人教版高中数学必修一知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.1 函数与方程

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知识
一、函数的零点
1．函数零点的概念
对于函数，我们把使_______的实数叫做函数的零点．
易错提醒
1．函数的零点是实数，而不是点．
2．并不是所有的函数都有零点．
3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．
2．函数零点与方程根的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的________．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
二、函数零点的判断
如果函数在区间上的图象是_______一条曲线，并且有_______，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．
注意：由零点存在性定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．
三、二分法的定义
对于在区间上连续不断且______的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
注意：用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点（曲线通过零点时函数值的符号变号）适用，对函数的不变号零点（曲线通过零点时函数值的符号不变号）不适用．
四、用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
1．确定区间，验证_______，给定精确度．
2．求区间的中点．
3．计算，
（1）若，则就是函数的零点；
（2）若，则令（此时零点）；
（3）若，则令（此时零点）．
4．判断是否达到精确度：即若________，则得到零点近似值（或）；否则重复2~4．
名师提醒
1．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：
（1）区间的长度尽量小；（2），的值比较容易计算，且．
2．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．
易错辨析
精确度与精确到不是一回事，精确度是近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设为准确值，为的一个近似值，若，则是精确度为的的一个近似值．而按四舍五入的原则得到准确值的前几位近似值，的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．
知识参考答案：
一、1． 2．横坐标 二、连续不断的
三、 一分为二 四、1． 4．
重点
重点
1．函数零点的概念，零点的存在性定理；
2．二分法，用二分法求解函数的零点近似值．
难点
1．零点的存在性定理；
2．恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
易错
1．函数的零点是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标；
2．零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；二是；
3．利用二分法求方程近似解时，要随时检验区间的长度与精确度的关系，一旦有，应立即停止计算，该区间中的任一值都是方程的近似解．
1．函数零点的求法
求函数的零点一般有两种方法．
（1）代数法：根据零点的定义，解方程，它的实数解就是函数的零点．
（2）几何法：若方程无法求解，可以根据函数的性质及图象求出零点．
【例1】已知函数，则函数的零点为________．
【答案】0
【解析】当时，由，解得；
当时，由，解得，又因为，所以此时方程无解．
综上，函数的零点为0．
【名师点睛】求函数的零点就是求使这个函数的函数值为零时的自变量的值，即解相应的方程．若遇到解高次方程，可用因式分解法．
【例2】若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
/
2．函数零点个数的判断方法
（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【例3】已知，则函数的零点的个数为______．
【答案】2
【解析】函数的零点的个数即为方程的解的个数，也就是函数与的图象的交点的个数．
画出函数图象如图所示，
/
观察可得函数与的图象的交点的个数为2，从而函数的零点的个数为2．
【技巧点拨】判断函数的零点个数问题，可采用数形结合的方法．
3．判断函数零点、方程的根所在的区间
确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定．
【例4】已知实数满足，则函数的零点所在的区间是
A． B．
C． D．
【答案】B
/
【名师点睛】在判断区间端点对应的函数值的符号时，要注意运用指数函数、对数函数及幂函数的相关知识来解决．
4．求与零点（或方程的根）有关的参数的取值范围
（1）已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围
根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
（2）已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．
【例5】函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
/
【例6】已知函数，?函数，若函数?恰有4个零点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意函数恰有4个零点，则方程有4个解．
作出函数的图象，如图所示，
/
当时，函数的最大值为；
在上，的最小值为；
当时，在上，．
要使方程有4个解，则，解得．
故实数的取值范围是．
5．二次函数的零点与一元二次方程根的分布问题
（1）二次函数的零点：
二次函数
的图象
/
/
/
与x轴的交点
（x1，0），（x2，0）
（x1，0）
无交点
零点个数
2
1
0
（2）一元二次方程在区间内的根的问题一般转化为相应的二次函数的零点问题，转化时需要从三个方面考虑：
①判别式；
②区间端点函数值的正负；
③对称轴与区间端点的关系．
【例7】若方程的一个根在区间内，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，
对于方程，判别式为，
当时，函数的唯一零点为，
故要使方程的一个根在区间内，只需，
即，解得，故选D．
【例8】（1）为何值时，．
①有且仅有一个零点；
②有两个零点且均比大．
（2）若函数有4个零点，求实数的取值范围．
/
（2）令，得，即．
令，．
作出的图象如图所示：
/
由图象可知，当，即时，与的图象有4个交点，即有4个零点，故的取值范围为．
【名师点睛】第（1）问利用方程的根与相应函数的零点的联系，把问题转化为含参数的一元二次方程根的分布问题，可根据一元二次方程实数根的分布与二次函数的图象列出等式或不等式组，从而获得参数的值或取值范围．
6．二分法的适用条件
当方程同时满足下列三个条件时：
（1）函数在闭区间上的图象是一条连续曲线；
（2）函数在区间上有唯一的零点；
（3）．
用二分法一定能够求出方程的近似解．
【例9】下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是
/
【答案】C
/
【名师点睛】若D选项中的图象在包含零点的一定区间内，函数是连续的，则仍可以使用二分法求零点．
7．二分法的简单应用
二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
【例10】用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算：，，，则函数的一个精确度为0．1的正实数零点的近似值为
A．0.64 B．0.8
C．0.7 D．0.6
【答案】C
/
【名师点睛】“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．
8．用二分法求函数的零点或方程的近似解
（1）用二分法求函数的零点按照二分法求函数零点近似值的步骤求解即可，在求解过程中，我们可以借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小的零点所在的区间，在区间长度小于精确度时终止运算．
（2）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
对于求形如的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
有些较复杂的探求方程近似解的问题需要大致作出函数图象或列表，以此确定方程近似解所在的区间，即初始区间．
【例11】用二分法求函数的一个正零点（误差不超过）．
【解析】由于，故可取区间作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值（或近似值）
由上表计算可知，区间的长度小于，所以此区间的中点可作为所求函数的一个正零点的近似值．
【名师点睛】用二分法求函数的零点的近似值，首先要选好初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小；其次要依据给定的精确度及时检验区间长度是否满足精确度，以决定是否继续计算．
【例12】借助计算器或计算机，用二分法求方程的近似解（精确到）．
【解析】令，函数的定义域为．
因为函数在上是增函数，所以至多有一个零点．
又因为，，所以方程在内有唯一一个实数解．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值（或近似值）
由于区间内的所有值，若精确到0.1，都是0.5，所以0.5是方程精确到0.1的近似解．
【名师点睛】本题中利用函数的单调性确定了初始区间，也可以在平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，根据图象确定初始区间．
9．二分法思想的实际应用
二分法的思想方法除了可以用来处理生活中、数学中的对称问题外，还可以通过其思想方法处理一些现实中的不对称问题，在生活中、数学中也经常见到．要注意二分法的思想方法与实际问题之间的联系及其应用．
【例13】有9个外表看上去一样的小球，其中8个重10克，1个重9克，现有一架天平，问至少称_______次可以确保把轻球挑出来．
【答案】2
/
10．忽略零点存在性定理成立的条件
【例14】函数的零点个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
【错解】因为，，所以函数有一个零点，故选B．
【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域．通过作图（图略），可知函数的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用．
【正解】函数的定义域为，当时，；当时，．
所以函数没有零点，故选A．
【名师点睛】零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．
基础训练
1．函数f（x）=x2–3x–4的零点是
A．（1，–4） B．（4，–1）
C．1，–4 D．4，–1
2．函数y=ax–2的零点有
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
3．对于用二分法求函数的零点的说法，下列正确的是
A．函数只要有零点，就能用二分法求
B．零点是整数的函数不能用二分法求
C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解
D．以上说法都错误
4．方程的一个实数解的存在区间为
A．（0，1） B．（0.5，1.5）
C．（–2，1） D．（2，3）
5．方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根
A．（–2，–1） B．（0，1）
C．（1，2） D．（–1，0）
6．根据表格中的数据，可以断定函数f（x）=ex–x–2的一个零点所在的区间是
x+2
1
2
3
4
5
x
–1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
A．（–1，0） B．（1，2）
C．（0，1） D．（2，3）
7．已知函数f（x）=（）x–，那么函数f（x）零点所在的区间可以是
A．（–1，0） B．（0，）
C．（，） D．（，1）
8．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值：
x
1
2
3
4
5
6
f（x）
12
10
–2
4
–5
–10
函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有__________个．
9．函数f（x）=ax2+2ax+c（a≠0）的一个零点为1，则它的另一个零点是__________．
10．已知函数f（x）在定义域R上的图象如图所示，则函数f（x）在区间R上有__________个零点．
/
能力提升
11．若f（x）在区间[a，b]内单调，且f（a）?f（b）<0，则f（x）在区间[a，b]内
A．至多有一个根 B．至少有一个根
C．恰好有一个根 D．不确定
12．方程x3–x–1=0在[1，2]的一个近似解（精确到0.1）是
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
13．已知函数f（x）=3x+x–5的零点x0∈[a，b]，且b–a=1，a，b∈N*，则a+b=
A．–2 B．1 C．2 D．3
14．已知二次函数f（x）=ax2–（a+2）x+1，若a为整数，且函数f（x）在（–2，–1）上恰有一个零点，则a的值是
A．–1 B．1 C．–2 D．2
15．方程x3+x–1=0的解x∈[n，n+1]（n∈N），则n=__________．
16．方程x5–x–1=0的一个零点存在的区间可能是__________．（端点值为整数）
17．已知函数f（x）对一切实数x都有f（2–x）=f（2+x），若函数f（x）恰有4个零点，则这些零点之间的和为__________．
18．已知函数f（x）=x+2，判断函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）有无零点？并说明理由．
19．利用二分法求方程x2–2=0的一个正根的近似值（精确到0.1）．
真题练习
20．（2019?浙江模拟）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）<0的解集是__________．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是__________．
21．（2018?天津模拟）已知函数在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是__________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
11
12
13
14
D
B
D
B
D
B
C
C
B
D
A
1．【答案】D
【解析】由x2–3x–4=0，可得x=4或–1，∴函数f（x）=x2–3x–4的零点是4，–1．故选D．
2．【答案】B
【解析】∵函数y=ax–2，∴a≠0时，函数y=ax–2，单调函数，∴ax–2=0．x=，故选B．
3．【答案】D
/
4．【答案】B
【解析】解方程得，x=1或x=–1，故选B．
5．【答案】D
【解析】设函数f（x）=2x+x，其对应的函数值如下表：
x
–2
–1
0
1
2
f（x）
–
–
1
3
6
由于f（–1）?f（0）<0，所以方程2x+x=0在（–1，0）内有实数根，故选D．
6．【答案】B
【解析】根据表格中的数据，我们可以判断f（–1）<0，f（0）<0，（1）<0，f（2）>0，f（3）>0，根据零点存在定理得：在区间（1，2）上函数存在一个零点，故选B．
7．【答案】C
【解析】计算可得f（–1）=（）–1–（–1=4+1=5>0，f（0）=（）0–=1>0，f（1）=–1<0，f（）=<0，f（）=>0，∴f（）?f（）<0，∴函数f（x）在区间（，）有零点，故选C．
8．【答案】3
【解析】由函数的零点判定定理可知，函数的零点在（2，3），（3，4），（4，5）各一个零点，共有3个．故答案为：3．
9．【答案】–3
【解析】由题意可知方程ax2+2ax+c=0的一个根为1，设方程的另一个根为x1，根据根与系数的关系，则x1+1=–2，∴x1=–3．故答案为：–3．
10．【答案】3
【解析】由函数f（x）在定义域R上的图象可知，在区间R上，图象与x轴有三个交点，∴函数f（x）在区间R上有3个零点．故答案为：3．
11．【答案】C
/
12．【答案】B
【解析】由已知令f（x）=x3–x–1，所以f（1）=–1，f（2）=4，由二分法知计算f（1.5）=>0，由二分法知计算f（1.25）=–0.2969<0．所以方程的根位于区间（1.25，1.5）内．由f（1.375）=0.225>0．所以方程的根位于区间（1.25，1.375）内．故符合要求的选项只有1.3．故选B．
13．【答案】D
【解析】∵函数f（x）=3x+x–5，∴f（1）=31+1–5=–1<0，f（2）=32+2–5=4=6>0，∴f（1）f（2）<0，∴f（x）的零点x0在区间（1，2）内．∴a=1，b=2，∴a+b=3，故选D．
14．【答案】A
【解析】①当a=0时，–2x+1=0，故x=；②当a<0时，函数f（x）=ax2–（a+2）x+1的零点一正一负，故f（–2）?f（–1）=（6a+5）（2a+3）<0，故–0时，ax2–（a+2）x+1=0的两根为正值，故函数f（x）=ax2–（a+2）x+1在区间（–2，–1）上没有零点，综上所述，–15．【答案】0
【解析】方程x3+x–1=0的解即函数y=x3+x–1=0的零点，也就是函数y=x3与函数y=1–x交点的横坐标，在同一坐标系中作出函数y=x3与函数y=1–x的图象如下图所示：由图可知函数图象交点的横坐标位于区间[0，1]上，故n=0，故答案为：0．
/
16．【答案】（1，2）
【解析】令f（x）=x5–x–1，把x=0，1，2，3，4代入，若f（a）?f（b）<0，则零点在（a，b），所以f（1）<0，f（2）>0满足，所以在（1，2），故答案为：（1，2）．
17．【答案】8
/
18．【答案】函数g（x）无零点，理由详见解析．
【解析】∵f（x）=x+2，
∴函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）=（x+2）2+x2+2=2x2+4x+6=2（x+1）2+4>0，
∴函数g（x）与x轴无交点，
因此函数g（x）无零点．
19．【答案】1.4
【解析】本题即求函数f（x）=x2–2的一个为正数的零点，
因为f（1）=–1<0，f（2）=2>0，
所以方程x2–2=0在区间（1，2）上有实数解．
再根据f（1.5）=0.25，f（1.5）?f（1）<0，
再根据用二分法求方程的近似解的方法和步骤，
所以方程x2–2=0在区间（1，1.5）上有实数解．
…，
如此不断进行下去，得到方程x2–2=0的近似解为1.4．
20．【答案】{x|1/
/
函数f（x）恰有2个零点，则1<λ≤3或λ>4．故答案为：{x|121．【答案】
【解析】由函数在上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是．