人教版高中数学必修一知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.2 函数模型及其应用

知识
一、几类不同增长的函数模型
1．常见的函数模型
（1）一次函数模型：（均为常数，），也称线性函数模型．其增长特点是直线上升，增长速度______．
（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型（均为常数，）；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型（均为常数，）．
（3）指数函数模型：（均为常数，，，）．其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度_____，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
（4）对数函数模型：（为常数，）．其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度______，即增长速度平缓．
（5）幂函数模型：（为常数，）．其增长速度介于指数增长和对数增长之间．
2．几类函数模型的增长差异
一般地，在区间上，尽管函数，和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，使得当时，就有．
3．指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
函数
性质
在（0，＋∞）上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
先慢后快，指数爆炸
先快后慢，增长平缓
介于指数函数与对数函数之间，相对平稳
图象的变化
随x的增大，图象与轴接近平行
随x的增大，图象与轴接近平行
随n值变化而各有不同
名师提醒
选取上述三个增长函数模型时，应注意：
（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
二、函数模型的应用
用框图表示如下：
建模
审题、转化、抽象
问题 解决 解模 运算
还原
函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．其中，建立函数模型解决实际问题是常见形式．
解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：
（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．
知识参考答案：
一、1．（1）不变 （3）越来越快 （4）越来越慢
1．线性函数、指数函数、对数函数、幂函数的增长速度
不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：
（1）线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
（2）指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
（3）对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
（4）幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
【例1】某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案．在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的．现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型符合公司的要求？
【解析】借助计算器或计算机作出函数，，，的部分图象，
如图所示．观察图象发现，在区间上，模型，的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励，才符合公司的要求．
【名师点睛】除了根椐函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断，还可以根据图象进行判断． 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
2．一次函数模型的应用
利用一次函数模型解决实际问题时，需注意：
（1）常用待定系数法求一次函数的解析式．
（2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．
【例2】A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上．根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元．已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：
运行区间
公布票价
学生票
上车站
下车站
一等座
二等座
二等座
A
B
81（元）
68（元）
51（元）
（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．
（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？
【解析】（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，
若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，依题意得：，
?解得，则．
答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人．
（3）由（2）知，当时，，
由此可见，当时，y的值最小，最小值为11233元，当时，y的值最大，最大值为11610元．当时，，
由此可见，当时，y的值最小，最小值为11640元，当时，y的值最大，最大值为16980元．所以按（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．
3．二次函数模型的应用
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．
【例3】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式；
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
【解析】（Ⅰ）由题意，当时，；
当时，设．
再由已知得，解得．
故函数的表达式为．
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得．
当时，为增函数，
故当时，在区间上取得最大值．
当时，，
当且仅当时，等号成立．
所以，当时，在区间上取得最大值．
综上，当时，在区间上取得最大值．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
【名师点睛】在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围．
4．用函数模型解决增长（衰减）率类问题
（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式．求解时可利用指数运算与对数运算的关系．
（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可．
【例4】为保护生态环境，某市某山区自2015年起开始实行退耕还林．已知2014年底该山区森林覆盖面积为a亩．
（1）设退耕还林后，森林覆盖面积的年自然增长率为2%，写出该山区的森林覆盖面积y（亩）与退耕还林年数x（年）之间的函数关系式，并求出2019年底时该山区的森林覆盖面积．
（2）如果要求到2024年底，该山区的森林覆盖面积至少是2014年底的2倍，就必须还要实行人工绿化工程．请问2024年底要达到要求，该山区森林覆盖面积的年平均增长率不能低于多少？
（参考数据：1.024=1.082，1.025=1.104，1.026=1.126，lg 2=0.301，lg 1.072=0.0301）
（2）设年平均增长率为p．
由题意得，两边取常用对数得，
∴，∴，
即，∴，∴．
故森林覆盖面积的年平均增长率不能低于7．2%．
【名师点睛】设原来的基础数为，增长率为，则对应于时间的总数或总产值、总利润等的，可以用表示．解决平均增长率的问题都会用到这个函数式．需注意，指数是基数所在时间后所跨过的时间间隔数．
【例5】我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米2 （）表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平表示，它们满足以下公式： （单位为分贝，，其中，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端）．回答以下问题：
（1）树叶沙沙声的强度是，耳语的强度是，恬静的无线电广播的强度是，试分别求出它们的强度水平；
（2）某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度的范围为多少？
【解析】（1）由题意可知：树叶沙沙声的强度是，则，
所以，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；
耳语的强度是，则，
所以，即耳语的强度水平为20分贝；
恬静的无线电广播的强度是，则，
所以，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝．
5．分段函数模型的应用
建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．
【例6】由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度与时间的关系，可近似地表示为．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．
（1）判断函数的单调性（不必证明）；
（2）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间为多长？
（3）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．
【解析】（1）函数在[0，2]上单调递增，在（2，4]上单调递减．
（3）由（1）知，当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，即时，
，
记，
下面用单调性的定义证明在上单调递减，在上单调递增．
设任意满足，
，
则，
所以在上单调递减，
同理可证，在上单调递增．
故当且仅当，即时，，
所以有最大值．
【名师点睛】本题的分段函数模型求最值时只是求区间上的最值，若是求分段函数模型在定义域上的最值，则应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．
6．函数模型的比较
根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型．
【例7】某服装厂某年1月份、2月份、3月份分别生产某名牌衣服1万件、万件、万件，为了估计当年每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模型模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可选用函数（其中为常数，，，）或（为常数，）．又已知当年4月份该产品的产量为万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
【解析】对于函数，
依题意得 ，
解得．
则．故．
对于函数，
依题意得，
解得．
则．故．
由以上可知，用函数作为模拟函数较好．
【名师点睛】本题比较典型，解答思路比较明确，运用待定系数法求解． 通过构建函数模型解决实际问题，是衡量学生能力的一个重要标尺，注意掌握．
重点
重点
1．对几种常见的函数模型的理解，解函数应用题；
难点
1．解函数应用题；
易错
1．要正确理解增长率公式；
2．求解数学应用题必须突破三关，
（1）理解关：一般数学应用题的文字阅读量比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义；
（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题；
（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．
基础训练
1．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
x
1
2
3
…
y
1
3
5
…
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是
A．y=2x–1 B．y=x2–1
C．y=2x–1 D．y=1.5x2–2.5x+2
2．一等腰三角形的周长是20，则其底边长y关于其腰长x的函数关系式是
A．y=20–2x（x≤10） B．y=20–2x（x<10）
C．y=20–2x（53．以半径为R的半圆上任一点P为顶点，以直径AB为底边的△PAB的面积S与高PD=x的函数关系式是
A．S=Rx B．S=2Rx（x>0）
C．S=Rx（04．某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，若小张身上仅有2.4元，则他能持续通话的最长时间为
A．23分钟 B．24分钟 C．25分钟 D．26分钟
5．马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为
A．1535.5元 B．1440元 C．1620元 D．1562.5元
6．现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是__________万元．
7．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留物质约是原来的，经过n年，剩留的物质是原来的，则n=__________．
能力提升
8．某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场
A．不赚不亏 B．赚了80元
C．亏了80元 D．赚了160元
9．如图，l1，l2是通过某市开发区中心O点的南北走向和东西走向的两条道路，连接M，N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线l1对称，M到l1，l2的距离分别是2 km，4 km；N到l1，l2的距离分别是3 km，9 km．该市拟在点O的正北方向建设一座工厂，要求厂址到点O的距离大于5 km，而不超过8 km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 km．则该厂离点O的最近距离为（工厂视为一点）
A．6 km B．6.5 km C．6.25 km D．7 km
10．一个水池每小时注入水量是全池的，水池还没有注水部分与总量的比y随时间x（水量）变化的关系式为__________．
11．甲、乙两个商店，为了促销某一商品（两店的零售价相同，且不超过10元），分别采取以下措施：甲店把价格中的零头去掉，乙店打八折，结果一天时间两店都卖出了100件，且两店的销售额相同，那么这种商品的价格可能是__________．
12．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．若该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和与t之间的关系）式为s=t2–2t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t（月）的取值范围为__________．
13．某工厂的产值月平均增长率为p，去年12月份产值为a，则今年前两个月的平均产值为__________．
14．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地，汽车离开A地的距离x随时间t变化的关系式是__________．
15．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为10000 m2，每年增长10%，经过x年，森林面积为y m2．
（1）写出x，y之间的函数关系式；
（2）求出经过10年后森林的面积．（可借助于计算器）
16．将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚利润最大？并求出这个最大利润．
17．如图，有长20m的铁丝网，若一边靠墙围成3个大小相同，紧紧相接的长方形，问每个小长方形的长和宽各是多少时，三个长方形的总面积最大？并求最大面积．
18．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
19．众所周知，大包装商品的平均成本要比小包装商品的平均成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其200克装的售价为3元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本（a元）、包装成本（b元）、利润．生产成本（a元）与饼干重量成正比，包装成本（b元）与饼干重量的算术平方根（估计值）成正比，利润率为20%，试写出该种饼干1000克装的合理售价．
真题练习
20．（2018?四川模拟）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
参考答案
1
2
3
4
5
8
9
20
A
C
C
C
D
C
C
B
1．【答案】A
2．【答案】C
【解析】∵等腰三角形的周长是20，底边长为y，腰长为x．∴2x+y=20，∴y=20–2x，又∵0<2x<20，且2x>20–2x，∴53．【答案】C
【解析】根据题意，△PAB的面积===Rx，∵x为高，∴04．【答案】C
【解析】设通话时间为t分钟，话费为y元，则，由0.2+（t–3）×0.1=2.4，解得t=25．故选C．
5．【答案】D
【解析】设手机的原价为x，由题意可知x?80%?80%=1000，解得x=1562.5元．故选D．
6．【答案】8×1.0255
【解析】现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则构成首项为8，公比q=1+2.50%=1.025的等比数列，则5年末的本利和8×1.0255，故答案为：8×1.0255．
7．【答案】3
【解析】经过一年，剩留物质约是原来的，经过二年，剩留物质约是原来的，经过三年，剩留物质约是原来的，则n=3．故答案为：3．
8．【答案】C
9．【答案】C
【解析】分别以l1、l2为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2，4），N（3，9），设MN所在抛物线的方程为y=ax2+c，则有，解得a=1，c=0，∴所求方程为y=x2（2≤x≤3），设抛物线弧上任意一点P（x，x2）（2≤x≤3），厂址为点A（0，t）（510．【答案】，x∈[0，10]，
【解析】∵一个水池每小时注入水量是全池的，∴x小时后注水部分与总量的比为，0≤x≤10，可得水池中还没有注水部分与总量的比应该是：，故答案为：，x∈[0，10]．
11．【答案】2.5元
12．【答案】（10，+∞）
【解析】由题意，t2–2t>30，即t2–4t–60>0，∴（t–10）（t+4）>0，∵t>0，∴t>10，∴销售时间t（月）的取值范围为（10，+∞）．故答案为：（10，+∞）．
13．【答案】
【解析】今年第一个月的产值为：a1=a（1+p），今年第二个月的产值为：a2=a（1+p）2=a（1+2p+p2），帮两个月的平均产值为：，故答案为．
14．【答案】x=
【解析】根据题意此人运动的过程分为三个时段，可得
从开始计时到2.5小时时间段，该人与A地距离以60千米/小时的速度逐渐变远；
从2.5小时到3.5小时时间段，该人与A地距离恒为150不变；
从2.5小时到6.5小时时间段，该人与A地距离以50千米/小时的速度逐渐靠近，
直到6.5小时时刻距离为0．
因此，s与t的函数关系式为x=化简得所求函数表达式为
x=，故答案为：x=．
15．【答案】（1）y=10000（1+10%）x，（x∈N+）；（2）25937.42 m2．
16．【答案】定价为14元时，每天可获利最多，为720元．
【解析】设每件售价提高x元，利润为y元，此时售价为2+x，
又∵每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，
∴销量为200–20x，
则y=（2+x）（200–20x）=–20（x–4）2+720．
故当x=4，即定价为14元时，每天可获利最多，为720元．
17．【答案】每个小长方形的长和宽分别为，时，三个长方形的总面积最大，为25．
【解析】设每个小长方形的长和宽分别为x，y，则3x+4y=20，y=（20–3x），
∴三个长方形的总面积：S=3xy=3x×（20–3x）
∴S=x2+15x=（x2–x）=（x–）2+25，
又∵x>0，y=（20–3x）>0，∴0答：每个小长方形的长和宽分别为，时，三个长方形的总面积最大，为25．
18．【答案】答案详见解析．
【解析】设该单位有职工n人（n∈N*），全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1=x+x（n–1）=x+xn，y2=nx．
所以y1–y2=x+xn–nx=x–nx=x（1–）．
当n=5时，y1=y2；当n>5时，y1y2．
因此当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
19．【答案】这种饼干1000克装的合理售价为13.7元．
20．【答案】B
【解析】设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，
两边取常用对数得，
故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B．