高中数学选修2-2复习教案

高中数学选修2-2知识点总结
教学目标：
1．重点理解导数相关概念及其几何意义；
2．掌握选修2-2的知识点
3．利用选修2-2知识解决简单问题
教学重点：利用导数研究与函数有关的简单问题，掌握推理证明的证明方法，会计算与复数有关的简单问题。
教学难点：用所学知识点解决常见问题。
授课类型：复习课
课时安排：4课时
导数及其应用
基础知识【理解去记】
1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有|un-A|<ε成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A，称右极限。类似地表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)?g(x)]=ab,
3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作(x0)或或，即。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数(x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
6．【必背】八大常用函数的导数：
（1）=0（c为常数）；
（2）（a为任意常数）；
（3）
(4);
(5);
(6);
（7）；
（8）
7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则
（1）；（2）；（3）（c为常数）；（4）；（5）。
8．****【必会】复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x)，已知(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x))处可导，则复合函数y=f[(x)]在点x处可导，且（f[(x)]=.
9.导数与函数的性质：单调性：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则
11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时，当x∈(x0,x0+δ)时，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时，当x∈(x0,x0+δ)时，则f(x)在x0处取得极大值。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。（1）若，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若，则f(x)在x0处取得极大值。
13．【了解】罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使
[证明] 若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，.若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。
二、基础例题【必会】
1．极限的求法。
例1 求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）
[解]（1）=；
（2）当a>1时，
当0当a=1时，
（3）因为
而
所以
（4）
例2 求下列极限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)(|x|<1)；
（2）；（3）。
[解] （1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)
=
（2）
=
（3）
=
2．连续性的讨论。
例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x∈[0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。
[解] 当x∈[0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，则x=t-1，当x∈[1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t∈[1,2)时,有f(t)=2(t-1)?(2-t)2；同理，当x∈[1,2)时，令x+1=t，则当t∈[2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)=所以
，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。
3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。
[解] 因为点(2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0,y0)，则，切线的斜率为，所以切线方程为y-y0=，即。又因为此切线过点（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即x+y-2=0.
4．导数的计算。
例5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x>0且)。
[解] （1）3cos(3x+1).
(2)
（3）
（4）
（5）
5．用导数讨论函数的单调性。
例6 设a>0，求函数f(x)=-ln(x+a)(x∈ (0,+∞))的单调区间。
[解] ，因为x>0,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a+<0.
（1）当a>1时，对所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；（2）当a=1时，对x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+∞)内递增；（3）当00，解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)内单调递增，在(2-a+,+∞)内也单调递增，而当2-a-6．利用导数证明不等式。
例7 设，求证：sinx+tanx>2x.
[证明] 设f(x)=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0f(0)=0，即sinx+tanx>2x.
7.利用导数讨论极值。
例8 设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。
[解] 因为f(x)在(0,+∞)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得
所以.
所以当x∈(0,1)时，，所以f(x)在(0,1]上递减；
当x∈(1,2)时，，所以f(x)在[1，2]上递增；
当x∈(2,+∞)时，，所以f(x)在[2，+∞）上递减。
综上可知f(x)在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。
例9 设x∈[0,π],y∈[0,1]，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。
[解] 首先，当x∈[0,π],y∈[0,1]时，
f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,
当时，因为cosx>0,tanx>x，所以；
当时，因为cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以；
又因为g(x)在(0,π)上连续，所以g(x)在(0,π)上单调递减。
又因为0<(1-y)xg(x)，即，
又因为，所以当x∈(0,π),y∈(0,1)时，f(x,y)>0.
其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=π时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.
当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx≥0.
综上，当且仅当x=0或y=0或x=π且y=1时，f(x,y)取最小值0。
三、趋近高考【必懂】
这些高考题取自2009-2010年各个热门省市，同学一定重视，在此基础上，我会对这些高考题作以删减，以便同学在最短时间内理解明白！
1.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( )
A.1 B. 2 C.-1 D.-2
答案 B
解:设切点，则,又
.故答案 选B
2.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线
在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.答案 A
解析 由得几何，
即，∴∴，∴切线方程，即选A
3.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( )
A．或 B．或 C．或 D．或
答案 A
解析 设过的直线与相切于点，所以切线方程为
即，又在切线上，则或，
当时，由与相切可得，
当时，由与相切可得，所以选.
4.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝ ( )
A. B.3 C. D.4
答案 C
解析 由题意 ①
②
所以,
即2
令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)
∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2 于是2x1＝7－2x2
5.（2009天津卷理）设函数则 ( )
A在区间内均有零点。
B在区间内均无零点。
C在区间内有零点，在区间内无零点。
D在区间内无零点，在区间内有零点。
解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间
为增函数，在点处有极小值；又
，故选择D。
6.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。
解法（分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得
7.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .
答案 -2
8（2010.全国1文）．设，当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】：，由得，即或；
由得即，所以函数单调增区间是，；
函数的单调减区间是。由恒成立，大于的最大值。当时，(1)当时，为增函数，所以；(2)当时，为减函数，所以；(3)当时，为增函数，所以；因为，从而
第二章 推理与证明
本章只需重视综合法、分析法、反证法的特点。及数学归纳法的掌握！
一、基础知识【理解去记】
综合法：“执因导果” 分析法“执果导因” 反证法:倒着推【不常考】
归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般.
不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法
完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法
完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法
数学归纳法:对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.
数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当(，≥)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立.
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
证明：当取第一个值结论正确；假设当(，≥)时结论正确，证明当时结论也正确由，可知，命题对于从开始的所有正整数都正确.数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
用数学归纳法证题时，两步缺一不可；证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑目标.
二、基础例题【必会】
用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明：时，
点评：用数学归纳法证明，一是要切实理解原理，二是严格按步骤进行，格式要规范，从n=k到n=k+1时一定要用归纳假设，否则不合理。
用数学归纳法证明不等式
例2.证明
点评：用数学归纳法证明不等式，推导n=k+1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均要灵活运用，在证明的过程中，常常利用不等式的传递性对式子放缩建立关系。同时在数学归纳法证明不等式里应特别注意从n=k到n=k+1过程中项数的变化量，容易出错。
用数学归纳法证明整除问题
例3.用数学归纳法证明：能被9整除。
点评：用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩下的式子也能被某式（或数）整除，拼凑式关键。
第三章 数系的扩充与复数
一、基础知识【理解去记】
1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。
2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，则z=reiθ，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。
4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),
5.【部分省市考】棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).
6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则，k=0,1,2,…,n-1。
7．单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).
8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等
9．复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z≠0）.
10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。
11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。
12．若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2-4ac<0时方程的根为
二、基础例题【必会】
1．模的应用。
例1 求证：当n∈N+时，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有纯虚根。
[证明] 若z是方程的根，则(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化简得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。
例2 设f(z)=z2+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。
[解] 因为4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)
=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|
≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等号成立。
所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。
所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.
2.复数相等。
例3 设λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根，求λ满足的充要条件。
[解] 若方程有实根，则方程组有实根，由方程组得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，则方程x2-x+1=0中Δ<0无实根，所以λ≠-1。所以x=-1, λ=2.所以当λ≠2时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为λ≠2。
3．三角形式的应用。
例4 设n≤2000,n∈N，且存在θ满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？
[解] 由题设得
，所以n=4k+1.又因为0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以这样的n有500个。
5．复数乘法的几何意义。
例6 以定长线段BC为一边任作ΔABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求证：MN的中点为定点。
[证明] 设|BC|=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，则B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z1,z2,z3,，由复数乘法的几何意义得：，①，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=,为定值，所以MN的中点P为定点。
例7 设A，B，C，D为平面上任意四点，求证：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。
[证明] 用A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).
所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=”成立当且仅当，即=π，即A，B，C，D共圆时成立。不等式得证。
6．复数与轨迹。
例8 ΔABC的顶点A表示的复数为3i，底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2，求ΔABC的外心轨迹。
[解]设外心M对应的复数为z=x+yi(x,y∈R)，B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点M对应的复数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得
所以ΔABC的外心轨迹是轨物线。
7．复数与三角。
例9 已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求证：cos2α+cos2β+cos2γ=0。
[证明] 令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，则
z1+z2+z3=0。所以又因为|zi|=1,i=1,2,3.
所以zi?=1，即
由z1+z2+z3=0得 ①
又
所以
所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.
所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。
例10 求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.
[解] 令w=cos200+isin200,则w18=1，令P=sin200+2sin400+…+18sin18×200,则S+iP=w+2w2+…+18w18. ①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19，②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19=，所以S+iP=，所以
8．复数与多项式。
例11 已知f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn是n次复系数多项式(c0≠0).
求证：一定存在一个复数z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.
[证明] 记c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，则方程g(Z)-c0eiθ=0为n次方程，其必有n个根，设为z1,z2,…,zn，从而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)?…?(z-zn)c0，令z=0得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0，取模得|z1z2…zn|=1。所以z1,z2,…，zn中必有一个zi使得|zi|≤1,从而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|.
9.单位根的应用。
例12 证明：自⊙O上任意一点p到正多边形A1A2…An各个顶点的距离的平方和为定值。
[证明] 取此圆为单位圆，O为原点，射线OAn为实轴正半轴，建立复平面，顶点A1对应复数设为，则顶点A2A3…An对应复数分别为ε2，ε3，…，εn.设点p对应复数z,则|z|=1,且=2n-
=2n-命题得证。
10．复数与几何。
例13 如图15-2所示，在四边形ABCD内存在一点P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P为直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q为直角顶点的等腰直角三角形。
[证明] 以P为原点建立复平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它们对应的复数，由题设及复数乘法的几何意义知D=iC,B=iA；取，则C-Q=i(B-Q)，则ΔBCQ为等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也为等腰直角三角形且以Q为直角顶点。综上命题得证。
例14 平面上给定ΔA1A2A3及点p0，定义As=As-3,s≥4，构造点列p0,p1,p2,…,使得pk+1为绕中心Ak+1顺时针旋转1200时pk所到达的位置，k=0,1,2,…,若p1986=p0.证明：ΔA1A2A3为等边三角形。
[证明] 令u=，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面为复平面，则p1=(1+u)A1-up0,
p2=(1+u)A2-up1,
p3=(1+u)A3-up2,
①×u2+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w为与p0无关的常数。同理得p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，从而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，这说明ΔA1A2A3为正三角形。
三、趋近高考【必懂】
1.(2009年广东卷文)下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是 （ ）
A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5
【解析】因为,故选C.
答案 C
2. （2009广东卷理）设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位， （ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【解析】，则最小正整数为4，选C.
答案 C
3.（2009浙江卷理）设（是虚数单位），则 ( )
A． B． C． D．
【解析】对于
答案 D
4.（2009浙江卷文）设（是虚数单位），则 （ ）A． B． C． D．【解析】对于
答案 D
5.（2009北京卷理）在复平面内，复数对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】 ∵，∴复数所对应的点为，故选B.
答案 B
6.(2009山东卷理)复数等于 （ ）
A． B. C. D.
【解析】: ,故选C.
答案 C
7.(2009山东卷文)复数等于 （ ） A． B. C. D.
【解析】: ,故选C.
答案 C
8.（2009全国卷Ⅰ理）已知=2+i,则复数z= （ ）
（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
【解析】 故选B。
答案 B
9.（2009安徽卷理）i是虚数单位，若，则乘积的值是( ) （A）－15 （B）－3 （C）3 （D）15【解析】 ，∴，选B。
答案 B
10.（2009安徽卷文）i是虚数单位，i(1+i)等于 （ ）
A．1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i
【解析】依据虚数运算公式可知可得，选D.
答案 D
11.（2009江西卷理）若复数为纯虚数，则实数的值为 （ ）
A． B． C． D．或
【解析】由 故选A
答案 A
12.(2009湖北卷理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为 （ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】因为为实数
所以故则可以取1、26，共6种可能，所以
答案 C
13.（2009全国卷Ⅱ理） （ ）
A. B. C. D.
【解析】：原式.故选A.
答案 A
14.（2009辽宁卷理）已知复数，那么= （ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】＝
答案 D
15.（2009宁夏海南卷理）复数 （ ）
（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2
【解析】,选D
答案 D
作业布置：试卷1
板书设计：
选修2-2
一、导数
二、推理与证明
三、复数
例题
练习
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题1
一、选择题
1．下列说法正确的是（　　）
Ａ．若，则是函数的极值 Ｂ．若是函数的极值，则在处有导数
Ｃ．函数至多有一个极大值和一个极小值
Ｄ．定义在上的可导函数，若方程无实数解，则无极值
2．复数，则的充要条件是（　　）
Ａ． Ｂ．且 Ｃ． Ｄ．
设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的（）
4．下列计算错误的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．若非零复数，满足，则与所成的角为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．已知两条曲线与在点处的切线平行，则的值为（　　）
Ａ．0 Ｂ． Ｃ．０或 Ｄ．0或1
7.有一个奇数列1,3,5,7,9,┅，现在进行如下分组：第一组含一个数，第二组含两个数，第三组含三个数，第四组含四个数，┅，现观察猜想每组内各数之和与其组的编号数的关系为（ ）A．等于 B.等于 C.等于 D.等于
8．的值为（　　）Ａ． Ｂ． Ｃ．1 Ｄ．0
9．函数，则有（　　）
Ａ．极大值为1，极小值为0 Ｂ．极大值为1，无极小值 Ｃ．最大值为1，最小值为0 Ｄ．无极小值，也无最小值
10．下列推理合理的是（　　）
Ａ．是增函数，则 Ｂ．因为，则
Ｃ．为锐角三角形，则 Ｄ．直线，则
11．的一个充分条件是（　　）
Ａ．或 Ｂ．且 Ｃ．且 Ｄ．或
函数的图象关于原点中心对称，则在上（　　）
Ａ．单调递增 Ｂ．单调递减 Ｃ．单调递增，单调递减 Ｄ．单调递减，单调递增
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题
13．设且，则　　　　　．
14．在空间　　　　这样的多面体，它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边．（填“不存在”或“存在”）
15．设，则　　　　　．
16．已知：中，于，三边分别是，则有；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体中，，的面积分别是，二面角的度数分别是，则　　　 　．
三、解答题
17．求函数的单调递减区间．
18．设复数，当为何值时，取得最大值，并求此最大值．
19．（本小题12分）已知:都是正实数,且求证:.
20．在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍（）．
（1）写出此数列的前5项；
（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明．
21如图，在曲线上某一点处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为，试求：
（1）切点的坐标；
（2）过切点的切线方程．
22．已知函数．
（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的范围；
（2）若，
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）证明对任意的，，不等式恒成立．
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题2选择题（每小题5分，共60分）
1.若复数，则的虚部等于[ ]
A.1 B.3 C. D.
2.和是R上的两个可导函数，若=，则有[ ]
A. B.是常数函数 C. D.是常数函数
3.一个物体的运动方程是（为常数），则其速度方程为[ ]
A. B. C. D.
4.设复数满足，则的值等于[ ]A.0 B.1 C. D.2
5.定积分的值等于[ ] A.1 B. C. D.
6.已知是不相等的正数，，，则的大小关系是[ ]
A. B. C. D.不确定
7.若函数，则其[ ]
A.有极小值，极大值3 B.有极小值，极大值6 C.仅有极大值6 D.无极值
8.已知复数的模等于2，则的最大值等于[ ]A.1 B.2 C. D.3
9.设是函数的导函数，的图象如图所示，
则的图象最有可能的是[ ]
10.若，则n的值可能为[ ]A.4 B.5 C.6 D.7
11.若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是[ ]
A.或或 B.或
C. D.不存在这样的实数
12.定义复数的一种运算(等式右边为普通运算),若复数,且实数a,b满足,则最小值为[ ] A. B. C. D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
填空题（每小题4分，共16分）
13.设复数在复平面内对应的点位于第—————象限.
14.方程实根的个数为————————.
15.已知函数，[-2，2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：①f（x）的解析式为：，[-2，2]；②f（x）的极值点有且仅有一个；③f（x）的最大值与最小值之和等于零.其中正确的命题是——————————.
16.仔细观察下面4个数字所表示的图形：
　　　 　　 　 　
请问：数字100所代表的图形中有 方格
解答题（共74分）
17.设复数，若，求实数m，n的值.
18 已知抛物线通过点P(1,1),且在点Q(2,-1)处与直线相切,求实数的值.
19.若a＞0,b＞0,求证：
20.若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
21．(本小题12分) 设函数
⑴证明:的导数； ⑵若对所有都有,求的取值范围.
22.已知函数在区间上是增函数.（1）求实数m的取值范围；（2）若数列满足，证明：.
参考答案
选择题
1.B 2.D 3.B 4.C 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.A 11.B 12.B
填空题
13.四
14.2
15.（1）（3）
16.20201
解答题
17.解析：，将代入，得，所以
于是得.
18.解析：由于因为函数f(x)存在单调递减区间，所以<0有解.
又因为函数的定义域为，则ax2+2x－1>0应有x>0的解.①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解，则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－119.解析：可以观察到：，故可以猜想此推广式为：若，且都不等于，则有.
证明如下：由得，所以，又因为，所以
所以.
20.解析：设存在虚数Z=x+yi（x、y∈R且y≠0）。
由已知得，因为
21.解析：，
⑴ 函数的图象有与轴平行的切线，有实数解
，，
所以的取值范围是………………………………………4分
⑵，，，
（Ⅰ）由或；由
的单调递增区间是；单调减区间为……………8分
（Ⅱ）易知的最大值为，的极小值为，又
在上的最大值，最小值
对任意，恒有.
22.解析：（1），由于在区间上是增函数，所以，即在上恒成立，所以，而，所以.
（2）由题意知，当n=1时，.假设当n=k时有，则当n=k+1时， ，且（由（1）问知在区间上是增函数）.所以当n=k+1时命题成立，故.又因为，所以.