北师大版初中数学八年级上册第16讲 一次函数的图象和性质(基础)(知识讲解+巩固练习)

一次函数的图象和性质—知识讲解（基础）
【学习目标】
1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数/的图象与正比例函数/的图象之间的关系；
2. 能正确画出一次函数/的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．
3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．
【要点梳理】
要点一、函数图象及一次函数的定义
1.函数图象的概念
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2.一次函数的定义
一般地，形如/（/，/是常数，/≠0）的函数，叫做一次函数.
要点诠释：当/＝0时，/即/，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数/，/的要求，一次函数也被称为线性函数.
3.画函数图象的一般步骤
总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤
第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．
第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．
第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．
要点二、一次函数的图象与性质
1.函数/（/、/为常数，且/≠0）的图象是一条直线 ；
当/＞0时，直线/是由直线/向上平移/个单位长度得到的；
当/＜0时，直线/是由直线/向下平移|/|个单位长度得到的.
2.一次函数/（/、/为常数，且/≠0）的图象与性质：
/3. /、/对一次函数/的图象和性质的影响：
/决定直线/从左向右的趋势，/决定它与/轴交点的位置，/、/一起决定直线/经过的象限．
4. 两条直线/：/和/：/的位置关系可由其系数确定：
（1）///与/相交； （2）/，且///与/平行；
要点三、待定系数法求一次函数解析式
　 一次函数/（/，/是常数，/≠0）中有两个待定系数/，/，需要两个独立条件确定两个关于/，/的方程，这两个条件通常为两个点或两对/，/的值.
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数/中有/和/两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以/和/为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
要点四、分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
【典型例题】
类型一、待定系数法求函数的解析式
/1、根据函数的图象，求函数的解析式．
/
【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此/＝2，可以设函数的解析式为/，再利用过点（1.5，0），求出相应/的值.
【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式.
解：设函数的解析式为/.
/它的图象过点（1.5，0），（0，2）
/
∴该函数的解析式为/.
【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以/和/为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
举一反三：
【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数/的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．
【答案】 /；
提示：设一次函数的解析式为/，它的图象与/的图象平行，则/，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋/．解得/．
∴ 一次函数解析式为/．
【变式2】（2018?岳池县模拟）如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
/
【答案】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y=kx+b得/，
解得/．
所以一次函数解析式为y=/x+/；
（2）把x=0代入y=/x+/得y=/，
所以D点坐标为（0，/），
所以△AOB的面积=S△AOD+S△BOD
=/×/×2+/×/×1
=/．
类型二、一次函数图象的应用
/2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量/(度)与应付电费/(元)的关系如图所示．根据图象求出/与/的函数关系式．
/
【思路点拨】根据函数关系的变化进行分段，分别求出各段的函数解析式．
【答案与解析】
解：根据图象，当0≤/≤50时，可设解析式为/，
将(50，25)代入解析式，所以/，所以/；
当/＞50时可设解析式为/，
将(50，25)，(100，70)代入解析式得/，
解得/，所以/．
所以当0≤/≤50时函数解析式为/；当/时函数解析式为/．
∴ 所求的一次函数解析式为：/．
【总结升华】求分段函数解析式的基本方法是：先分求，后整合.分求某段解析式的方法与求一次函数解析式的方法相同，在整合时要用大括号联结，并在各解析式后注明自变量的取值范围.
举一反三：
【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )
A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟
/
【答案】D；
提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.
类型三、一次函数的性质
/3、（2018秋?高新区校级期末）已知一次函数y=（2m+4）x+（3﹣n）．
（1）当m、n是什么数时，y随x的增大而增大；
（2）当m、n是什么数时，函数图象经过原点；
（3）若图象经过一、二、三象限，求m、n的取值范围．
【答案与解析】
（1）2m+4＞0，即m＞﹣2，n为任何实数时，y随x的增大而增大；
（2）当m、n是满足/即/时，函数图象经过原点；
（3）若图象经过一、二、三象限，则/，即/．
【总结升华】一次函数/的图象有四种情况：
①当/＞0，/＞0时，函数/的图象经过第一、二、三象限，/的值随/的值增大而增大；
②当/＞0，/＜0时，函数/的图象经过第一、三、四象限，/的值随/的值增大而增大；
③当/＜0，/＞0时，函数/的图象经过第一、二、四象限，/的值随/的值增大而减小；
④当/＜0，/＜0时，函数/的图象经过第二、三、四象限，/的值随/的值增大而减小．
/4、（2019?玉林）关于直线l：y=kx+k（k≠0），下列说法不正确的是（　　）
A．点（0，k）在l上 B．l经过定点（﹣1，0）
C．当k＞0时，y随x的增大而增大 D．l经过第一、二、三象限
【思路点拨】直接根据一次函数的性质选择不正确选项即可．
【答案与解析】
解：A、当x=0时，y=k，即点（0，k）在l上，故此选项正确；
B、当x=﹣1时，y=﹣k+k=0，此选项正确；
C、当k＞0时，y随x的增大而增大，此选项正确；
D、不能确定l经过第一、二、三象限，此选项错误；
故选D．
【总结升华】本题解题的关键是掌握一次函数的性质，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
举一反三：
【变式】函数/在直角坐标系中的图象可能是（ ）．
/
【答案】B；
提示：不论/为正还是为负，/都大于0，图象应该交于/轴上方，故选B.
【巩固练习】
一.选择题
1. （2018秋?德州校级月考）一次函数y=kx+b的图象如图，则（　　）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
2．（2019?湘西州）一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3. 已知一次函数/的图象经过第一、二、三象限，则/的取值范围是（ ）
A./ B./ C./ D./
4．某村办工厂今年前五个月中，每月某种产品的产量/（件）关于时间/（月）的函数图象如图所示，该厂对这种产品的生产是（ ）
/
A．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月每月生产量逐月减少
B．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月每月生产量与3月持平
C．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月均停止生产
D．1月至3月每月生产量不变，4、5两月均停止生产
5．已知直线/和直线/相交于点(2，/)，则/、/的值分别为（ ）．
A．2，3 B．3，2 C．/，2 D．/，3
6. 如图弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，则不挂物体时，弹簧长度为（ ）．
A．7/ B．8/ C．9/ D．10/
/
二.填空题
7. 如果直线/经过第一、二、三象限，那么/ 0．
8.（2019?贵阳）已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是　 　．
9. 已知一次函数的图象/与直线/平行, 则/＝ .
10.（2018秋?胶南市校级期末）如图是y=kx+b的图象，则b=　 　，与x轴的交点坐标为　 ，y的值随x的增大而　 　．
/
11.已知点A(－4, /),B(－2, /)都在一次函数/(/为常数)的图象上，则/与/的大小关系是/ /（填“＜”、“＝”或“＞”）.
12.一次函数/与两坐标轴围成三角形的面积为4，则/＝________.
三.解答题
13.（2018秋?德州校级月考）已知，函数y=（1﹣3k）x+2k﹣1，试回答：
（1）k为何值时，图象过原点？
（2）k为何值时，y随x增大而增大？
14.已知/与/成正比例，且当/＝1时，/＝5
（1）求/与/之间的函数关系式；
（2）若图象与/轴交于A点，与/交于B点，求△AOB的面积.
15.某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元；超过20人，超过部分每人10元．
（1）写出应收门票费/（元）与游览人数/（人）之间的函数关系式；
（2）利用（1）中的函数关系计算：某班54名学生去该风景区游览时，为购门票共花了多少元？
【答案与解析】
一.填空题
1. 【答案】D；
【解析】解：∵由函数图象可知，直线与x、y轴的坐标分别为（3，0），（0，﹣1），
∴/，解得/．
故选D．
2. 【答案】C
【解析】/＜0，/＞画出图象即可判断.
3. 【答案】C；
【解析】由题意知/，且/＞0，解得/
4. 【答案】B；
【解析】线段PQ与/轴平行，那么说明4、5两月每月生产量与3月持平.
5. 【答案】B；
【解析】点(2，/)在直线/上，故/＝2．点(2，2)在直线/上，故/，解得/＝3．
6. 【答案】D；
【解析】5/＋/＝12.5，20/＋/＝20，解得/＝0.5，/＝10.
二.填空题
7. 【答案】＞
【解析】画出草图如图所示，由图象知/随/的增大而增大，可知/＞0；图象与/轴的交点在/轴上方，知/＞0，故/＞0．
/
8. 【答案】a＞b；
【解析】∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，
∴该函数中y随着x的增大而减小，
∵1＜2，
∴a＞b．
故答案为：a＞b．
9. 【答案】3；
【解析】互相平行的直线/相同.
10.【答案】﹣2，/，增大．
【解析】解：把（1，2），（0，﹣2）代入y=kx+b得/，解得/，
所以一次函数的表达式为y=4x﹣2，
令y=0，得4x﹣2=0，解得x=/，
所以x轴的交点坐标为（/，0）
y的值随x的增大而增大．
故答案为：﹣2，/，增大．
11.【答案】＜；
【解析】/＞0，/随/的增大而增大.
12.【答案】/；
【解析】一次函数与/轴交点为/，与/轴交点为（0，/）,所以/，解得/＝±4.
三.解答题
13. 【解析】
解：（1）∵函数y=（1﹣3k）x+2k﹣1的图象过原点，
∴/，解得k=/；
（2）∵y随x增大而增大，
∴1﹣3k＞0，解得k＜/．
14.【解析】
解：（1）∵/与/成正比例，
∴ /
当/＝1时，/＝5
解得/＝2
∴/
(2)A(/)，B(0，3)
/＝/.
15.【解析】
解：（1）由题意，得
/
化简得：/
（2）把/＝54代入/＝10/＋300，/＝10×54＋300＝840（元）.
所以某班54名学生去该风景区游览时，为购门票共花了840元.