北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第12讲 探索与表达规律(提高)

探索规律（提高）知识讲解
【学习目标】
1. 通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；
2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；
3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.
【要点梳理】
要点一、规律探索型问题常见类型
1、数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.
要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.
2、图形规律
根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.
要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.
3、数表规律
解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.
要点二、规律探索型问题解题技巧
1、抓住条件中的变与不变
找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.
2、化繁为简，形转化为数
有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.
3、要进行计算尝试
找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.
4、寻找事物的循环节
有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.
【典型例题】
类型一、数式规律
1．在下列数列里，写出后面两个数：
（1）1，10，3，13，5，16，7，19， ， ，…
（2）2，5，6，10，18，20，54，40， ， ，…
（3）4，16，36，64， ，144，196， ，…，
（4）0，1，2，3，6，11，20， ， ，…
（5）， ，，，，，，， ， ，….
【答案】（1）9，22； （2）162，80； （3）100，256； （4）37，68；（5）．
【解析】
解：（1）这个数列中，奇数位上的数后一项总比前一项多2，偶数位上的数后一项总比前一项多3．
（2）这个数列中，奇数位上数后一项总是前一项的3倍，偶数位上的数后一项是前一项的2倍．
（3）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方．
（4）这个数列中某项的数等于它前面3项数之和．
（5）根据已知得出：符号的变化规律为 ，分子与分母的变化规律，分子依次差4的数，分母是依次差3的数，进而得出第n个数分子的规律是（4n-3），分母的规律是3n，进而得出这一组数的整体的变化规律．
【总结升华】（1）（2）（4）的第n项不容易用一个代数式表示出来，（3）的第n项为4n2，（5）的第n项为．
举一反三：
【变式】（2018?包头）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
解：观察该组数发现：1，，，，…，
第n个数为，
当n=6时，==．
2．（2019春?丰县校级期中）我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：
152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…
（1）根据上述格式反应出的规律填空：952=　 　；
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果；
（3）这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果．
【思路点拨】（1）观察给定等式，发现变化规律“等式左边为15右边为1×2，等式左边为25右边为2×3，等式左边为35右边为3×4”，依此规律即可求出952的值；
（2）结合（1）的发现，总结出规律“（a5）2=a×（a+1）×100+25=100a（a+1）+25”；
（3）将（2）的规律延伸，即可依照规律得出结论．
【答案与解析】
解：（1）观察：152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…，
发现：等式左边为15右边为1×2，等式左边为25右边为2×3，等式左边为35右边为3×4，∴952=9×10×100+25=9025．
故答案为：9×10×100+25=9025．
（2）根据（1）的规律得出结论：
（a5）2=a×（a+1）×100+25=100a（a+1）+25．
（3）结合（2）的规律可知：1952=19×20×100+25=38025．
【总结升华】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“（a5）2=a×（a+1）×100+25=100a（a+1）+25”．解决该题型题目时，根据给定等式子的变化，找出变化规律是关键．
举一反三：
【变式】观察下面组成的图案和算式，解答问题：1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；
（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19= ； （2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）= .
【答案】（1）100；（2）.
类型二、图表规律
3．用火柴棒按图中的方式搭图：
(1) 填写下表：
图形编号
①
②
③
④
⑤
⑥
火柴棒根数
?
?
?
?
?
?
(2) 第N个图形需要多少根火柴？
【思路点拨】在解此类问题时，方法很明确；就是把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找出规律来解答.
【答案与解析】
解：（1）显然，第一个图形中有3根火柴棒；第二个图形中有9根火柴棒；第三个图形中有18根火柴棒；第四个图形中有30根火柴棒；……，所以填写表格如下：
图形编号
①
②
③
④
⑤
⑥
火柴棒根数
3
9
18
30
45
63
（2）
解法一：3=1×3；
9=3×3=（1+2）×3；
18=6×3=（1+2+3）×3；
30=10×3=（1+2+3+4）×3；……
因此，第N个图形中的火柴棒的根数为：（1+2+3+…+N）×3根，即为.
解法二：3=3；
9=3+6；
18=3+6+9；
30=3+6+9+12；……
因此，第N个图形中的火柴棒的根数为：
3+6+9+…+3N＝3（1+2+3+…+N）＝.
【总结升华】在数图形的数量时，如能掌握：先单一、后2个复合、再3个复合……依次类推，数出相应所有的结论，这样做不易重复和遗漏.
举一反三：
【变式】从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段，此时图中共有3个三角形（如图2）；若再向它的对边引一条线段，此时图中共有6个三角形（如图3）；……依次类推，则第N个图中共有 个三角形？
【答案】
4．（2018?庐阳区二模）将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（m，n）表示第m排、从左到右第n个数，如（3，2）表示实数5．
（1）图中（7，3）位置上的数　 　；数据45对应的有序实数对是　 　．
（2）第2n行的最后一个数为　 　，并简要说明理由．
【思路点拨】根据如图所示的排列规律，可得每行数字的个数等于行数，而且奇数行的数字都是奇数，偶数行的数字都是偶数．
（1）首先判断出前3个奇数行的数字最大是17，所以第7排、从左到右第3个数是23，即图中（7，3）位置上的数是23；然后判断出前4个奇数行的数字最大是31，进而判断出数据45是第5个奇数行的第7个数，即第9行的第7个数，即它对应的有序实数对是（9，7），据此解答即可．
（2）因为第2n排的最后一个数是从2开始数的第（2+4+6+…+2n）个正偶数，所以第2n行的最后一个数为：2（2+4+6+…+2n）==2n（n+1），据此解答即可．
【答案】23、（9，7）、2n（n+1）．
【解析】
解：根据分析，可得
（1）图中（7，3）位置上的数是23；数据45对应的有序实数对是（9，7）．
（2）第2n行的最后一个数为2n（n+1），
理由：因为第2n排的最后一个数是从2开始数的第（2+4+6+…+2n）个正偶数，所以此数为2（2+4+6+…+2n）==2n（n+1）．
故答案为：23、（9，7）、2n（n+1）．
【总结升华】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：每行数字的个数等于行数，而且奇数行的数字都是奇数，偶数行的数字都是偶数．
举一反三：
【变式】（本溪）根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字．

【答案】738．
提示：．
5．观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……
从第1个球起到第2004个球止，共有实心球 个.
【答案】602；
【解析】
解： 这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○.每个循环节里有3个实心球.我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数.
∵2004÷10＝200……4，
∴2004个球里有200个循环节，还余4个球.
200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球.
所以，一共有602个实心球.
【总结升华】解决此题的关键是找到规律：每10个球一组；第1，4，5为实心球，第2，3，6，7，8，9，10个为空心球．
举一反三：
【变式1】白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？
【答案】
解：白︳黑白︳黑黑白︳黑黑黑白︳黑黑黑黑白︳黑黑黑黑黑白︳……
设1+2+…+n＞2002；即n（n+1）/2＞2002；解得n＞63；
当n=62时，1+2+..+62=1953；所以一共有62个白色的珠子；
即黑色的珠子为2002-62=1940个
【变式2】如图，一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子遮住的部分有 颗．
【答案】27
【巩固练习】
一、选择题
1．为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）.
A． B． C． D．
2.请你观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a、b、
c的值分别为（ ）.
1
2
3
4
5
…
2
4
6
8
10
…
3
6
9
12
15
…
4
8
12
16
20
…
5
10
15
20
25
…
…
…
…
…
A．20、29、30 B．18、30、26 C．18、20、26 D．18、30、28
3.（2018?淄博）从1开始得到如下的一列数：1，2，4，8，16，22，24，28，…
其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（　　）
A．21 B．22 C．23 D．99
4.伸出你的左手，从大拇指开始如图示那样数数：1，2，3，4……数到2018时，你数到的手指是（　　）.

A.小指 B.无名指 C.中指 D.食指
5.（2019?河南校级模拟）下列数据具有一定的排列规律：
若整数2019位于第a行，从左数第b个数，则a+b的值是（　　）
A．63 B．126 C．2018 D．1002
6.已知整数，…满足下列条件：，，， ，…，依此类推，则的值为（　　）.
A.－1005 B.－1006 C.－1007 D.－2018
二、填空题
7.（2018?酒泉）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是　　，2019是第　　个三角形数．
8．有数组：（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），…，则第100组的三个数之和 .
9. 一个用数字1和0组成的2003位数码，其排列规律是：101101110101101110……则这个数码中数字“0”共有 个．
10.观察下列等式：
2＝2＝1×2
2＋4＝6＝2×3
2＋4＋6＝12＝3×4
2＋4＋6＋8＝20＝4×5
……
（1）可以猜想，从2开始到第n（n为自然数）个连续偶数的和是__________；
（2）当n＝10时，从2开始到第10个连续偶数的和是_______________.
11. 13+23=9=（1+2）2； 13+23+33=36=（1+2+3）2； 13+23+33+43=（1+2+3+4）2，…，
则13+23+33+43+…+993+1003= .
12. 在数学竞赛的颁奖会上，10位获奖者每位都相互握手祝贺，则他们共握了 次手.如果有n位获奖者，则他们共握了 次手.
13.（2019?泉州）找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为　 ．
三、解答题
14．（2018?广东模拟）观察下列等式：
第一个等式：a1 = = ﹣；
第二个等式：a2 = = ﹣；
第三个等式：a3 = = ﹣；
第四个等式：a4 = = ﹣．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an=　 　=　 ﹣ 　；
（2）式子a1+a2+a3+…+a20= ﹣ 　．
15. 观察下面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：

⑴ 写出第五个等式，并在左边画出与之对应的图示；
?
?
⑵ 猜想并写出与第n个图形相对应的等式．?
16. 用棋子摆出下列一组图形：
（1）填写下表：
图形编号
①
②
③
④
⑤
⑥
图形中的棋子
（2）照这样的方式摆下去，写出摆第个图形棋子的枚数；
（3）如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】A；
2．【答案】D；
【解析】观察表一，寻找规律:每个数可以看成它所在的行数与列数的乘积，由表一得：12＝4×3,15＝5×3，a＝6×3=18；由表二得：20＝4×5,24＝4×6,25＝5×5，b＝5×6＝30；由表三得：18＝6×3,32＝8×4，c＝7×4＝28.
3. 【答案】A．
【解析】由题意知：1，2，4，8，16，22，24，28，…由此可知，每4个数一组，
后面依次为36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，故小于100的个数为：21个.
4．【答案】A；
【解析】从大拇指到小指再到食指的过程堪称一个循环，一个循环就是8，
∵2018÷8=251…5，余数是5，所以是从大拇指开始第五个，就是小指.
5. 【答案】B；
【解析】解：设第n行中最大的数为an（n为正整数），
观察，发现规律：a1=1，a2=1+2=3，a3=1+2+3=6，…，
∴an=1+2+…+n=．
令an≤2019，即≤2019，
解得：﹣64≤n≤63．
∴1≤n≤63，
即整数2019为63行的最后一个数．
∴a+b=63+63=126．
6. 【答案】B；
【解析】解：a1=0，a2=－|a1＋1|=－|0+1|=－1，a3=－|a2＋2|=－|－1＋2|=－1，a4=－|a3＋3|=－|－1＋3|=－2，a5=－|a4＋4|=－|－2＋4|=－2，…，所以，n是奇数时，an=，n是偶数时，an=，a2018＝．
二、填空题
7.【答案】45，63．
【解析】第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+…+n=2019，
n（n+1）=4032，解得：n=63．故答案为：45，63．
8．【答案】1010100；
【解析】观察可得：第一个数表示序列号，第二数是序列号的平方，第三个数是序列号的立方，所以第100组数是（100，1002，1003）.
9．【答案】668；
【解析】，“0” 的个数：.
10.【答案】（1）n（n＋1）； （2）110 .
11.【答案】50502；
【解析】从给出的三个条件式子中不难发现各式的特点：从1开始的几个连续自然数的立方和，等于这几个数的和的平方.不难找到第N个式子为：
13+23+33+……+N3=（1+2+3+……+N）2．
因此，13+23+33+43+……+993+1003＝（1+2+3+4+……+99+100）2＝50502．
12．【答案】45，；
【解析】.
13.【答案】226.
【解析】解：根据题意得出规律：14+a=15×16，
解得：a=226；
故答案为：226．
三、解答题
14.【解析】
解：（1）an= = ﹣；
（2）a1+a2+a3+…+a20=﹣+﹣+﹣+…+﹣= ﹣．
故答案为，﹣；﹣．
15．【解析】
解：（1），图示如下：
（2）与第n个图形相对应的等式：.
16. 【解析】
解：（1）
图形编号
①
②
③
④
⑤
⑥
图形中的棋子
6
9
12
15
18
21
（2） 3（n+1）
（3） 3（n+1）=99， n=32，是第32个图形.