
A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（﹣9，﹣4）
二、填空题
7.点A（－3，0）关于y轴的对称点的坐标是______.
8.点P（2，－1）关于x轴对称的点P′的坐标是______.
9.在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于y轴对称的点为B（a，2），则a＝_____.
10. 通过平移把点A(1，－3)移到点A1(3，0)，按同样的平移方式把点P(2，3)移到点P1，则点P1的坐标是__________．
11．（2019?广安）将点A（1，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为　 　．
12．（2018秋?嘉鱼县校级月考）点P（1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是　 　；关于直线x=1对称的坐标是　 　．
三、解答题
13.已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围．
14.如图，正方形ABCD关于x轴、y轴均成轴对称，若这个正方形的面积为100，请分别写出点A、B、C、D的坐标．
/
15．（2018春?环翠区校级期末）如图，回答下列问题：
（1）将△ABC沿x轴向左移一个单位长度，向上移2个单位长度，则A1的坐标为　 　 ，B1的坐标为　 　，C1的坐标为　 　．
（2）若△ABC与△A2B2C2关于x轴对称，则A2的坐标为　 　，B2的坐标为　 　，C2的坐标为　 　．
/
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B；
2. 【答案】B；
3. 【答案】D；
【解析】观察图形可得，△COB与△AOB关于x轴对称，则 P (a，b)关于x轴对称点坐标为（a，－b）．
4. 【答案】A；
【解析】将点A（1，-2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，即坐标变为（1-2，-2+3），即点A′的坐标为（-1，1）．故选A．
5.【答案】A．
6. 【答案】C；
【解析】解：平移中，对应点的对应坐标的差相等，设D的坐标为（x，y）；
根据题意：有4﹣（﹣1）=x﹣（﹣4）；7﹣4=y﹣（﹣1），解可得：x=1，y=2；
故D的坐标为（1，2）．
故选：C．
二、填空题
7. 【答案】（3，0）；
8. 【答案】（2，1）；
9. 【答案】 －1；
【解析】∵点A（1，2）关于y轴对称的点为B?（a，2），∴a＝－1．
10．【答案】(4，6)；
　【解析】从点A到A1点的横坐标从1到3，说明是向右移动了3－1＝2，纵坐标从－3到0，说明是向上移动了0－（－3）＝3，那点P的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点P1．则点P1的坐标是（4，6）．
11.【答案】（﹣2，2）.
12.【答案】（1，0），（1，2）；
【解析】解：如图所示：
点P（1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是（1，0）；
关于直线x=1对称的坐标是：（1，2）．
故答案为：（1，0），（1，2）．
/
三、解答题
13.【解析】
解：依题意得p点在第四象限，∴/，解得：－1＜a＜/，即a的取值范围是－1＜a＜/．
14.【解析】
解：设正方形的边长为a．则/＝100∴a＝10∴A（5，5），B（－5，5），C（－5，－5），D（5，－5）．
15.【解析】
解：（1）A（3，0），B（﹣2，4），C（0，﹣1），将△ABC沿x轴向左移一个单位长度，向上移2个单位长度，则A1的坐标为（3﹣1，0+2），B1的坐标为（﹣2﹣1，4+2），C1的坐标为（0﹣1，﹣1+2），即：A1的坐标为（2，2），B1的坐标为（﹣3，6），C1的坐标为（﹣1，1），故答案为：（2，2），（﹣3，6），（﹣1，1）；
（2）若△ABC与△A2B2C2关于x轴对称，则A2的坐标为（3，0），B2的坐标为（﹣2，﹣4），C2的坐标为（0，1），
故答案为：（3，0），（﹣2，﹣4），（0，1）．