北师大版初中数学八年级上册第17讲 一次函数的应用(基础)(知识讲解+巩固练习)

一次函数的应用（基础）
【学习目标】
1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；
2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；
3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；
4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力．
【要点梳理】
要点一、数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
要点二、正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
要点三、选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
【典型例题】
类型一、简单的实际问题
1、如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价（元）与销售量（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（　　）
A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③
【思路点拨】分析图象，＝2时值相等，故买两件时售价一样，当买1件时乙家的售价比甲家低．买3件时，甲家较合算．
【答案】D；
【解析】如图，甲乙在＝2时相交，故售2件时两家售价一样．①对．买1件时乙的价格比甲的价格低．②对．买3件时甲的销售价比乙低，③对．买乙家的1件售价约为1元，④错．
【总结升华】本题考查了学生对函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
举一反三：
【变式】小刚、小强两人进行百米赛跑，小刚比小强跑得快，如果两人同时跑，小刚肯定赢，现在小刚让小强先跑若干米，图中的射线，分别表示两人跑的路程与时间的关系，根据图象判断：小刚的速度比小强的速度每秒快（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【答案】D；
提示：由图象知小刚让小强先跑20米，用8秒时间追上小强，所以每秒快2.5米．故选D．图象的交点表示的实际意义：小刚用时8秒追上小强，距离出发点64米．
2、（2018?淮安）小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步行到公交站台甲，再乘车到公交站台乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的速度不变），图中折线ABCDE表示小丽和学校之间的距离y（米）与她离家时间x（分钟）之间的函数关系．
（1）求小丽步行的速度及学校与公交站台乙之间的距离；
（2）当8≤x≤15时，求y与x之间的函数关系式．
【思路点拨】（1）根据函数图象，小丽步行5分钟所走的路程为3900﹣3650=250米，再根据路程、速度、时间的关系，即可解答；
（2）利用待定系数法求函数解析式，即可解答.
【答案与解析】
解：（1）根据题意得：
小丽步行的速度为：（3900﹣3650）÷5=50（米/分钟），
学校与公交站台乙之间的距离为：（18﹣15）×50=150（米）；
（2）当8≤x≤15时，设y=kx+b，
把C（8，3650），D（15，150）代入得：，
解得：
∴y=﹣500x+7650（8≤x≤15）．
【总结升华】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息，利用得到系数法求函数解析式．
类型二、方案选择问题
3、某经营世界著名品牌的总公司，在我市有甲、乙两家分公司，这两家公司都销售香水和护肤品．总公司现香水70瓶，护肤品30瓶，分配给甲、乙两家分公司，其中40瓶给甲公司，60瓶给乙公司，且都能卖完，两公司的利润（元）如下表．（1）假设总公司分配给甲公司瓶香水，求：甲、乙两家公司的总利润与之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，甲公司的利润会不会比乙公司的利润高？并说明理由；（3）若总公司要求总利润不低于17370元，请问有多少种不同的分配方案，并将各种方案设计出来
每瓶香水利润
每瓶护肤品利润
甲公司
180
200
乙公司
160
150
【思路点拨】（1）设总公司分配给甲公司瓶香水，用表示出分配给甲公司的护肤品瓶数、乙公司的香水和护肤品瓶数，根据已知列出函数关系式．（2）根据（1）计算出甲、乙公司的利润进行比较说明．（3）由已知求出的取值范围，通过计算得出几种不同的方案．
【答案与解析】
解：（1）依题意，甲公司瓶香水，甲公司的护肤品瓶数为：40－，乙公司的香水和护肤品瓶数分别是：70－，30－（40－）＝－10．＝180＋200（40－）＋160（70－）＋150（－10）＝－30＋17700．故甲、乙两家公司的总利润与之间的函数关系式＝－30＋17700
（2）甲公司的利润为：180＋200（40－）＝8000－20，乙公司的利润为：160（70－）＋150（－10）＝9700－10，8000－20－（9700－10）＝－1700－10＜0，∴甲公司的利润不会比乙公司的利润高．
（3）由（1）得： ，解得：10≤≤40，再由＝－30＋17700≥17370得：≤11，∴10≤≤11，∴有两种不同的分配方案．①当＝10时，总公司分配给甲公司10瓶香水，甲公司护肤品30瓶，乙公司60瓶香水，乙公司0瓶护肤品．②当＝11时，总公司分配给甲公司11瓶香水，甲公司29瓶护肤品，乙公司59瓶香水，乙公司1瓶护肤品.
【总结升华】此题考查的知识点是一次函数的应用，关键是先求出函数关系式，再对甲乙公司利润进行比较，通过求自变量的取值范围得出方案．
举一反三：
【变式】健身运动已成为时尚，某公司计划组装A、B两种型号的健身器材共40套，捐赠给社区健身中心.组装一套A型健身器材需甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B型健身器材需甲种部件3个和乙种部件6个.公司现有甲种部件240个，乙种部件196个.
（1）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案；
（2）组装一套A型健身器材需费用20元，组装一套B型健身器材需费用18元.求总组装费用最少的组装方案，最少组装费用是多少？
【答案】
解：（1）设该公司组装A型器材套，则组装B型器材(40－)套，依题意，得
解得22≤≤30.
由于为整数，∴取22，23，24，25，26，27，28，29，30.
∴组装A、B两种型号的健身器材共有9种组装方案.
（2）总的组装费用＝20＋18（40－）＝2＋720.
∵＝2＞0，∴随的增大而增大.
∴当＝22时，总的组装费用最少，最少组装费用是2×22＋720＝764元.
总组装费用最少的组装方案：组装A型器材22套，组装B型器材18套.
4、2011年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水120吨.有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出80吨，乙厂每天最多可调出90吨.从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：
（1）若某天调运水的总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？
（2）设从甲厂调运饮用水吨，总运费为元，试写出关于与的函数关系式，怎样安排调运方案才能是每天的总运费最省？
【答案与解析】
解：（1）设从甲厂调运饮用水吨，从乙厂调运饮用水吨，根据题意得
解得
∵5080，7090，∴符合条件.
故从甲、乙两水厂各调用了50吨、70吨饮用水.
（2）设从甲厂调运饮用水吨，则需从乙厂调运水（120－）吨，根据题意可得
解得.
总运费，（）
∵随的增大而增大，故当时，元.
∴每天从甲厂调运30吨，从乙厂调运90吨，每天的总运费最省.
【总结升华】本题的最值问题是利用解不等式和一次函数的性质，并要注意自变量的实际取值范围．
举一反三：
【变式】（2018?广安）为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：
目的地
车型
A村（元/辆）
B村（元/辆）
大货车
800
900
小货车
400
600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
【答案】
解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：
解得：．
∴大货车用8辆，小货车用7辆．
（2）y=800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]=100x+9400．（3≤x≤8，且x 为整数）．
（3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100，
解得：x≥5，
又∵3≤x≤8，
∴5≤x≤8且为整数，
∵y=100x+9400，
k=100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=5时，y最小，
最小值为y=100×5+9400=9900（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．
【巩固练习】
一.选择题
1. 在西部大开发中，为了改善生态环境，鄂西政府决定绿化荒地，计划第1年先植树1.5万亩，以后每年比上一年增加1万亩，结果植树总数是时间（年）的一次函数，则这个一次函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
2. 弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图所示，由此图可知不挂物体时弹簧的长度为（　　）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm

3. 如图，、分别是甲、乙两弹簧的长与所挂物体质量之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1物体伸长的长度为，乙弹簧每挂1物体伸长的长度为 ，则与的关系是（　　）
A．＞ B．＝ C．＜ D．不能确定
4. 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（　 ）
A．12分钟 B．15分钟 C．25分钟 D．27分钟
5. 受国际金融危机影响，市自来水公司号召全市市民节约用水．决定采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水21吨，则应交水费（　　）
A．52.5元 B．45元 C．42元 D．37.8元
6.（2018?烟台）A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发3小时后追上甲；③甲的速度是4千米/小时；④乙先到达B地．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题
7. 如图，反映了某公司的销售收入与销量的关系，反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利（收入＞成本）时，销售量必须_______.
8. 日常生活中，“老人”是一个模糊概念．有人想用“老人系数”来表示一个人的老年化程度．他设想“老人系数”的计算方法如下表：
人的年龄（岁）
≤60
60＜＜80
≥80
该人的“老人系数”
0
1
按照这样的规定，你知道一个年龄为70岁的人的“老人系数”是_______.
9.生物学家研究表明，某种蛇的长度是其尾长的一次函数，当蛇的尾长为6时，蛇长45.5；当尾长为14时，蛇长为105.5．当一条蛇的尾长为10时，这条蛇的长度是________.
10.（2018?普安县校级模拟）如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差　 　km/h．

11. 某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额（元）与租书时间（天）之间的关系如图所示，当租书时间为120天时，应使用_______比较合算.
12. 小敏从地出发向地行走，同时小聪从地出发向地行走，如图所示，相交于点的两条线段分别表示小敏、小聪离地的距离与已用时间之间的关系，则小敏、小聪的速度分别是______________.
三.解答题
13. 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过20立方米时，其中的20立方米仍按2元/立方米计费，超过部分按2.6元/立方米计费．设每户家庭月用水量为立方米时，应交水费元．
(1)分别求出0≤≤20和＞20时与的函数表达式；
(2)小明家第二季度交水费的情况如下：
月份
四月份
五月份
六月份
交费金额
30元
34元
42.6元
小明家这个季度共用水多少立方米?
14.某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费．
(1)分别写出甲、乙两厂的收费(元) 、 (元)与印制数量(本)之间的关系式；
(2)问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由．
15.（2018?济宁）小明到服装店进行社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元，乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？？
（2）在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】根据题意：计划第1年先植树1.5万亩，即函数图象左端点为（1，1.5）．以后每年比上一年增加1万亩，即第二年的植树量为2.5万亩，即＝2时，＝2.5．故选B．
2. 【答案】D；
【解析】先设弹簧的长为，伸长系数为，则＝0.5＋10，所以当＝0的时候，＝10.
3. 【答案】A；
【解析】弹簧的长与所挂物体质量之间函数关系是一次函数，斜率反映了弹簧每挂1物体伸长的长度，越大，伸长的长度越大，由图可知，的倾斜程度大于的倾斜程度，所以＞．故选A．
4. 【答案】B；
【解析】依据图象分别求出平路、上坡路和下坡路的速度分别是千米/分钟，千米/分钟，千米/分钟，然后根据路程，求出时间即可．
5. 【答案】C；
【解析】由图象知用水量不超过15吨时水费为27÷15＝1.8元/吨，超过部分为（39.5－27）÷（20－15）＝2.5元/吨．本月应交水费27＋2.5×（21－15）＝42 .
6. 【答案】C；
【解析】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；
乙出发3﹣1=2小时后追上甲，故②错误；
甲的速度为：12÷3=4（千米/小时），故③正确；
乙的速度为：12÷（3﹣1）=6（千米/小时），
则甲到达B地用的时间为：20÷4=5（小时），
乙到达B地用的时间为：20÷6=（小时），
1+3，
∴乙先到达B地，故④正确；
正确的有3个．
故选：C．
二.填空题
7.【答案】大于4；
【解析】两直线交点横坐标为4，在交点右边在上，表示收入＞成本，即盈利了，所以当该公司赢利（收入＞成本）时，销售量必须＞4．
8. 【答案】0.5；
【解析】根据题意，把＝70，直接代入相应解析式即可解答．
9. 【答案】75.5；
【解析】由待定系数法求出函数的解析式为：
10.【答案】；
【解析】解：根据图象可得出：甲的速度为：120÷5=24（km/h），
乙的速度为：（120﹣4）÷5=23.2（km/h），
速度差为：24﹣23.2=（km/h），
故答案为：．
11.【答案】会员卡；
【解析】小于100时，使用租书卡更合算，当大于100时，使用会员卡更合算．
12.【答案】 4和3；
【解析】小聪的速度＝4.8÷1.6＝3；小敏的速度＝4.8÷（2.8－1.6）＝4．
三.解答题
13.【解析】
解：(1)当0≤≤20时，＝2；
当＞20时，＝2×20＋2.6(－20)，即＝2.6－12．
(2)因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，六月份的水费超过40元，所以把＝30代入＝2中，得＝15；把＝34代入＝2中，得＝17；把＝42.6代入＝2.6－12中，得＝21．所以15＋17＋21＝53（立方米）．
即小明家这个季度共用53立方米．
14.【解析】
解：(1)，．
(2)当＞时，即＞,则＜500 ，
当＝时， 即＝,则＝500，
当＜时，即 ＜, 则＞500，
∴该学校印制学生手册数量小于500本时应选择乙厂合算，当印制学生手册数量大于500本时应选择甲厂合算，当印制学生手册数量等于500本时选择两厂费用都一样 ．
15.【解析】
解：（1）设甲种服装购进x件，则乙种服装购进（100﹣x）件，
根据题意得：
，
解得：65≤x≤75，
∴甲种服装最多购进75件；
（2）设总利润为W元，
W=（120﹣80﹣a）x+（90﹣60）（100﹣x）
即w=（10﹣a）x+3000．
①当0＜a＜10时，10﹣a＞0，W随x增大而增大，
∴当x=75时，W有最大值，即此时购进甲种服装75件，乙种服装25件；
②当a=10时，所以按哪种方案进货都可以；
③当10＜a＜20时，10﹣a＜0，W随x增大而减小．
当x=65时，W有最大值，即此时购进甲种服装65件，乙种服装35件．