人教版高中数学必修一知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.2 对数函数

/
知识
一、对数
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作_______，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
（2）常用对数：通常我们将以_______为底的对数叫做常用对数，并把记为lg N．
（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2．718 28……为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把记为ln N．
2．对数与指数的关系
当a>0，且a≠1时，．即
/
3．对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
（1）负数和零没有对数，即；
（2）1的对数等于0，即；
（3）底数的对数等于1，即．
二、对数的运算
1．基本性质
若，则
（1）______；
（2）______．
2．对数的运算性质
如果，那么：
（1）；
（2）；
（3）．
三、换底公式及公式的推广
1．对数的换底公式
．
【注】速记口诀：
换底公式真神奇，换成新底可任意，
原底加底变分母，真数加底变分子．
2．公式的推广
（1）（其中a>0且；b>0且）；
（2）（其中a>0且；b>0）；
（3）（其中a>0且；b>0）；
（4）（其中a>0且；b>0）；
（5）（其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0）．
四、对数函数
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_____．
2．对数函数的结构特征
（1）对数符号前面的系数是1；
（2）对数的底数是不等于1的正实数（常数）；
（3）对数的真数仅有自变量x．
五、对数函数的图象与性质
1．一般地，对数函数的图象和性质如下表所示：
图象
/
/
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
过定点
过定点，即时，
单调性
在上是___函数
在上是___函数
函数值的变化情况
当时，；
当时，
当时，；
当时，
【注】速记口诀：
对数增减有思路，函数图象看底数；
底数只能大于0，等于1了可不行；
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减；
无论函数增和减，图象都过（1，0）点．
2．对数函数中的底数对其图象的影响
在直线x=1的右侧，当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0六、反函数
根据指数与对数的关系，将指数式（其中是自变量，且，是的函数，）化成对数式，即，于是对于任意一个，通过式子都有唯一一个与之对应，这样将看成自变量，是的函数，这时我们就说是函数的反函数．
由于习惯上将看成自变量，而将看成因变量，因此，我们将中的，互换，写成，即对数函数是指数函数的反函数，它们的图象关于直线对称．
知识参考答案：
一、1．（1） （2）10
二、1．（1） （2）
2．（1） （2） （3）
四、1．
五、1．减 增
重点
重点
1．对数，对数的运算性质，换底公式；
2．对数函数的概念、对数函数的图象与性质．
难点
1．对数的运算性质；
2．对数型复合函数的性质及其应用．
易错
1．对于对数运算，不仅要注意“真数大于0”这一隐含条件，还应准确掌握对数的运算法则，保证对数运算的每一步都是等价的；
2．关于对数函数常见的易错点有三个：
（1）忽略对数函数定义域的限制；
（2）对于字母为底数的对数函数不加讨论；
（3）解有关对数函数的不等式时，忽略真数大于0这一基本条件，使解集扩大．
1．对数的概念
解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可．对数的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系．
【例1】在对数式中，实数的取值范围应该是
A．11且x≠2
C．x>3 D．1【答案】D
/
【名师点睛】本题极易忽略底数的限制范围，底数需大于0且不等于1．
2．对数运算性质的应用
对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原则是：
（1）尽量将真数化为 “底数”一致的形式；
（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；
（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．运算时要灵活运用对数的相关公式求解，如
，等．
【例2】计算：（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）1．
/
【名师点睛】在计算的值时，注意将化为即可求解．在求解（2）时，注意提取公因式，利用求解．
3．换底公式的应用
换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数．
【例3】已知，试用表示．
【答案】．
【解析】．
∵∴．
则．
【名师点睛】在解题的方向还不清楚的情况下，一般统一为常用对数（当然也可以换成其他非1的正数为底）．
4．对数方程的求解
解对数方程时，（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；（2）化简后得到关于简单对数式的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解．
【例4】方程的解为 ．
【答案】
/
【名师点睛】本题所给方程的底数相同，若底数不同，则还需化为同底数再求解．另外，解对数方程必须把所求得的解代入原方程进行检验，以确保所有的真数都大于零，这是必不可少的步骤．
5．与对数函数有关的函数的定义域和值域
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．同时还要注意偶次方根的被开方数非负，分母不能为零等．
求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围．
【例5】已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，解得，
故函数的定义域是．
（2）=，．
令，则．
又在上为增函数，
∴的最大值是．
【名师点睛】求函数的最值，一定要坚持“定义域优先”的原则．由对数函数组成的复合函数的最值问题，可利用换元法求解，但要注意中间变量的取值范围．
6．对数函数的图象
对数函数的图象过定点（1，0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标．
当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快．也可作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
【例6】设，函数的图象恒过定点P，则P点的坐标是
A． B．
C． D．
【答案】A
/
【名师点睛】本题求定点坐标的依据是对数函数的图象过定点（1，0），不必分和两种情况讨论．
7．对数函数单调性的应用
（1）比较对数式的大小：若比较同底数的两个对数式的大小，可直接利用对数函数的单调性；若比较底数不同、真数相同的两个对数式的大小，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；若比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助1，0等中间量进行比较．
（2）解简单的对数不等式：形如的不等式，常借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况进行讨论；形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解．
【例7】已知，则
A． B．
C． D．
【答案】C
/
【名师点睛】本题中既有指数式，又有对数式，无法直接比较大小，可借助中间量1，0来进行比较．
8．对数型复合函数的性质及其应用
（1）对数复合函数的单调性
复合函数y=f[g（x）]是由y=f（x）与y=g（x）复合而成，若f（x）与g（x）的单调性相同，则其复合函数f[g（x）]为增函数；若f（x）与g（x）的单调性相反，则其复合函数f[g（x）]为减函数．
对于对数型复合函数y=logaf（x）来说，函数y=logaf（x）可看成是y=logau与u=f（x）两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．
（2）对于形如y=logaf（x）（a>0，且a≠1）的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成y=logau，u=f（x）两个函数；
②求f（x）的定义域；
③求u的取值范围；
④利用y=logau的单调性求解．
【例8】讨论函数的单调性．
【答案】答案详见解析．
【解析】由3x2?2x?1>0，得函数的定义域为{x|x>1或x<}．
①当a>1时，
若x>1，∵u=3x2?2x?1为增函数，
∴f（x）=loga（3x2?2x?1）为增函数．
若x<，∵u=3x2?2x?1为减函数，
∴f（x）=loga（3x2?2x?1）为减函数．
②当0若x>1，则f（x）=loga（3x2?2x?1）为减函数，
若x<，则f（x）=loga（3x2?2x?1）为增函数．
【名师点睛】求复合函数单调性的具体步骤是：（1）求定义域；（2）拆分函数；（3）分别求y=f（u），u=φ（x）的单调性；（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．
9．K易错——忽略真数大于0
【例9】已知，求的值．
【错解】因为，
所以，即，即，解得或．
所以或．
【错因分析】错解中，与对的取值范围要求是不同的，即求解过程不等价，因此，得出解后要代入原方程验证．
【正解】同错解，得到或．
由知，，
当时，，此时无意义，所以，
即应舍去；
当时，．
【名师点睛】求解有关对数恒等式或不等式的过程中，经常需要将对数符号“脱掉”，此时很容易忽略原式中对数的真数大于0这一隐性限制条件，从而导致求出的最终结果中产生增根或范围扩大，因此要求我们对于此类题，一定要将求出的结果代入原式中进行检验．
10．K易错——忽略对底数的讨论
【例10】不等式的解集是_______．
【错解】∵，
∴原不等式等价于，
∴，解得x＜2．
∴不等式的解集为．
【错因分析】错解中的底数的值不确定，因此要分类讨论．另外，求解时要保证真数大于0．
/
【名师点睛】解对数不等式时，要防止定义域扩大，途径有两种：一是不同解变形，最后一定要检验；二是解的过程中加上限制条件，如正解，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解不等式组得到原不等式的解，这样得出的解就不用检验了．
基础训练
1．等于
A．1 B．2 C．5 D．6
2．实数的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知函数f（x）=log2（3+x）+log2（3–x），则f（1）=
A．1 B．log26
C．3 D．log29
4．若，则有
A．a=2b B．b=2a
C．a=4b D．b=4a
5．设，则f（3）的值是
A．128 B．256
C．512 D．8
6．log5+log53等于
A．0 B．1
C．–1 D．log5
7．若a=，b=，c=log23，则a，b，c大小关系是
A．aC．b8．若a=30.4，b=0.43，c=log0.43，则
A．bC．a9．若且abc≠0，则=
A．2 B．1 C．3 D．4
10．已知，则下列不等式一定成立的是
A． B．
C．ln（a–b）>0 D．3a–b<1
11．函数的定义域为__________．
12．函数y=lgx的反函数是__________．
13．函数f（x）=的定义域为__________．
14．设2x=5y=m，且=2，则m的值是__________．
15．方程log2（2–x）+log2（3–x）=log212的解x=__________．
能力提升
16．已知f（x）=lg（10+x）+lg（10–x），则f（x）是
A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数
B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数
C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数
D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数
17．设正实数a，b满足6a=2b，则
A．0 B．1
C．2 D．3
18．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
19．若log2（log3a）=log3（log4b）=log4（log2c）=1，则a，b，c的大小关系是
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．b>c>a
20．若正实数x，y满足log2（x+3y）=log4x2+log2（2y），则x+3y的最小值是
A．12 B．10
C．8 D．6
21．对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是
A．lgy–lgx=lg B．lg（x+y）=lgx+lgy
C．lgx3=3lgx D．lgx=
22．设函数y=f（x）的图象与y=log2（x+a）的图象关于直线y=–x对称，且f（–2）+f（–1）=2，则a=
A．3 B．1 C．2 D．4
23．已知函数f（x）=ln（–x2–2x+3），则f（x）的增区间为
A．（–∞，–1） B．（–3，–1）
C．[–1，+∞） D．[–1，1）
24．已知函数，则函数f（x）的减区间是
A．（–∞，2） B．（2，+∞）
C．（5，+∞） D．（–∞，–1）
25．已知R上的奇函数f（x）满足当x<0时，f（x）=log2（1–x），则f（f（1））=
A．–1 B．–2
C．1 D．2
26．若实数a，b满足a>b>1，m=loga（logab），，，则m，n，l的大小关系为
A．m>l>n B．l>n>m
C．n>l>m D．l>m>n
27．函数f（x）=loga（3–ax）（a>0且a≠1）在区间（a–2，a）上单调递减，则a的取值范围为__________．
28．已知函数f（x）=a?2x+3–a（a∈R）的反函数为y=f–1（x），则函数y=f–1（x）的图象经过的定点的坐标为__________．
29．若函数f（x）=loga（x2–ax+1）（a>0且a≠1）没有最小值，则a的取值范围是__________．
30．（1）；
（2）．
31．求函数f（x）=log（x2–3）的单调区间．
32．已知函数f（x）=lg（x+1）–lg（1–x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．
33．已知函数f（x）=loga（1+x）–loga（1–x），其中a>0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若f（）=2，求使f（x）>0成立的x的集合．
真题练习
34．（2018?天津模拟）已知a=log2e，b=ln2，c=，则a，b，c的大小关系为
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
35．（2019?天津模拟）已知a=log3，b=，c=，则a，b，c的大小关系为
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
36．（2018?新课标Ⅲ）设a=log0.20.3，b=log20.3，则
A．a+bC．a+b<037．（2019?上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=__________．
38．【2018年全国卷Ⅲ文】已知函数，，则__________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
16
17
B
C
C
C
B
A
A
D
A
A
D
C
18
19
20
21
22
23
24
25
26
34
35
36
D
D
D
B
D
B
C
C
B
D
D
B
1．【答案】B
【解析】原式==2．故选B．
2．【答案】C
【解析】=1+lg4+lg25=1+lg100=3．故选C．
3．【答案】C
【解析】f（1）=log24+log22=2+1=3．故选C．
4．【答案】C
【解析】，得，即a=4b．故选C．
5．【答案】B
【解析】设log2x=t，则x=2t，所以f（t）=，即f（x）=．则f（3）=．故选B．
6．【答案】A
【解析】原式==log51=0．故选A．
7．【答案】A
【解析】∵a=1，则a8．【答案】D
【解析】a=30.4>1，b=0.43∈（0，1），c=log0.43<0，则c9．【答案】A
/
10．【答案】A
【解析】∵，∴a>b>0，∴，，ln（a–b）与0的大小关系不确定，3a–b>1．因此只有A正确．故选A．
11．【答案】（–1，+∞）
【解析】应该满足，即2+x>1，解得x>–1，所以函数的定义域为（–1，+∞）．故答案为：（–1，+∞）．
12．【答案】y=10x
【解析】函数y=lgx，可得x=10y，所以函数y=lgx的反函数是y=10x．故答案为：y=10x．
13．【答案】（0，e]
【解析】函数的定义域为：{x|}，解得014．【答案】
【解析】由2x=5y=m，得x=log2m，y=log5m，由=2，得，即logm2+logm5=2，∴logm10=2，∴m=．故答案为：．
15．【答案】–1
/
16．【答案】D
【解析】由得：x∈（–10，10），故函数f（x）的定义域为（–10，10），关于原点对称，又由f（–x）=lg（10–x）+lg（10+x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，而f（x）=lg（10+x）+lg（10–x）=lg（100–x2），y=100–x2在（0，10）递减，y=lgx在（0，10）递增，故函数f（x）在（0，10）递减，故选D．
17．【答案】C
【解析】∵6a=2b，∴aln6=bln2，∴=1+=1+log23，∵118．【答案】D
【解析】由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
∴≈=1093．故选D．
19．【答案】D
【解析】由log2（log3a）=1，可得log3a=2，lga=2lg3，故a=32=9，由log3（log4b）=1，可得log4b=3，lgb=3lg4，故b=43=64，由log4（log2c）=1，可得log2c=4，lgc=4lg2，故c=24=16，∴b>c>a．故选D．
20．【答案】D
【解析】∵log2（x+3y）=log4x2+log2（2y），∴log2（x+3y）=log2x+log2（2y），即x+3y=2yx．可得：x+3y=?3yx．∴（x+3y），当且仅当x=3y时取等．令x+3y=t，（t>0），则6t≤t2，解得：t≥6，即x+3y≥6．故选D．
21．【答案】B
/
22．【答案】D
【解析】函数y=f（x）的图象与y=log2（x+a）的图象关于直线y=–x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y=–x对称的点为（–y，–x），把（–y，–x）代入y=log2（x+a），得–x=log2（–y+a），∴f（x）=–2–x+a，∵f（–2）+f（–1）=2，∴–22+a–2+a=2，解得a=4．故选D．
23．【答案】B
【解析】由–x2–2x+3>0，解得：–324．【答案】C
【解析】设t=x2–4x–5，由t>0可得x>5或x<–1，则y=t在（0，+∞）递减，由t=x2–4x–5在（5，+∞）递增，可得函数f（x）的减区间为（5，+∞）．故选C．
25．【答案】C
【解析】设x>0，–x<0，f（x）为R上的奇函数，且x<0时，f（x）=log2（1–x），则f（–x）=log2（1+x）=–f（x），∴f（x）=–log2（1+x），∴f（1）=–1，∴f（f（1））=f（–1）=log22=1．故选C．
26．【答案】B
【解析】∵实数a，b满足a>b>1，m=loga（logab），，，∴0=loga1=2logab>．∴m，n，l的大小关系为l>n>m．故选B．
27．【答案】{a|1【解析】∵函数f（x）=loga（3–ax）（a>0且a≠1）在区间（a–2，a）上单调递减，∴，求得128．【答案】（3，0）
【解析】∵f（x）=a?2x+3–a=a（2x–1）+3过定点（0，3），∴f（x），的反函数y=f–1（x）的图象经过定点（3，0）．故答案为：（3，0）．
29．【答案】（0，1）∪[2，+∞）
/
30．【答案】（1）–7；（2）．
【解析】（1）原式=
=log39–9=2–9=–7；
（2）
．
31．【答案】单减区间是（，+∞），单增区间是（–∞，–）．
【解析】要使函数有意义，当且仅当u=x2–3>0，
即x>或x<–．
又x∈（，+∞）时，u是x的增函数；
x∈（–∞，–）时，u是x的减函数．
而u>0时，y=logu是减函数，
故函数y=log（x2–3）的单减区间是（，+∞），单增区间是（–∞，–）．
32．【答案】（1）（–1，1）；（2）f（x）为奇函数．
【解析】（1）要使原函数有意义，需满足，
解得–1故函数的定义域为（–1，1）；
（2）∵f（–x）=lg（1–x）–lg（1+x）=–f（x）
∴f（x）为奇函数．
33．【答案】（1）（–1，1）（2）奇函数，理由详见解析；（3）（0，1）．
/
（3）若f（）=2，
∴loga（1+）–loga（1–）=loga4=2，
解得a=2，
∴f（x）=log2（1+x）–log2（1–x），
若f（x）>0，则log2（x+1）>log2（1–x），
∴x+1>1–x>0，
解得0故不等式的解集为（0，1）．
34．【答案】D
【解析】a=log2e>1，0log2e=a，则a，b，c的大小关系c>a>b，故选D．
35．【答案】D
【解析】∵a=log3，c==log35，且5，∴，则b=，∴c>a>b．故选D．
36．【答案】B
/
37．【答案】7
【解析】∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．
38．【答案】
【解析】，
∴，则，故答案为：–2．