人教版高中数学必修一知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.3 幂函数

知识
一、幂函数
1．幂函数的概念
一般地，函数是常数）叫做幂函数，其中是自变量，是常数．
2．幂函数的结构特征
幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：
（1）指数为常数；
（2）底数为自变量；
（3）系数为1．
3．幂函数与指数函数的区别与联系
函数
解析式
相同点
不同点
指数函数
右边都是幂的形式
指数是自变量，底数是常数
幂函数
底数是_______，指数是_______
二、幂函数的图象与性质
1．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
过定点
过定点
过定点
【注】幂函数是常数）中，的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样．注意是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同．
2．幂函数是常数）的指数对图象的影响
（1）当_______时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；
（2）当_______时，函数图象向x轴弯曲，类似于的图象；
（3）当_______时，函数图象向y轴弯曲，类似于的图象，而且逆时针方向指数在增大．
具体如下：
α
α>1
0<α<1
α<0
图象
特殊点
过（0，0），（1，1）
过（0，0），（1，1）
过（1，1）
凹凸性
下凸
上凸
下凸
单调性
递增
递增
递减
举例
y=x2
、
3．常用结论
（1）幂函数在_______ 上都有定义．
（2）幂函数的图象均过定点_______．
（3）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调_______．
（4）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调_______．
（5）幂函数在第四象限无图象．
知识参考答案：
一、3．自变量 常数
二、2．（1） （2） （3）
3．（1） （2） （3） 递增 （4） 递减
重点
重点
1．幂函数的定义、图象与性质；
难点
1．幂函数的性质；
易错
1．要正确区分幂函数和指数函数；
2．根据幂函数的定义求参数的值时，一定要把求出的参数的值代入题目中进行取舍．
1．重点——幂函数的定义
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足：
（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．
【例1】已知幂函数的图象过点（2， ），试求该函数的解析式．
【答案】．
【名师点睛】虽然幂函数（是常数）和指数函数都具有幂的形式，但幂函数以幂的底数为自变量，指数为常数；指数函数以幂的底数为常数，指数为自变量．当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数的知识解决，还是用指数函数的知识解决．
2．幂函数的图象
要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：
（1）当的值在（0，1）上时，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴（简记为“指大图低”）；当的值在（1，+∞）上时，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
（2）任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限．
【例2】已知函数，，的图象如图所示，则实数的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】A
【名师点睛】本题也可采用特殊值法，如取，结合图象可知，又函数是增函数，于是．
3．幂函数性质的应用
（1）幂函数的单调性主要用来比较指数相同、底数不同的幂的值的大小，这时需要注意幂函数的定义域和利用幂函数的奇偶性进行转化；
（2）与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等．
【例3】如图，幂函数的图象关于轴对称，且与轴，轴均无交点，求此函数的解析式及不等式的解集．
【答案】函数的解析式是，不等式的解集为．
【名师点睛】解决与幂函数有关的综合性问题时，一定要考虑幂函数的概念．对于幂函数（是常数），由于的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．
4．幂函数单调性的应用
（1）注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．
第一步，根据指数分清正负；
第二步，正数区分大于1与小于1的情况，a>1，α>0时，aα>1；00时，01，α<0时，01；
第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．
（2）给定一组数值，比较大小的步骤．
第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．
第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1．
第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．
第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底（化同指）、或放缩、有时作商（或作差）、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．
【例4】设，则的大小关系是
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
【答案】A
【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量．
5．求出参数后，忽略检验致错
【例5】已知幂函数的定义域为，且单调递减，则_______．
【错解】因为幂函数的定义域为，且单调递减，所以，解得．又因为，所以或2．
【错因分析】错解中对求出的的值没有代回题目中进行检验，造成多解．
【正解】因为幂函数的定义域为，且单调递减，所以，解得．又因为，所以或2．
当时，，其定义域为，且函数单调递减，符合题意；
当时，，其定义域是，不符合题意，舍去．
综上，得．
【名师点睛】根据题目条件及幂函数的定义求出参数的值后，一定要把参数的值代回题目中进行检验，看是否满足题意，否则容易造成多解或错解．
基础训练
1．如果幂函数f（x）=xα的图象经过点，则α=
A．–2 B．2 C． D．
2．若幂函数f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值是
A．4 B．3 C．2 D．1
3．幂函数的图象经过点，则f（2）的值等于
A．4 B． C． D．
4．函数的单调递增区间为
A．（–∞，0] B．[0，+∞） C．（0，+∞） D．（–∞，0）
5．若幂函数y=f（x）经过点，则此函数在定义域上是
A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数
6．若函数f（x）=（m2–m–1）xm是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f（x）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是单调递减函数 D．在定义域内有最小值
7．幂函数f（x）=xα的图象经过点，则实数α=___________．
8．幂函数y=f（x）的图象经过点，则的值为___________．
9．已知幂函数f（x）经过点（2，8），则f（3）=___________．
能力提升
10．函数的单调递减区间为
A． B．
C． D．
11．已知点在幂函数f（x）=（a–1）xb的图象上，则函数f（x）是
A．定义域内的减函数 B．奇函数
C．偶函数 D．定义域内的增函数
12．已知点（a，）在幂函数f（x）=（a–1）xb的图象上，则函数f（x）是
A．奇函数 B．偶函数
C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
13．已知幂函数f（x）=xa的图象经过函数g（x）=ax–2–（a>0且a≠1）的图象所过的定点，则幂函数
f（x）不具有的特性是
A．在定义域内有单调递减区间 B．图象过定点（1，1）
C．是奇函数 D．其定义域是R
14．若函数f（x）=（m+2）xa是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=loga（x+m）的单调增区间为
A．（–2，+∞） B．（1，+∞）
C．（–1，+∞） D．（2，+∞）
15．已知函数，则
A．存在x0∈R，使得f（x）<0
B．对于任意x∈[0，+∞），f（x）≥0
C．存在x1，x2∈[0，+∞），使得
D．对于任意x1∈[0，+∞），?x2∈[0，+∞）使得f（x1）>f（x2）
16．已知幂函数的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，则整数m的值为___________．
17．幂函数f（x）=（t3–t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）=___________．
18．已知，求实数m的取值范围．
19．已知幂函数f（x）=x（m∈N*）的图象经过点．
（1）试求m的值，并写出该幂函数的解析式；
（2）试求满足f（1+a）>f（3–）的实数a的取值范围．
20．已知幂函数f（x）=（m3–m+1）x的图象与x轴和y轴都无交点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x+1）>f（x–2）．
21．已知f（x）=（m2–m–1）x–5m–1是幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值；
（2）解不等式f（x–2）>16．
22．已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．
真题练习
23．（2018?上海）已知α∈{–2，–1，–，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=__________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
10
11
12
13
14
15
A
C
D
D
B
B
A
B
A
D
B
B
1．【答案】A
2．【答案】C
【解析】设幂函数f（x）=xα，其图象过点（4，），∴4α=，解得α=–，∴f（x）=，∴f（）==2．故选C．
3．【答案】D
【解析】幂函数f（x）=xn的图象经过点，可得3n=，解得n=–，则f（2）=2，故选D．
4．【答案】D
5．【答案】B
【解析】幂函数y=f（x）是经过点，设幂函数为y=xα，将点代入可得3α=，得到，此时函数是（0，+∞）的减函数．故选B．
6．【答案】B
【解析】幂函数f（x）=（m2–m–1）xm的图象与坐标轴无交点，可得m2–m–1=1，且m≤0，解得m=–1，则函数f（x）=x–1．是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值．故选B．
7．【答案】
【解析】∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（3，），∴（3）a=，解得a=，故答案为：．
8．【答案】4
【解析】根据题意，设幂函数f（x）=xa，幂函数y=f（x）的图象经过点，则有=4a，则a=–1，则f（x）=x–1，=（）–1=4；故答案为：4．
9．【答案】27
【解析】设f（x）=xn，由题意可得2n=8，解得n=3，则f（x）=x3，f（3）=33=27，故答案为：27．
10．【答案】A
【解析】由题意，得，解得–≤x≤2，故选A．
11．【答案】B
【解析】点（a，）在幂函数f（x）=（a–1）xb的图象上，∴a–1=1，解得a=2，故2b=，解得b=–3，∴f（x）=x–3，∴函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选B．
12．【答案】A
【解析】点在幂函数f（x）=（a–1）xb的图象上，∴a–1=1，解得a=2，又2b=，解得b=–1，∴f（x）=x–1，∴函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A．
13．【答案】D
14．【答案】B
【解析】由题意得：m+2=1，解得：m=–1，故f（x）=xa，将（2，4）代入函数的解析式得：2a=4，解得：a=2，故g（x）=loga（x+m）=log2（x–1），令x–1>0，解得：x>1，故g（x）在（1，+∞）递增，故选B．
15．【答案】B
【解析】由函数，知，在A中，f（x）≥0恒成立，故A错误；在B中，?x[（0，+∞），f（x）≥0，故B正确；在C中，?x1，x2∈[0，+∞），使得>0，故C错误；在D中，当x1=0时，不存在x2∈[0，+∞）使得f（x1）>f（x2），故D不成立．故选B．
16．【答案】–1
【解析】为幂函数，∴m2–2m–2=1，解得m=–1或m=3；当m=–1时，函数y=x–3的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，当m=3时，函数y=x21的图象关于原点对称，与x轴、y轴有交点，综上整数m的值为–1．故答案为：–1．
17．【答案】2
【解析】函数f（x）=（t3–t+1）x3t+1是幂函数，∴t3–t+1=1，解得t=0或t=±1；当t=0时，f（x）=x是奇函数，满足题意；当t=1时，f（x）=x4是偶函数，不满足题意；当t=–1时，f（x）=x–2是偶函数，不满足题意．综上，f（x）=x；∴f（2）=2．故答案为：2．
18．【答案】m∈[–3，1]
19．【答案】（1）m=1，f（x）=，x∈[0，+∞）；（2）（1，9]．
【解析】（1）∵幂函数f（x）的图象经过点，
∴，即m2+m=2，
解得m=1或m=–2，
∵m∈N*，故m=1，
故f（x）=，x∈[0，+∞）；
（2）∵f（x）在[0，+∞）递增，
由f（1+a）>f（3–），
得，
解得1故a的范围是（1，9]．
20．【答案】（1）f（x）=x–4；（2）{x|x<，x≠0}．
【解析】（1）因为f（x）是幂函数，
所以m3–m+1=1，解得m∈{0，±1}，
又f（x）的图象与x轴和y轴都无交点，
经检验只有当m=1时符合题意，
此时f（x）=x–4；
（2）f（x）=x–4是偶函数且在（0，+∞）递减，
所以要使f（x+1）>f（x–2）成立，
只需|x+1|<|x–2|，解得x<，
又f（x）的定义域为{x|x≠0}，
所以不等式的解集为{x|x<，x≠0}．
21．【答案】（1）m=–1；（2）x>4或x<0．
22．【答案】（1）；（2）证明详见解析．
【解析】（1）由，得，
所以；
（2）函数f（x）的定义域是[0，+∞），
设任意的x2>x1≥0，
则，
∵，
∴f（x2）>f（x1），
函数f（x）在定义域上是增函数．
23．【答案】–1