北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第13讲《整式及其加减》全章复习与巩固(提高)

《整式及其加减》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.
2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的联系.
3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律.
4．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；
5．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；
6．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、代数式
诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
要点诠释：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
要点二、整式的相关概念
1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
要点三、整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．
要点四、探索与表达规律
寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.
【典型例题】
类型一、代数式
1．某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元.该商场为促销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款.八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本 x（x≥10）本.
(1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.
(2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱.
【思路点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的，把两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小．
【答案与解析】
解:设买练习本x,则得两种购买方法的代数式为:
(1) 代数式分别为:
25×10+5(x-10),
(25×10+5x) ×90%
（2）把x=30分别代入两个代数式: 25×10+5(x-10) ＝25×10+5(30-10) ＝350（元）
(25×10+5x) ×90%＝(25×10+5×30) ×90% =360 （元）
所以选择第一种优惠方式．
【总结升华】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型．
类型二、整式的相关概念
2．（2019春?新泰市期中）下列说法正确的是（　　）
A．1﹣xy是单项式 B．ab没有系数
C．﹣5是一次一项式 D．﹣a2b+ab﹣abc2是四次三项式
【思路点拨】根据多项式是几个单项式的和，数字因数是单项式的系数，字母指数和是单项式的次数，多项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项，可得答案．
【答案】D．
【解析】解：A、1﹣xy是多项式，故A错误；
B、ab的系数是1，故B错误；
C、﹣5是单项式，故C错误；
D、﹣a2b+ab﹣abc2是四次三项式，故D正确；
故选：D．
【总结升华】本题考查了多项式，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项．
举一反三：
【变式1】（2018?佛山）多项式2a2b﹣ab2﹣ab的项数及次数分别是（　　）
A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，2
【答案】A
2a2b﹣ab2﹣ab是三次三项式，故次数是3，项数是3．
【变式2】若多项式是关于的二次三项式，则， ，这个二次三项式为 .
【答案】
类型三、整式的加减运算
3．若是同类项，求出m, n的值，并把这两个单项式相加.
【答案与解析】
解：因为是同类项，
所以 解得
当且时，
.
【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母的指数也要相同.其中，常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并.
举一反三：
【变式】合并同类项．
(1)；
(2)．
【答案】
(1)原式＝
(2)原式
．
4. （2018春?无锡校级期中）已知x=2018，求代数式（2x+3）（3x+2）﹣6x（x+3）+5x+16的值”时，马小虎把“2018”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的，这是为什么？请你说明原因．
【答案与解析】
解：原式=6x2+4x+9x+6﹣6x2﹣18x+16=22，
结果不含x，故原式化简后与x的取值无关，
则马小虎把“2018”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的
【总结升华】原式利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，根据结果不含x，即可得证．此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】已知A＝x2＋2y2－z2，B＝－4x2＋3y2＋2z2，且A＋B＋C＝0，则多项式C为( )．　　A．5x2－y2－z2　　　　B．3x2－5y2－z2　　C．3x2－y2－3z2 　　　D．3x2－5y2＋z2【答案】B
【变式2】先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a的值代入求值．
【答案】
．
当时，原式＝0-0-4＝-4．
【变式3】(1) (x＋y)2－10x－10y＋25＝(x＋y)2－10(______)＋25;　　　　(2) (a－b＋c－d)(a＋b－c－d)＝[(a－d)＋(______)][(a－d)－(______)]．
【答案】（1）x＋y；　　　　（2）－b＋c，－b＋c
类型四、化简求值
5. （1）直接化简代入
　当时，求代数式15a2－{－4a2＋[5a－8a2－(2a2－a)＋9a2]－3a｝的值．　（2）条件求值　　已知(2a＋b＋3)2＋｜b－1｜＝0，求3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1的值．　（3）整体代入　　(鄂州)已知，求的值．　【思路点拨】对于化简求值问题，要先看清属于哪个类型，然后再选择恰当的方法进行 求解.
【答案与解析】
解：（1）原式=15a2－[－4a2＋(5a－8a2－2a2+a＋9a2)－3a]　　　　　　=15a2－[－4a2＋(6a－a2)－3a]　　　　　　=15a2－(－4a2＋6a－a2－3a)　　　　　　=15a2－(－5a2＋3a)　　　　　　=15a2+5a2—3a=20a2—3a　　　　当时，原式===　　（2）由(2a＋b＋3)2＋｜b－1｜＝0可知：2a＋b＋3=0，b－1=0，解得a= -2，b=1.　　　　3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1　　　　=3a－3(2b－8＋3a－2b－1－a)＋1　　　　=3a－3(2a－9)＋1　　　　=3a－6a+27＋1　　　　=28—3a　　　　由a= -2　　　　则 原式=28—3a=28+6=34（3）∵ ，∴ ．
∵
．
所以的值为2010．
【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系．
举一反三：
【变式】已知，求代数式的值．
【答案】
设，则，原式．
又因为＝6，所以原式．
类型五、探索与表达规律
6. 如图，在2005年3月的日历上：
(1)任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为x，则其余两个数分别为 ；
(2)用一个矩形框出四个数 ，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系: ；
(3)用一个十字框任意框出5个数，设中间一个数为a，则框出的5个数的和为 ．
【思路点拨】日历上一竖列相邻的两个数相隔7，一横行相邻的两个数相差1，据此很容易求出本题答案．
【答案】（1）x－7，x＋7；（2） a＝b－1＝c－7＝d－8； （3）5a．
【解析】（1）（3）较简单；
（2）b比a大1，所以b＝a＋1；c比a大7，所以c＝a＋7；d比c大1，所以d＝c＋1．
由b＝a＋1得a＝b－1 ①，由c＝a＋7得a＝c－7 ②，由d＝c＋1得c＝d－1 ③，将③代入②得a＝c－7＝（d－1）－7＝d－8 ④．
由①②④得：a＝b－1＝c－7＝d－8．
【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
举一反三：
【变式】如图，是由边长为1的正方形按照某种规律排列而成的：
(1)观察图形，填写下表：
(2)推测第n个图形中，正方形的个数为_______，周长为________． (用含n的代数式表示)
【答案】（1）
（2）5n+3， 10n+8．
类型六、综合应用
7. 对于任意有理数x，比较多项式与的值的大小．
【答案与解析】
解：
∵
∴无论x为何值，＞．
【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．
举一反三：
【变式】如果关于x，y的多项式与 的差不含二次项，求的值．
【答案】
解：原式＝
＝
由题意知，则，
∴．
∴．
【巩固练习】
一、选择题
1．A、B、C、D均为单项式，则A+B+C+D为( )．
A．单项式 B．多项式
C．单项式或多项式 D．以上都不对
2．下列计算正确的个数 （ ）
① ；② ； ③ ；
④ ； ⑤
A．2 B．1 C．4 D．0
3．现规定一种运算：a * b ＝ ab + a - b，其中a，b为有理数，则3 * 5的值为( )．
A．11 B．12 C．13 D．14
4．化简(n为正整数)的结果为( )．
A．0 B．-2a C．2a D．2a或-2a
5．已知a-b＝-3，c+d＝2，则(b+c)-(a-d)为( )．
A．-1 B．-5 C．5 D．1
6. 有理数a，b，c在数轴上的位置如右图所示，则 （ ）
A．－2b B．0
C．2c D．2c－2b
7．（2018?临沂）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…
按照上述规律，第2018个单项式是（　　）
　 A．2018x2018 B． 4029x2018 C． 4029x2018 D． 4031x2018
8．如果是关于的二次三项式，那么m，n应满足的条件是( )．
A．m＝1，n＝5 B．m≠1，n＞3
C．m≠-1，n为大于3的整数 D．m≠-1，n＝5
二、填空题
9．（2018?大丰市一模）若﹣2amb4与5a2bn+7是同类项，则m+n=　 　．
10． （1）（___________）；
（2）2a－3（b－c）＝___________．
（3）(________)＝7x+8．
11．当b＝________时，式子2a+ab-5的值与a无关．
12．若，则________．
13.某服装店打折出售服装，第一天卖出a件，第二天比第一天多12件，第三天是第一天的2倍，则该服装店这三天共卖出服装________件.
14.当k=__________时，多项式x2－3kxy－3y2－xy－8中不含xy项.
15．（2019?河北）若mn=m+3，则2mn+3m﹣5mn+10=　 　．
16．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．
三、解答题
17.（2019春?高密市校级月考）先化简，再求值．
（a2+1）﹣3a（a﹣1）+2（a2+a﹣1），其中a=﹣1．
18．已知：为有理数，，求的值．
19. 如图所示，用三种大小不同的六个正方形
和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD,
其中，GH=2cm, GK=2cm, 设BF=x cm,
（1）用含x的代数式表示CM= cm,
DM= cm.
（2）若x=2cm，求长方形ABCD的面积.
20. 测得一弹簧的长度L(厘米)与悬挂物体的质量x(千克)有下面一组对应值：
试根据表中各对对应值解答下列问题：(1)用代数式表示挂质量为x千克的物体时的弹簧的长度L．
(2)求所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是多少？
(3)若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为多少千克？
(4)若要求弹簧的长度不超过20厘米，则所挂物体的质量不能超过多少千克？
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】若A、B、C、D均为同类项，则A、B、C、D的和为单项式，否则为多项式，故选C．
2．【答案】D
3. 【答案】C
【解析】按规定的运算得：3*5＝3×5+3-5＝13．
4. 【答案】A
【解析】分析两种情况，当n为偶数时，，，当n为奇数时，，，无论哪种情况，结果都是0．
5．【答案】C
【解析】(b+c)-(a-d)＝b+c-a+d＝-a+b+c+d＝-(a-b)+(c+d)
当a-b＝-3，c+d＝2时，原式＝-(-3)+2＝5，所以选C．
6．【答案】B
7. 【答案】C．
8．【答案】D
【解析】由题意得：n-3＝2且m+1≠0，得n＝5且m≠-1．
二、填空题
9.【答案】﹣1．
【解析】由﹣2amb4与5a2bn+7是同类项，得，解得．m+n=﹣1.
10.【答案】
11.【答案】-2
【解析】2a+ab-5＝(2+b)a-5．因为式子的值与a无关，故2+b＝0，所以b＝-2．
12.【答案】-24
【解析】因为与互为相反数，又因为，
所以，由此可得．
13.【答案】4a+12；
【解析】．
14.【答案】－；
【解析】，解得．
15．【答案】1；
【解析】解：原式=﹣3mn+3m+10，
把mn=m+3代入得：原式=﹣3m﹣9+3m+10=1，
故答案为：1.
16.【答案】127, .
【解析】∵第1个图形需要7=1+6×1枚棋子，
第2个比第1个多12个，即1+6×（1+2）枚，第3个比第2个多18个，即1+6×（1+2+3）枚，第4个比第三个多24个，即1+6×（1+2+3+4）=61枚．……, ∴第n个比第(n-1)个多6n个，即1+6×（1+2+3+4+…+n）=3n2+3n+1枚．
三、解答题
17.【解析】
解：原式= a2+1﹣3a2+3a+2a2+2a﹣2=5a﹣1，
当a=﹣1时，
原式=﹣5﹣1=﹣6．
18.【解析】
解：
19.【解析】
解：（1） （或）.
（2）长方形的长为：cm, 宽为：cm. 所以长方形的面积为：.
20.【解析】
解：(1).
(2)将，代入，得（㎝）
∴所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是17㎝.
(3)将，代入，得，解得
∴若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为12千克.
(4)∵弹簧的长度不超过20厘米，即L≤20，
∴≤20，得≤16
∴若要求弹簧的长度不超过20厘米，则所挂物体的质量不能超过16千克.