高中数学必修五 3.2一元二次不等式及3.4基本不等式 教案

§3.2《一元二次不等式的解法》
【学习目标】
1﹑通过学习，理解一元二次不等式的概念，会解一元不等式，
2﹑掌握一元二次不等式的解集与二次函数及其图象、一元二次方程之间的关系.
【重点难点】
重点：一元二次不等式概念的理解和一元二次不等式解法，以及在求解过程中体现的数形结合思想。
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的密切关系.　　　　　　
【知识链接】
画出一次函数的图象，并填空：的解集是_________；不等式的解集是_________；不等式的解集是_________.并思考：一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数之间有什么关系？
【学习过程】
阅读课本第76页至第77页的内容，尝试回答以下问题：
知识点１: 一元二次不等式的解法
问题1：什么叫一元二次不等式？一元二次方程的根与二次函数的零点有什么关系？.
问题2:观察图3.2-2知：
①当满足 时，函数位于轴上方，此时 0，即 0.
②当满足 时，函数位于轴下方，此时 0，即 0.
问题3:观察函数图像请写出不等式的解集
问题4:从上述特例分析如何确定一元二次不等式或的解集呢？
知识点2: 一元二次不等式与二次函数及一元二次方程之间的联系.
问题一:将下表填空完整：
当时，一元二次不等式（或）的解集
与二次函数图象及一元二次方程的解的关系：
的图象
根的情况
根的情况
根的情况
问题2、请同学们思考，若则一元二次不等式与又该如何解？
问题3、请归纳总结求解一般一元二次不等式的步骤.
练习：解不等式
（1）； （2）
（3）； （4）
知识点3:一元二次不等式的应用
问题1:解不等式
提示：可化为一元二次不等式的分式不等式的解法
问题2:解不等式
点拨：利用对数函数单调性脱去对数符号时，必须使原不等式中的所有真数均大于零，而不仅仅是变形后的最简不等式中的真数大于零
问题3: 某校在一块长，宽的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉（花卉带的宽度相等），中间铺设草坪（如图），要使草坪面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度范围．
【基础达标】
A1．解不等式
⑴ ⑵
A2．求下列函数的定义域：
⑴ ⑵
B3．解不等式 C3、解不等式
C4．已知不等式的解集为,求不等式的解集．
D5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
【小结】
【当堂检测】
A1、求不等式的解集
【课后反思】
本节课我最大的收获是

我还存在的疑惑是

我对导学案的建议是
板书设计，新课引入，新课讲解，例题，课堂练习，小结，作业。

§3.2一元二次不等式及其解法（3）
学习目标
1. 掌握一元二次不等式的解法；2. 能借助二次函数的图象及一元二次方程解决相应的不等式问题.
学习过程
一、课前准备
复习1：实数比较大小的方法_____________
复习2：不等式的解集.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：含参数的一元二次不等式的解法
问题：解关于的不等式：
分析：在上述不等式中含有参数，因此需要先判断参数对的解的影响.
先将不等式化为方程
此方程是否有解，若有，分别为__________，其大小关系为________________
试试：能否根据图象写出其解集为_____________
※ 典型例题
例1设关于x的不等式的解集为，求.
小结：二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a的符号），又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，或通过代入法求解不等式.
变式：已知二次不等式的解集为或，求关于的不等式的解集.

例2 ，，且，求的取值范围.

小结：
（1）解一元二次不等式含有字母系数时，要讨论根的大小从而确定解集.
（2）集合间的关系可以借助数轴来分析，从而确定端点处值的大小关系.
例3 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
变式1：解集为非空.
变式2：解集为一切实数.
小结：的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系. 因此求解中，必须对实数的取值分类讨论.
※ 动手试试
练1. 设对于一切都成立，求的范围.
练2. 若方程有两个实根，且，，求的范围.
三、总结提升
※ 学习小结
对含有字母系数的一元二次不等式，在求解过程中应对字母的取值范围进行讨论，其讨论的原则性一般分为四类：
按二次项系数是否为零进行分类；
若二次项系数不为零，再按其符号分类；
按判别式的符号分类；
按两根的大小分类.
※ 知识拓展
解高次不等式时，用根轴法：就是先把不等式化为一端为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从轴的右端上方起，依次穿过这些零点，则大于零的不等式的解对应着曲线在x轴上方的实数的取值集合；小于零的不等式的解对应着曲线在轴下方的实数的取值集合.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若方程（）的两根为2，3，那么的解集为（ ）.
A．或 B．或
C． D．
2. 不等式的解集是，则等于（ ）.
A．14 B．14 C．10 D．10
3. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
4. 不等式的解集是 .
5. 若不等式的解集为，则的值分别是
板书设计，新课引入，讲授新课，例题，练习小结作
§3.4基本不等式 (1)
学习目标
学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
学习过程
一、课前准备
看书本97、98页填空
复习1：重要不等式：对于任意实数，有，当且仅当________时，等号成立.
复习2：基本不等式：设，则，当且仅当____时，不等式取等号.
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
将图中的“风车”抽象成如图，
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：.
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有_______________
结论：一般的，如果，我们有
当且仅当时，等号成立.
探究2：你能给出它的证明吗？
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得，
通常我们把上式写作：
问：由不等式的性质证明基本不等？
用分析法证明：
证明：要证 (1)
只要证 (2)
要证（2），只要证 （3）
要证（3），只 要证 （4）
显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
3）理解基本不等式的几何意义
探究：课本第98页的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
结论：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述：
1.如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数、的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
※ 典型例题
例1 （1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
.

※ 动手试试
练1. 时，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？
练2. 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少？
三、总结提升
※ 学习小结
在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号.
※ 知识拓展
两个正数
1．如果和为定值时，则当时，积有最大值.
2. 如果积为定值时，则当时，和有最小值.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知x0，若x＋的值最小，则x为（ ）.
A． 81 B． 9 C． 3 D．16
2. 若，且，则、、、中最大的一个是（ ）.
A． B． C． D．
3. 若实数a，b，满足，则的最小值是（ ）.
A．18 B．6 C． D．
4. 已知x≠0，当x=_____时，x2＋的值最小，最小值是________.
5. 做一个体积为32，高为2的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少.
课后作业
1. （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
2. 一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
§3.4基本不等式 (2)
学习目标
通过例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.
学习过程
一、课前准备
复习1：已知，求证：.
复习2：若，求的最小值
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：若，求的最大值.
探究2：求(x>5)的最小值.
※ 典型例题
例1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
.

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
例2 已知，满足，求的最小值.
总结：注意“1”妙用.
※ 动手试试
练1. 已知a，b，c，d都是正数，求证：
.
练2. 若， ，且，求xy的最小值.
三、总结提升
※ 学习小结
规律技巧总结:利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，若为负数，则添负号变正.
※知识拓展
1. 基本不等式的变形：
；；；；
2. 一般地，对于个正数，都有，（当且仅当时取等号）
3. 当且仅当时取等号）
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在下列不等式的证明过程中，正确的是（ ）.
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2. 已知，则函数的最大值是（ ）.
A．2 B．3 C．1 D．
3. 若，且，则的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
4. 若，则的最小值为 .
5. 已知，则的最小值为 .
课后作业
1. 已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
2. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
板书设计，新课引入，例题，课堂练习，小结作业
第三章 不等式（复习）
学习目标
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；
3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；
4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；
5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.
学习过程
一、课前准备
复习1：
二、新课导学
※ 典型例题
例1咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g. 写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式.
.

例2 比较大小.
（1）；
（2）；
（3） ；
（4）当时，
（5）
（6）
例3 利用不等式的性质求取值范围：
（1）如果，，则
的取值范围是 ，
的取值范围是 ，
的取值范围是 ，
的取值范围是
（2）已知函数，满足，，那么的取值范围是 .
例4 已知关于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围.
例5 已知x、y满足不等式，求的最小值.
例6 若， ，且，求xy的范围.
※ 动手试试
练1. 已知，，求的取值范围.
练2. 某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，经测试，当船速为10公里/小时，燃料费用是每小时20元，其余费用（不论速度如何）都是每小时320元，试问该船以每小时多少公里的速度航行时，航行每公里耗去的总费用最少，大约是多少？
三、总结提升
※ 学习小结
1．用不等式表示不等关系；
2．比较大小；
3．利用不等式的性质求取值范围和证明不等式；
4．会解一元二次不等式；
5．会画二元一次方程（组）与平面区域求线性目标函数在线性约束条件下的最优解；
6．利用基本不等式求最大（小）值.
※知识拓展
设一元二次方程对应的二次函数为
1．方程在区间内有两个不等的实根且；
2．方程在区间内有两个不等的实根且；
方程有一根大于，另一根；
4．方程在区间内有且只有一根（不包括重根）（为常数）；
5．方程在区间内有两不等实根
且；
6．方程在区间外有两不等实根

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设，下列不等式一定成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
2. ，且，则的取小值是（ ）.
A．4 B．2 C．16 D．8
3. 二次不等式的解集是全体实数的条件是（ ）.
A． B． C． D．
4. 不等式组表示的平面区域内的整点坐标是 .
5. 变量满足条件，设，则的最小值为 .
板书设计，新课引入，讲授新课，例题讲授，课堂练习小结作业。
综合测试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若sin A>sin B，则(　　)
A．A≥B B．A>B C．A2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8＝30，S4＝7，则a4的值等于(　　)
A.( B.( C.( D.(
3．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝((((n∈N*)，则a20＝(　　)
A．0 B．－( C.( D.((
4．△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cos A＝(，且c－b＝1，bc＝156，则a的值为(　　)
A．3 B．5 C．2( D．4
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于(　　)
A．12 B．18 C．24 D．42
6．在△ABC中，如果sin A＝(sin C，B＝30°，角B所对的边长b＝2，则△ABC的面积为(　　)
A．1 B.( C．2 D．4
7．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　)
A．7 B．8
C．15 D．16
9．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是(　　)
A．110．数列{an}满足递推公式an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，又a1＝5，则使得{(}为等差数列的实数λ＝(　　)
A．2 B．5 C．－( D.(
11．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则{an}的前n项和Sn中最大的负数为(　　)
A．S17 B．S18
C．S19 D．S20
12．(2012·全国)已知等差数列{an}的前n项和为S，a5＝5，S5＝15，则数列{(}的前100项和为(　　)
A.( B.( C.( D.(
二，填空题（每小题5分，共20分）
13．在中，角所对的边分别为设为的面积，满足，则角的大小为__________．
.
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
15．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a9＝________.
16．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(an－3，则数列{an}的通项公式是________．
三，简答题（17题10分，其余各题12分）
17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－(.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2，2sin A＝sin C时，求b和c的长．
18．在中，内角的对边分别为，已知．
（1）求 ；
（2）若，求的面积.
19．在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式.
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝3＋log4an，设Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，求Tn.
21．设正项等比数列{an}的首项a1＝(，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0.
(1)求{an}的通项；
(2)求{nSn}的前n项和Tn.
22 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.