人教A版高中数学必修4：《向量数乘运算及其几何意义》教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修4：《向量数乘运算及其几何意义》教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 124.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-19 10:05:37 | ||
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文档简介
《向量数乘运算及其几何意义》教案
一、教材分析
1.《新课程标准》的解读分析
向量具有丰富的现实背景和物理背景，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁,是重要的数学模型.在本模块的教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题.在相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动.
2. 在整个高中教材中的地位和作用.
向量，具有“数”与“行”的双重身份，是处理问题的一种工具，作用非常大，贯穿于整个高中数学的学习中.
3. 本章节地位、本节的逻辑关系.
向量数乘运算及其几何意义位于人教版《必修4》2.2.3节，在本章节中起着承前起后的作用.学生在掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难.通过前面学习
二、教学重难点
重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理.
难点：向量共线定理的探究及其应用.
三、三维目标设计
1.知识与技能:
通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理.熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.
2.过程与方法:
理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线.
3.态度情感与价值观：
通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力.激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神.
四、教学过程
（一）引入
1.复习向量的加法、减法，（温故而知新），采用提问的形式.
问题1：向量加法的运算法则？
问题2：向量减法的几何意义？
学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受.
向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）.
向量的减法：， 则 .（共起点，连终点，方向指向被减数）.
2.问题情境 ：一质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1s的位移对应的向量用表示，那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用 来表示.这是何种运算的结果？
启发学生发现：这些公式都是实数与向量间的关系
3.【探究1】
已知非零向量，作出和，你能说处他们的几何意义吗？
问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？
问题2：这些变化与哪些因素有关？
将学生分成两组，第一组：；第二组：.让学生在白纸上作出图像，并讨论两个问题.最后学生之间互相交流，总结结论.
生：与方向相同且；
生：与方向相反且
师：非常好！
教师通过多媒体，看长度和方向的图像变化形式.
（二）新课讲解
1.实数与向量的积的定义
请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数λ与向量的积？启发学生从以下角度思考：是向量？长度？方向？根据学生总结，让学生看大屏幕.
2.实数与向量的积的运算律
【探究2】
问题一：求作向量和(为非零向量)，并进行比较.
问题二：已知向量、，求作向量和，并进行比较.
类比实数
乘法的运算律向量数乘的运算律：
为了降低难度，教科书不要求对三个运算律作出证明，只要求学生会用.
小注：实数与向量可以求积，但不能进行加减运算.
例1：计算(口答)
(1)
(2)
(3)
设计意图：要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中，不能让学生将本题简单地看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点.
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
剖析：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.
对于任意向量、及任意实数、,恒有.
3、向量共线定理
思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？
生：数乘向量与原向量是共线的 .
【探究3】
问题1：如果 (), 那么，向量与是否共线？
问题2: 与非零向量共线， 那么， ？
（学生分成两组，各选一问进行研究，然后同学之间相互交流，最后提升结论.教师巡视，适时加以引导，了解学生进展情况）
生：对于向量()、，如果有一个实数，使得 , 那么，由数乘向量的定义知：向量与共线.
生：若向量与共线，，且向量的长度是的长度的倍，即有,当与同方向时，
有;当与反方向时，
有，所以始终有一个实数，使.
师：如果没有的限制，会有什么结果？
（学生惊讶，没有限制会怎么样呢？马上进入思考状态.）
生：问题1成立.与任意向量都是共线向量.
生：问题2不成立.
评析：1.让学生正确理解定理包含的两层意思.也就是将来我们在选修中学到的充要条件.
2.让学生自己先体验；若无此限制，会有什么结果？再感悟到只有用非零向量 ，才能表示与它共线的所有向量.
3.通过分组讨论后，集同学们的劳动成果、智慧于一体，彼此之间再进行交流，充分体现了“众人拾柴火焰高”.
例2.已知任意两非零向量、，试作, ，.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
设计意图：利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先让学生作图，通过观察图形得到A、B、C三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线，本题主要引导学生理清思路，具体过程可由学生完成.
解：作图如右（过程略）
依图观察，知A、B、C三点共线.
证明如下：
∵
又
∴ ，又与有公共点A，
∴ A、B、C三点共线.
评析：证明三点共线，可以直接运用定理，找出两向量间关系，再利用它们有一个公共点，得到三点共线.教学中利用多媒体作图，进行动态演示，揭示向量、变化过程中，A、B、C三点始终在同一条直线上的规律.
【变式练习】如图，已知、，试判断与是否共线?
解：∵ 、
又
∴ 与共线.
评析：证明向量共线，可以直接运用定理.
思考：在本题中，若B、C分别是AD、AE的三等分点，你能否利用向量关系来证明BC‖DE呢？
生：,即∥，又因为BC、DE不重合，所以BC∥DE.
（三）课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解向量共线定理，并能在解题中加以运用.
1.概念与定理
① 的定义及运算律.
② 向量共线定理：向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得 .
2.知识应用：
① 证明 向量共线；
② 证明 三点共线: 两向量共线且有一个公共点
若，即与共线且有一个公共点B，则A、B、C三点共线；
③ 证明 两直线平行:
∥
AB、CD 不重合
一、教材分析
1.《新课程标准》的解读分析
向量具有丰富的现实背景和物理背景，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁,是重要的数学模型.在本模块的教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题.在相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动.
2. 在整个高中教材中的地位和作用.
向量，具有“数”与“行”的双重身份，是处理问题的一种工具，作用非常大，贯穿于整个高中数学的学习中.
3. 本章节地位、本节的逻辑关系.
向量数乘运算及其几何意义位于人教版《必修4》2.2.3节，在本章节中起着承前起后的作用.学生在掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难.通过前面学习
二、教学重难点
重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理.
难点：向量共线定理的探究及其应用.
三、三维目标设计
1.知识与技能:
通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理.熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.
2.过程与方法:
理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线.
3.态度情感与价值观：
通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力.激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神.
四、教学过程
（一）引入
1.复习向量的加法、减法，（温故而知新），采用提问的形式.
问题1：向量加法的运算法则？
问题2：向量减法的几何意义？
学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受.
向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）.
向量的减法：， 则 .（共起点，连终点，方向指向被减数）.
2.问题情境 ：一质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1s的位移对应的向量用表示，那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用 来表示.这是何种运算的结果？
启发学生发现：这些公式都是实数与向量间的关系
3.【探究1】
已知非零向量，作出和，你能说处他们的几何意义吗？
问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？
问题2：这些变化与哪些因素有关？
将学生分成两组，第一组：；第二组：.让学生在白纸上作出图像，并讨论两个问题.最后学生之间互相交流，总结结论.
生：与方向相同且；
生：与方向相反且
师：非常好！
教师通过多媒体，看长度和方向的图像变化形式.
（二）新课讲解
1.实数与向量的积的定义
请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数λ与向量的积？启发学生从以下角度思考：是向量？长度？方向？根据学生总结，让学生看大屏幕.
2.实数与向量的积的运算律
【探究2】
问题一：求作向量和(为非零向量)，并进行比较.
问题二：已知向量、，求作向量和，并进行比较.
类比实数
乘法的运算律向量数乘的运算律：
为了降低难度，教科书不要求对三个运算律作出证明，只要求学生会用.
小注：实数与向量可以求积，但不能进行加减运算.
例1：计算(口答)
(1)
(2)
(3)
设计意图：要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中，不能让学生将本题简单地看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点.
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
剖析：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.
对于任意向量、及任意实数、,恒有.
3、向量共线定理
思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？
生：数乘向量与原向量是共线的 .
【探究3】
问题1：如果 (), 那么，向量与是否共线？
问题2: 与非零向量共线， 那么， ？
（学生分成两组，各选一问进行研究，然后同学之间相互交流，最后提升结论.教师巡视，适时加以引导，了解学生进展情况）
生：对于向量()、，如果有一个实数，使得 , 那么，由数乘向量的定义知：向量与共线.
生：若向量与共线，，且向量的长度是的长度的倍，即有,当与同方向时，
有;当与反方向时，
有，所以始终有一个实数，使.
师：如果没有的限制，会有什么结果？
（学生惊讶，没有限制会怎么样呢？马上进入思考状态.）
生：问题1成立.与任意向量都是共线向量.
生：问题2不成立.
评析：1.让学生正确理解定理包含的两层意思.也就是将来我们在选修中学到的充要条件.
2.让学生自己先体验；若无此限制，会有什么结果？再感悟到只有用非零向量 ，才能表示与它共线的所有向量.
3.通过分组讨论后，集同学们的劳动成果、智慧于一体，彼此之间再进行交流，充分体现了“众人拾柴火焰高”.
例2.已知任意两非零向量、，试作, ，.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
设计意图：利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先让学生作图，通过观察图形得到A、B、C三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线，本题主要引导学生理清思路，具体过程可由学生完成.
解：作图如右（过程略）
依图观察，知A、B、C三点共线.
证明如下：
∵
又
∴ ，又与有公共点A，
∴ A、B、C三点共线.
评析：证明三点共线，可以直接运用定理，找出两向量间关系，再利用它们有一个公共点，得到三点共线.教学中利用多媒体作图，进行动态演示，揭示向量、变化过程中，A、B、C三点始终在同一条直线上的规律.
【变式练习】如图，已知、，试判断与是否共线?
解：∵ 、
又
∴ 与共线.
评析：证明向量共线，可以直接运用定理.
思考：在本题中，若B、C分别是AD、AE的三等分点，你能否利用向量关系来证明BC‖DE呢？
生：,即∥，又因为BC、DE不重合，所以BC∥DE.
（三）课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解向量共线定理，并能在解题中加以运用.
1.概念与定理
① 的定义及运算律.
② 向量共线定理：向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得 .
2.知识应用：
① 证明 向量共线；
② 证明 三点共线: 两向量共线且有一个公共点
若，即与共线且有一个公共点B，则A、B、C三点共线；
③ 证明 两直线平行:
∥
AB、CD 不重合