北师大版初中数学八年级上册第15讲 正比例函数(基础)(知识讲解+巩固练习)

正比例函数（基础）
【学习目标】
1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；
2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．
【要点梳理】
要点一、正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.
2、正比例函数的等价形式
（1）、是的正比例函数；
（2）、（为常数且≠0）；
（3）、若与成正比例；
（4）、（为常数且≠0）.
要点二、正比例函数的图象与性质
正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.
要点三、待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.
【典型例题】
类型一、正比例函数的定义
1、已知，当为何值时，是的正比例函数？
【思路点拨】正比例函数的一般式为，要特别注意定义满足，的指数为1．
【答案与解析】
解：由题意得， 解得 ＝2
∴当＝2时，是的一次函数.
【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）不等于零；（2）的指数是1.
举一反三：
【变式】如果函数是正比例函数，那么的值是________．
【答案】
解：由定义得 解得 ∴ ＝2．
类型二、正比函数的图象和性质
2、（2018秋?灵武市校级期中）在同一直角坐标系上画出函数y=2x，y=﹣x，y=﹣0.6x的图象．
【思路点拨】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答即可．
【答案与解析】
解：列表：
描点，连线：
【总结升华】本题考查的是用描点法画函数的图象，具体步骤是列表、描点、连线.
3、（2019春?马山县期末）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（﹣6，2），那么函数值y随自变量x的值的增大而　 　．（填“增大”或“减小”）
【思路点拨】根据正比例函数的性质来判断.
【答案】减小；
【解析】解：把点（﹣6，2）代入y=kx，得到：2=﹣6k，
解得k=﹣＜0，
则函数值y随自变量x的值的增大而减小.
【总结升华】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是确定函数中k的值，当＞0时，随着的增大也增大；当＜0时，随着的增大反而减小.
举一反三：
【变式】（2018?伊宁市校级一模）下列关于正比例函数y=﹣5x的说法中，正确的是（　　）
　 A．当x=1时，y=5
　 B．它的图象是一条经过原点的直线
　 C．y随x的增大而增大
　 D．它的图象经过第一、三象限
【答案】B；
解：A、当x=1时，y=﹣5，错误；
B、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，正确；
C、根据k＜0，得图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，错误；
D、图象经过二四象限，错误；
故选B．

4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数、、、 的图象分别为、、、，则下列关系中正确的是（　　）
A．＜＜＜ B．＜＜＜
C．＜＜＜ D．＜＜＜
【答案】B；
【解析】首先根据直线经过的象限，知：＜0，＜0，＞0，＞0，再根据直线越陡，||越大，知：＞||，||＜||．则＜＜＜
【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.
类型三、正比函数应用
5、如图所示，射线、分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度关系是（ ）．
A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲、乙同速 D．不一定
【思路点拨】观察图象，在t相同的情况下，有，故易判断甲乙的速度大小．
【答案】A；
【解析】由知，，观察图象，在相同的情况下，有，故有．
【总结升华】此问题中，、对应的解析式中，的绝对值越大，速度越快．
举一反三：
【变式】如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的函数图象，图中和分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）
A.2.5米 B.2米 C.1.5米 D.1米
【答案】C；
提示：从图中可以看出甲用了8秒钟跑了64米，速度是8米/秒，乙用了8秒钟跑了52米，速度是米/秒，所以快者的速度比慢者的速度每秒快1.5米.
【巩固练习】
一.选择题
1. 直线过点（0，0）和点（ ）
A.（－1，－3） B.（1，3） C.（1，－3） D.（3，－1）
2. 下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018春?澧县期末）在下列各图象中，表示函数y=﹣kx（k＜0）的图象的是（　　）
　 A． B． C． D．
4. 如图所示，直线的函数解析式是（ ）．
A． B． C． D．
5.（2019?江西模拟）关于函数y=2x，下列结论中正确的是（　　）
A．函数图象都经过点（2，1）
B．函数图象都经过第二、四象限
C．y随x的增大而增大
D．不论x取何值，总有y＞0
6．点A（–5，）和B（–2，）都在直线上，则与的关系是（ ）
A. ≤ B. ＝ C. ＜ D. ＞
二.填空题
7．若直线经过点A（－4，3），则＝______．如果这条直线上点A的横坐标＝4，那么它的纵坐标＝______．
8. 已知三角形底边长为4，高为，三角形的面积为，则与的函数关系式为_______________.
9. －2与＋1成正比例，比例系数为－2，将表示成的函数为：___________.
10.（2018春?建瓯市校级月考）已知正比例函数y=（1﹣m）x|m﹣2|，且y随x的增大而减小，则m的值是　 　．
11. 若函数是正比例函数，那么＝______,图象经过第_______象限.
12. （2019春?正定县期末）若函数y=（2m+6）x+（1﹣m）是正比例函数，则m的值是　 　．
三.解答题
13.蜡烛点燃后缩短长度（）与燃烧时间（分钟）之间的关系为，已知长为21的蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛缩短了3.6，求：
（1）与之间的函数解析式；
（2）此蜡烛几分钟燃烧完.
14.（2018春?衡阳县期中）已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；
（3）当x取何值时，y=．
15.若正比例函数的图像经过点A（－5，3），
（1）求的值；
（2）判断随的增大如何变化；
（3）如果这条直线上点B的横坐标＝4，那么它的纵坐标的值是多少？
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】正比例函数过原点和点(1，).
2. 【答案】A；
3. 【答案】C；
【解析】解：∵k＜0，∴﹣k＞0，
∴函数y=﹣kx（k＜0）的值随自变量x的增大而增大，且函数为正比例函数，
故选：C．
4. 【答案】C；
【解析】由图知，的图象过点(－3，2)，则2＝－3，解得，故选C．
5. 【答案】C；
【解析】A、函数图象经过点（2，4），错误；B、函数图象经过第一、三象限，错误；
C、y随x的增大而增大，正确；D、当x＞0时，才有y＞0，错误；故选C．
6. 【答案】D；
【解析】＜0，随着的增大而减小.
二.填空题
7. 【答案】；－3；
【解析】将点A的坐标代入，求.
8. 【答案】；
【解析】由题意.
9. 【答案】；
【解析】由题意可得：，化简得：．
10.【答案】3；
【解析】解：∵此函数是正比例函数，
∴，
解得m=3.
11.【答案】4，一、三
【解析】函数是正比例函数，可知－4＝0，可以得出的值，即可得出函数关系式，比例系数为15＞0，故图象过第一、三象限．
12.【答案】1；
【解析】∵函数y=（2m+6）x+（1﹣m）是正比例函数，∴，解得m=1．
三.解答题
13.【解析】
解：（1）由题意，3.6＝6，解出＝0.6
所以＝0.6
（2）21＝0.6，解得＝35，所以此蜡烛35分钟燃烧.
14.【解析】
解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，
∵图象经过点（﹣3，6），
∴﹣3k=6，
解得k=﹣2，
所以，此函数的关系式是y=﹣2x；
（2）把x=﹣6代入解析式可得：y=12；
（3）把y=代入解析式可得：x=﹣．
15.【解析】
解：(1)∵直线经过点A（－5，3）∴3＝－5
∴＝ ∴直线的解析式为
（2）∵＝＜0,∴随的增大而减小。
（3）∵B点在直线上,＝4,∴＝.