高中数学必修二：2.1.4平面与平面之间的位置关系教学设计

【新课教学过程设计（一）】
第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系
第2. 1.4节 平面与平面之间的位置关系
【本节教材分析】
（一）三维目标
1.知识与技能
结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系
2．过程与方法
进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换.
3．情感态度与价值观
进一步培养学生的空间想象能力，培养学生全面思考问题的能力.
（二）教学重点
空间平面与平面之间的位置关系。平面与平面的相交和平行.
（三）教学难点
用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
（四）教学建议
空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.
【新课导入设计】
导入一：(情境导入）
拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
导入二：（事例导入）
观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？
图1
【课堂结构】
提出问题
①什么叫做两个平面平行？
②两个平面平行的画法.
③回忆两个平面相交的依据.
④什么叫做两个平面相交?
⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.
活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.
问题②怎样体现两个平面平行的特点.
问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.
问题④回忆公理三.
问题⑤鼓励学生自我训练.
讨论结果：
①两个平面平行——没有公共点.
②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.

图2 图3
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈βα∩β=l,且P∈l.
④两个平面相交——有一条公共直线.
⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.
如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示如图4.
图4
例题讲解
例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?
活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.
图5
例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.
解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.
图6
变式训练
α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( )
A.α、β都平行于直线l、m
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β
D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β
分析：如图7,分别是A、B、C的反例.

图7
答案：D
点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.
例3 平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明道理．
解：不正确．如右下图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线．这时a1，a2，…，an，…，与平面β都平行，但此时α不平行于β，α∩β＝l.
例4　在以下四个命题中，正确的命题是(　　)
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；
③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；
A．③　　　　　　　　B．② C．②③ D．都不正确
解析：如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E，F，连结EF，则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错．
对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1中的面AA1D1D中，与AD平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行而是相交于直线A1D1，故②是错的．
对于③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取AA1，DD1，BB1，CC1中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而△A1BC与面EFHG相交，故③是错的．答案：D
课堂小结
本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线.
另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.
作业
课本习题2.1 B组1、2、3.
当堂检测：

1．设三条互相平行的直线a、b、c中，a?α，b?β，c?β，则α与β的关系是(　　)
A．相交　　　　　　 B．平行
C．平行或相交 D．平行、相交或重合
2．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或相交或异面
3．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有(　　)
A．0个　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
4．下列命题中，正确的个数是(　　)
①若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b异面；
③若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b平行或异面．
A．1 B．2
C．3 D．4
5．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作________个．
6．一条直线和两个相交平面的交线平行，则这条直线满足________．
①与两个平面都平行；②与两个平面都相交；③在两个平面内；④至少和其中一个平面平行．
7．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个．
1.解析：若α∥β，则存在满足条件的a、b、c；若α、β相交，也存在满足条件的a、b、c；若α、β重合，也存在满足条件的a、b、c.所以当三条互相平行的直线a、b、c满足题设条件时，α、β三种情形都有可能．
答案：D
2.解析：平行于同一平面的两直线平行、相交或异面．
答案：D
3.解析：依题意得，命题“a∥b，a⊥γ?b⊥γ”是真命题(由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”可知)；命题“a∥β，a⊥c?β⊥c”是假命题(直线c可能位于平面β内，此时结论不成立)；命题“α∥b，α⊥c?b⊥c”是真命题(因为α∥b，因此在平面α内必存在直线b1∥b；又α⊥c，因此c⊥b1，c⊥b)．综上所述，其中真命题共有2个，选C.
答案：C
4.解析：两个平面平行，两个平面就无公共点，分别在两个平面的直线也没有公共点，它们的位置关系有平行、异面两种，也可以说是不相交，因此③④对，①②错，故选B.
答案：B
5.解析：该两点在平面两侧时可以作0个，在平面同一侧时，当两点连线平行于该平面时可以作1个，相交可以作0个．
答案：0个或1个
6.解析：这条直线可能在其中一个平面内，或与两个平面都平行，所以④正确．
答案：④
7.解析：按顶点在平面两侧的个数分情况考虑，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共4＋3＝7个，故填7.
答案：7