高中数学必修五教案 3.2 一元二次不等式及其解法

年级　　 备课组（总第 课时）主备人： 时间：
课题：3.2 一元二次不等式及其解法
第　　课时
教
学
目
标
(1)经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程；
(2)通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系；
(3)会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图
重点
用图象法解一元二次不等式．
难点
围绕“二次函数图象性质”这一主线如何渗透数形结合思想
教学方法、手段
通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想。
教学过程（教学设计）：步骤、内容、教学活动
二次备课
【问题导思】　
给出下面四个不等式
(1)x2－x－6>0，(2)x2－x－6≤0，
(3)x2－4x＋4≥0，(4)2x2＋x＋5<0.
以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？
【提示】　含有一个未知数，未知数的最高次数是2.
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
“三个二次”之间的关系
【问题导思】
下图是函数y＝x2－x－6的图，对应值表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
根据图表，你能说出方程x2－x－6＝0的解吗？你能说出使不等式x2－x－6>0的解集吗？x2－x－6<0呢？
【提示】　x＝－2或x＝3；{x|x<－2或x>3}；
{x|－2判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两个不等的实根x1、2＝(x1有两相等实根x1＝x2＝－
没有实根
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集
a>0
{x|xx2}
{x|x≠－}
R
a<0
{x|x1?
?
(对应学生用书第54页)
解一元二次不等式
　解不等式：
(1)2x2－3x－2>0；(2)－3x2＋6x－2>0；
(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋2>0.
【思路探究】　(1)每个不等式中二次项的系数是正数吗？如果不是，你认为该如何处理？(2)相应的二次方程根的情况如何？(3)结合根的情况你能得到原不等式的解集吗？
【自主解答】
(1)方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－，x2＝2.
因为函数是开口向上的抛物线(如图(1))，
所以不等式的解集是
{x|x<－或x>2}．
(1)
(2)
(2)不等式可化为3x2－6x＋2<0.
因为3x2－6x＋2＝0的判别式Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋.
因为函数y＝3x2－6x＋2是开口向上的抛物线(如图(2))，所以不等式的解集是{x|1－(3)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，函数y＝4x2－4x＋1是开口向上的抛物线(如图(3))，所以原不等式的解集是{x|x＝}．
　　　　　　　(3)　　　　　　　　(4)
(4)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2是开口向上的抛物线(如图(4))，所以原不等式的解集为R.
1．在解一元二次不等式中，需求所对应的一元二次方程的根，可借用求根公式法，或“十字相乘法”求解，根据数形结合写出解集．
2．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)根据图象写出不等式的解集．
求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x>6；
(2)x2－6x＋9≤0；
(3)－x2＋2x＋8>0.
【解】　(1)由x2－5x>6，
得x2－5x－6>0.
∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.
∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)由x2－6x＋9≤0得(x－3)2≤0，
∴原不等式的解集为{x|x＝3}．
(3)原不等式可化为x2－2x－8<0，
又Δ＝(－2)2－4×(－8)＝36，
∴方程x2－2x－8＝0有两个不等实根x1＝－2，x2＝4，
∴原不等式的解集为{x|－2解含参数的一元二次不等式
　解关于x的不等式x2－2ax－8a2<0.
【思路探究】　(1)不等式x2－2ax－8a2<0对应的方程x2－2ax－8a2＝0的两根可怎样获得？两根的大小关系是否已经确定？
(2)不等式x2－2ax－8a2<0的解集要确定的话，应需怎样？
(3)怎样确定两根的大小关系？
【自主解答】　不等式x2－2ax－8a2<0可化为
(x＋2a)·(x－4a)<0，
(1)当－2a＝4a，即a＝0时，不等式即为x2<0，解集为?；
(2)当－2a>4a，即a<0时，则4a(3)当－2a<4a，即a>0时，则－2a综上所述：当a＝0时，原不等式的解集为?；
当a<0时，原不等式解集为{x|4a当a>0时，原不等式解集为{x|－2a1．本例中不等式对应的方程x2－2ax－8a2＝0有实根，只是大小由参数的范围决定，故按根的大小讨论参数．
2．解含参数的一元二次不等式时的讨论原则：
(1)若二次项系数含有参数，需对二次项系数等于0与不等于0讨论，对于不为0的情况再按大于0或小于0讨论．
(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定，需对其判别式Δ进行讨论．
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根大小进行讨论．
解关于x的不等式ax2－x>0.
【解】　当a＝0时，不等式为－x>0，∴x<0，
当a≠0时，方程ax2－x＝0的两根为0与；
当a>0时，>0，
∴x>或x<0；
当a<0时，<0，∴综上，当a>0时，不等式的解集为{x|x>或x<0}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x<0}；
当a<0时，不等式的解集为{x|(对应学生用书第55页)
因变形方法不当致误
　解不等式<0.
【错解】　把不等式两边同乘以x＋7，变形得x－3<0，
∴原不等式的解集是{x|x<3}．
【错因分析】　分母中含有未知数x，符号未知，解题时直接去掉，导致错误．
【防范措施】　简单的分式不等式求解集时，要对其进行等价变换，变形为等价的整式不等式再求解．
【正解】　原不等式等价于(x－3)(x＋7)<0，
∴原不等式的解集为{x|－71．对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的求解，要善于联想两个方面的问题：
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点及图象．
(2)方程ax2＋bx＋c＝0的根．
2．含有参数的不等式的求解，要注意按某一恰当的分类标准进行讨论．
(对应学生用书第55页)
1．(2013·东莞高二检测)不等式x2≤1的解集是(　　)
A{x|x≤1}　　 　　B．{x|x≤±1}
C{x|-1≤x≤1} D．{x|x≤－1}
【解析】　令x2－1＝0，其两根分别为－1,1，故x2≤1的解集为{x|－1≤x≤1}．
【答案】　C
2．(2013·岳阳高二检测)不等式2x≤x2＋1的解集为(　　)
A．? B．R
C{x|x≠1} D．{x|x>1或x<－1}
【解析】　2x≤x2＋1?x2－2x＋1≥0?(x－1)2≥0，
∴x∈R.
【答案】　B
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是____________．
【解析】　由表可知方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－2,3且开口向上，
∴ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x>3或x<－2}．
【答案】　{x|x>3或x<－2}
4．解不等式：
(1)x(9－x)>0；
(2)16－x2≤0.
【解】　(1)原不等式等价于x(x－9)<0，
因为方程x(x－9)＝0的两根为0,9，
且二次函数y＝x(x－9)的图象开口向上．
∴原不等式的解集为{x|0(2)原不等式等价于x2－16≥0即x2≥16，
∴其解集为{x|x≥4或x≤－4}．
一、选择题
1．(2013·揭阳高二检测)不等式≤0的解集为(　　)
A．(－，1]　　　　　 　B．[－，1]
C．(－∞，－)∪[1，＋∞) D．(－∞，－]∪[1，＋∞)
【解析】　不等式等价于
∴∴x∈(－，1]．
【答案】　A
2．(2013·枣庄高二检测)集合M＝{x|x2－3x－4≥0}，N＝{x|1A．(1,4) B．(1,4]
C．(－1,5] D．[－1,5]
【解析】　由x2－3x－4≥0得(x＋1)(x－4)≥0，∴x≥4或x≤－1，
∴M＝{x|x≥4或x≤－1}，∴?RM＝{x|－1∴(?RM)∩N＝{x|1【答案】　A
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2、3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为(　　)
A．{x|x＞3或x＜－2} B．{x|x＞2或x＜－3}
C．{x|－2＜x＜3} D．{x|－3＜x＜2}
【解析】　由已知得a(x＋2)(x－3)＞0，
∵a＜0，∴(x＋2)(x－3)＜0，
∴－2＜x＜3.
【答案】　C
4．(2013·泰安高二检测)已知00的解集为(　　)
A{x|x} B．{x|x>a}
C.{或x>a} D．{x|x<}
【解析】　方程两根为x1＝a，x2＝，∵0∴>a.相应的二次函数图象开口向上，故原不等式的解集为{x|x}．
【答案】　A
5．(2013·九江高二检测)不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)
A．[－4,4] B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
【解析】　由题意，须满足Δ＝a2－16≤0，
即－4≤a≤4.
【答案】　A
二、填空题
6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b＝________.
【解析】　由题意，得a<0，且－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，故有
故此解得故a＋b＝－14.
【答案】　－14
7．不等式2x2＋2x－4≤的解集为________．
【解析】　原不等式可化为2x2＋2x－4≤2－1，
即x2＋2x－4≤－1，
解得：－3≤x≤1.
【答案】　{x|－3≤x≤1}
8．(2013·宁波高二检测)已知函数f(x)＝，则不等式f(x)－x≤2的解集是________．
【解析】　由题意，(1)，
∴，∴－≤x≤0.
(2)，∴x>0，综上可知x∈[－，＋∞)．
【答案】　[－，＋∞)
三、解答题
9．求下列不等式的解集．
(1)－2x2＋x＋<0；
(2)3x2＋5≤3x.
【解】　(1)原不等式可以化为2x2－x－>0.
∵方程2x2－x－＝0的解是：
x1＝，x2＝，
∴原不等式的解集是{x|x<或x>}．
(2)原不等式变形为3x2－3x＋5≤0.
∵Δ<0，∴方程3x2－3x＋5＝0无解．
∴原不等式的解集是?.
10．已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．
【解】　由根与系数的关系，可得
即
∴不等式bx2＋ax＋1>0，就是2x2－3x＋1>0.
由于2x2－3x＋1>0?(2x－1)(x－1)>0
?x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为(－∞，)∪(1，＋∞)．
11．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.(a<1)
【解】　(1)a＝0时，
原不等式化为x－2<0，
解集为{x|x<2}．
(2)当a<0时，
原不等式化为(x－2)(x－)<0，
这时两根的大小顺序为2>，所以解集为{x|(3)当0原不等式化为(x－2)(x－)>0，
这时两根的大小顺序为2<，
所以原不等式的解集为{x|x>或x<2}．
综上所述：
当a＝0时，解集为{x|x<2}；
当a<0时，解集为{x|当0或x<2}.
(教师用书独具)
解不等式：
(1)<0；(2)≤2.
【思路探究】　(1)转化为一次项系数为正值时的整式不等式求解．
(2)移项通分，转化为(1)的形式求解．
【自主解答】　(1)由<0，得>0，
此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，
∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
(2)法一　移项，得－2≤0，
左边通分并化简，得≤0，即≥0，
它的同解不等式为
∴x<2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
法二　原不等式可化为≥0，
此不等式等价于　①或②
解①，得x≥5.解②，得x<2.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
解下列不等式：
(1)<0；(2)≤2.
【解】　(1)不等式等价于(x－4)(x＋5)<0，
∴原不等式的解集为{x|－5(2)移项得－≤0，
化简得≤0，即≥0，
不等式等价于(x＋3)(x＋8)≥0且x＋3≠0，
∴不等式的解集为{x|x>－3或x≤－8}．
一元二次不等式的应用：
解决不等式恒成立问题的关键是转化思想的应用，一元二次不等式恒成立问题还可以借助二次函数的图象求解，请把下列结论补充完整：
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是；
(2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是或；
(3)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是或；
(4)不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是或；
(5)f(x)≤a恒成立，x∈D?[f(x)]max≤a，x∈D；
(6)f(x)≥a恒成立，x∈D?[f(x)]min≥a，x∈D.
(对应学生用书第56页)
“三个二次”之间的关系
　已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－【思路探究】　(1)由ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－(2)你能由根与系数的关系求出a，b的值并得到2x2＋bx＋a<0的解集吗？
【自主解答】　∵ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－∴－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根．
由根与系数的关系得
，解得.
∴2x2＋bx＋a<0可化为2x2－2x－12<0，
即x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，解得－2∴2x2＋bx＋a<0的解集为{x|－21．本题是二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集间关系的灵活运用，注意“三个二次”间的关系，即二次方程的两根对应着二次函数图象与x轴两交点的横坐标，对应着二次不等式解集中的端点值．
2．已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
已知ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x>3或x<1}，求不等式cx2－bx＋a>0的解集．
【解】　∵不等式ax2＋bx＋c<0的解集为
{x|x>3或x<1}，
∴a<0.
x＝3，x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
即∴b＝－4a，c＝3a.
所以cx2－bx＋a>0变形为3ax2＋4ax＋a>0.
∵a<0，
∴3x2＋4x＋1<0，
∴－1∴不等式的解集是{x|－1一元二次不等式的恒成立问题
　若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【思路探究】　(1)当m＋1＝0时，原不等式对任何实数x恒成立吗？(2)若m＋1≠0，要使原不等式恒成立需满足什么条件？
【自主解答】　由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，
原不等式可化为2x－6<0，
解得x<3，不符合题意，应舍去．
当m＋1≠0时，由(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，
则有
解得m<－.
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－)．
1．本题中二次项系数不确定，应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论．
2．一元二次不等式恒成立问题的常见类型：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
①f(x)>0在x∈R上恒成立?
②f(x)<0在x∈R上恒成立?
已知函数f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－2的图象在x轴下方，求实数a的取值范围．
【解】　由题意知，f(x)<0恒成立，
(1)当a＝2时，f(x)＝－2，图象在x轴下方成立，
(2)当a≠2时，只需即
∴0由(1)(2)知a的取值范围是{a|0一元二次不等式的实际应用
　某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆，本年度为适应市场需要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式；
(2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
【思路探究】　分析题意→列不等式→解不等式→解决问题
【自主解答】　(1)每辆车投入成本增加的比例为x，
则每辆车投入成本为1×(1＋x)万元，出厂价为1.2×(1＋0.75x)万元，年销量为1 000×(1＋0.6x)辆．
∴y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)，
即y＝－60x2＋20x＋200(0(2)欲保证本年度的利润比上年度有所增加，
则
即
∴0答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足01．解决本题的关键是利用题目给出的等量关系，即年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量，转化为函数形式，解有关不等式的应用问题时，有时一个不等式还不足以解决问题，必须列出相应的不等式组才可以．
2．用一元二次不等式求解实际应用题的一般程序
(1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；
(2)建模：建立一元二次不等式模型；
(3)求解：解一元二次不等式；
(4)还原：把数学结论还原为实际问题．
某单位在对一个长800 m、宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图3－2－1所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围．
图3－2－1
【解】　设花坛的宽度为x m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.
根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600，
整理得x2－700x＋60 000≥0，
解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，
由题意知x>0，所以0当x在(0,100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.
(对应学生用书第57页)
忽略二次项系数为零致误
　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
【错解】　不等式 (a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，
则只需
即
解得－2【错因分析】　当a－2＝0时，原不等式变为－4<0，仍成立，此时不能用根的判别式．
【防范措施】　二次项系数含参数时，要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论，缺一不可．若认为当系数为0时，为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的．因为只要题中没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况．
【正解】　因为a＝2时，原不等式为－4<0，
所以a＝2时恒成立．
当a≠2时，由题意得
即
解得－2综上两种情况可知－21．“三个二次”之间的关系不但是解一元二次不等式的理论依据，还可以确定参数的值或范围．
2．解决不等式恒成立问题实际是等价转化思想的应用，同时要结合二次函数的图象求解．
3．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中的起关键作用的未知量为x，用x来表示其它未知量，根据题意，列出不等关系再求解，同时还应注意变量的实际意义．
(对应学生用书第58页)
1．已知一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|αA．a>0　　　　　 B．a<0
C．a≥0 D．a≤0
【解析】　由题意知，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下．
【答案】　B
2．已知不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R，则(　　)
A．a<0，Δ>0 B．a<0，Δ<0
C．a>0，Δ<0 D．a>0，Δ>0
【解析】　由题意知，二次函数y＝ax2＋bx＋c图象均在x轴下方，故a<0，Δ<0.
【答案】　B
3．已知二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2A．a＝－1，b＝－2　　　 B．a＝－2，b＝－1
C．a＝b＝－ D．a＝1，b＝2
【解析】　由条件可知，方程ax2＋bx＋1＝0的两根为－2和1，
∴解得
【答案】　C
4．已知不等式kx2－kx－1<0恒成立，求实数k的取值范围．
【解】　当k＝0时，－1<0恒成立，
当k≠0时，，∴－4综上，k的范围为－4一、选择题
1．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3或x<－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是(　　)
A．y＝2x2＋2x＋12　　　B．y＝2x2－2x＋12
C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12
【解析】　由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，
得－2＋3＝－，－2×3＝.
∴m＝－2，n＝－12.
因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.
【答案】　D
2．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的集合为(　　)
A{a|0C{a|0【解析】　当a＝0时，有1<0，故A＝?成立；当a≠0时，要使A＝?，须满足，∴0【答案】　D
3．(2013·新泰高二期中)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A{x|－1}
C．{x|－21}
【解析】　由题意，∴，故不等式为：2x2＋x－1<0，其解集为{x|－1【答案】　A
4．函数y＝对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m>2 B．m<2
C．m<0或m>2 D．0≤m≤2
【解析】　由题意知x2＋mx＋≥0对一切x∈R恒成立，∴Δ＝m2－2m≤0，∴0≤m≤2.
【答案】　D
5．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
【解析】　由3 000＋20x－0.1x2≤25x得x2＋50x－30 000≥0，解得：x≥150或x≤－200(舍去)．
【答案】　C
二、填空题
6．(2013·南阳高二检测)若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集为(1，m)，则实数m的值为________．
【解析】　由题意可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，
∴解得m＝2，
∴m的值为2.
【答案】　2
7．关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是________．
【解析】　不等式组可化为由题意可知a2＋1<2a＋4，即a2－2a－3<0，解得－1【答案】　(－1,3)
8．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
【解析】　设f(x)＝x2＋mx＋4，
要使x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
则有即
解得m≤－5.
【答案】　(－∞，－5]
三、解答题
9．(2013·厦门高二检测)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋4x－5<0的解集为B，
(1)求A∪B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∪B，求ax2＋x＋b<0的解集．
【解】　(1)解不等式x2－2x－3<0，得A＝{x|－1解不等式x2＋4x－5<0，得B＝{x|－5∴A∪B＝{x|－5(2)由x2＋ax＋b<0的解集为{x|－5∴，
解得.
∴2x2＋x－15<0，
∴不等式的解集为{x|－310．(2013·青岛高二检测)设函数f(x)＝x2－ax＋b.
(1)若不等式f(x)<0的解集是{x|20的解集；
(2)当b＝3－a时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解】　(1)因为不等式x2－ax＋b<0的解集是{x|2由韦达定理得：a＝5，b＝6，故不等式bx2－ax＋1>0为6x2－5x＋1>0.解不等式6x2－5x＋1>0得其解集为{x|x<，或x>}．
(2)据题意，f(x)＝x2－ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0.解Δ＝a2－4(3－a)≤0，得－6≤a≤2.
11．某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？(注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价))
【解】　(1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝(＋a)(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意，有

整理得
解此不等式，得0.6≤x≤0.75.
即当电价最低定为0.6元/千瓦时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
(教师用书独具)
已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4.
(1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)如果对x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
【思路探究】　利用三个“二次”的关系，结合相应二次函数的图象求解．
【自主解答】　(1)由于对一切x∈R，f(x)>0恒成立，
故Δ＝4(a－2)2－16<0?0(2)由于对x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，
故或
或
分别解之得a∈?或1≤a<4或－∴a的取值范围为(－，4)．
已知不等式2x－1>m(x2－1)，若对于m∈[－2,2]不等式恒成立，求x的取值范围．
【解】　设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
由题意知当m∈[－2,2]时，f(m)<0恒成立，
故当且仅当时成立，
即
解①得解②得x<或x>.
∴即x的取值范围是{x|
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