北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第18讲 方程的意义(提高)

方程的意义（提高）知识讲解
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；
3. 理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
要点三、等式的性质　1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.　2．等式的性质：　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：　　如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果，那么；如果，那么.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【典型例题】
类型一、方程的概念
1．（2018秋?盘锦校级月考）下列各式不是方程的是（　　）
A.3 B.m+2n=0 C. x=-3 D.4y＞3
【思路点拨】根据方程的定义进行判断.
【答案】D
【解析】
解：A、含有未知数且是等式，故本选项是方程；
B、含有未知数且是等式，故本选项是方程；
C、含有未知数且是等式，故本选项是方程；
D、含有未知数但不是等式，故本选项错误．
故答案为D.
【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，方程一定是等式，但等式不一定是方程．
2．下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( )．
A．2x-1＝3 (2，-1) B． (3，-3)
C. (x-1)(x-2)＝0 (1,2) D．2(y-2)-1＝5 (5，4)
【答案】C.
【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边＝右边的是方程的解，若左边≠右边的，则不是方程的解．
【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解．
举一反三：
【变式】若是关于的方程的解，则的值为__________.【答案】-1．
类型二、一元一次方程的相关概念
3．已知下列方程：①；②x＝0；③；④x+y＝0；⑤；⑥0.2x＝4．其中一元一次方程的个数是( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】方程①中未知数x的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程③中的分母含有未知数x，所以它也不是；方程④中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程.方程②⑤⑥满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程．
【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是1；③含未知数的代数式必须是整式（即整式方程）．
举一反三：
【变式】(1)已知关于x的一元一次方程，求得m＝________．
(2)已知方程(m-4)x+2＝2009是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是________．
(3)若是关于x的一元一次方程，则m的值为( )
A．±2 B．-2 C．2 D．4
【答案】(1) (2)m≠4 (3)B
类型三、等式的性质
4．（2019春?建湖县校级月考）下列各式中，变形正确的是（　　）
A．若a=b，则a+c=b+c B．若2x=a，则x=a﹣2
C．若6a=2b，则a=3b D．若a=b+2，则3a=3b+2
【思路点拨】根据等式的性质对各选项进行进行逐一判断即可．
【答案】A.
【解析】解：A、正确，符合等式的基本性质（1）；
B、错误，若2x=a，则x=；
C、错误，若6a=2b，则a=b；
D、错误，若a=b+2，则3a=3b+6．
故选A．
【总结升华】本题主要考查了等式的基本性质．
（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
（2）等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
举一反三：
【变式】（2018?河北模拟）已知x=y≠﹣，且xy≠0，下列各式：①x﹣3=y﹣3； ②=；③=；④2x+2y=0，其中一定正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
解：①③正正确；
类型四、等式或方程的应用
5．观察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式．
……
(2)通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．
【答案与解析】
解：通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第n个图形每条线上应该是n个点；再观察对应的等式：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数，等式的左边是从1个点开始的，第2个图形增加4个点表示为4×1+1，第3个图形又增加4个点，表示为4×2+1，…，第n个图形共增加(n-1)个4个点，表示为4(n-1)+1;等式的右边，把第一个图形看作4点重合为一个点，表示为4×1-3，第2个图形增加4个点，表示为4×2-3，第3个图形又增加4个点，表示为4×3-3，…，第n个图形看作n个4个点少3个点，表示为4n-3，所以有4(n-1)+1＝4n-3．
(1) ④4×3+1＝4×4-3 ⑤4×4+1＝4×5-3 (2)4(n-1)+1＝4n-3
【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系．
举一反三：
【变式】某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )
A. B.
C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289
【答案】A.
方程的意义（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．下列各式是方程的是( )
A． B．2m-3＞1 C．25+7＝18+14 D．
2. 若x＝1是方程2x-a＝0的解，则a为( )．
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．（2019春?卧龙区期中）已知（3﹣2a）x+2=0是关于x的一元一次方程，则|a﹣|一定（　　）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定
4．（2018?秦淮区一模）如果用“a=b”表示一个等式，c表示一个整式，d表示一个数，那么等式的第一条性质就可以表示为“a±c=b±c”，以下借助符号正确的表示出等式的第二条性质的是（　　）
A. a?c=b?d，a÷c=b÷d B. a?d=b÷d，a÷d=b?d
C. a?d=b?d，a÷d=b÷d D. a?d=b?d，a÷d=b÷d （d≠0）
5．有一养殖专业户，饲养的鸡的只数与猪的头数之和是70，而鸡与猪的腿数之和是196，问该专业户饲养多少只鸡和多少头猪？设鸡的只数为x，则列出的方程应是( )．
A．2x+(70-x)＝196
B．2x+4(70-x)＝196
C．4x+2(70-x)＝196
D．2x+4(70-x)＝
6.已知关于的方程与的解相同，则的值是 （ ）
A．9 B．-9 C．7 D．-8
7. 一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A．x·40%×=240 B．x（1+40%）×=240
C．240×40%×=x D．x·40%=240×
8. 将的分母化为整数，得( )．
A． B．
C． D．
二、填空题
9.（2019春?浦东新区期中）若关于（k﹣2）x|k﹣1|+5=0是一元一次方程，那么k=　 　．
10．(2018春.山西期中)已知方程2xm-3+3=5是一元一次方程，则m=________.
11.若，则 .
12.将方程的两边同乘以 ______得到3(x+2) =2(2x－3)这种变形的根据是_____ _.
13.一个个位数是4的三位数，如果把4换到左边，所得数比原数的3倍还多98，若这个三位数去掉尾数4，剩下的两位数是，求原数，则可列方程为____________________.
14. 观察等式：9-1＝8， 16-4＝12，25-9＝16，36-16＝20，……
这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为________．
三、解答题
15.（1）若关于的方程是一元一次方程，求的值.
（2）若关于的方程是一元一次方程，求的值.
16. （2018秋?忠县校级月考）下列方程的变形是否正确？为什么？
（1）由3+x=5，得x=5+3．
（2）由7x=﹣4，得x=．
（3）由，得y=2．
（4）由3=x﹣2，得x=﹣2﹣3．
17.某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45元/吨收费，超过10吨而不超过20吨部分按0.80元/吨收费，超过20吨部分按1.5元/吨收费，现已知老李家六月份缴水费14元，问老李家六月份用水多少吨？
请你为解决此题建立方程模型．
18.观察下面的图形(如图所示)(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律：
(1)写出第五个等式，并在下图给出的五个正方形上画出与之对应的图示；
(2)猜想并写出与第n个图形相对应的等式．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D.
【解析】判断一个式子是不是方程，首先看它是不是等式，若是等式，再看它是否含有未知数，两条都满足了就是方程．A、B不是等式；C中没有未知数．
2.【答案】C.
【解析】把x＝1代入方程得2×1-a＝0，解得a＝2．
3.【答案】A.
【解析】解：由题意得，3﹣2a≠0，
解得，a≠，
则|a﹣|＞0，
故选：A．
4.【答案】D .
5.【答案】B
【解析】本题的相等关系为：鸡的腿数+猪的腿数＝196．
6.【答案】A
【解析】由得，将其代入可得：．
7.【答案】B
【解析】标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；实际售价＝标价×打折率．8.【答案】D
【解析】将分母变为整数用的是分数的基本性质而非等式的性质．
二、填空题
9. 【答案】0
【解析】解：由关于（k﹣2）x|k﹣1|+5=0是一元一次方程，得
|k﹣1|=1且k﹣2≠0．
解得k=0．
故答案为：0．
10.【答案】4 .
11.【答案】
【解析】考查平方和绝对值的非负性，由题意得：，，即可求出．
12.【答案】12, 等式的性质2；
13.【答案】
【解析】 原数应表示为：，再根据题意即可得出答案 ．
14.【答案】 (n+2)2-n2＝4(n+1)
【解析】通过观察可以看出：题中各等式左边的数字都是完全平方数，右边的数字都是4的倍数．即：32-12＝4×2，42-22＝4×3，52-32＝4×4，62-42＝4×5，…．设n(n≥1)表示自然数，把第一个等式中的l换成n，3换成(n+2)，2换成(n+1)，得(n+2)2-n2＝4(n+1)，就是第n个等式．
三、解答题
15.【解析】（1）∵ 是一元一次方程
∴ ，且，可得：
∴ 的值为．
（2）∵ 是一元一次方程
∴ 可得：
∴ 的值为．
16.【解析】
解：（1）由3+x=5，得x=5+3，变形不正确，
∵方程左边减3，方程的右边加3，
∴变形不正确；
（2）由7x=﹣4，得x=，变形不正确，
∵左边除以7，右边乘，
∴变形不正确；
（3）由，得y=2，变形不正确，
∵左边乘2，右边加2，
∴变形不正确；
（4）由3=x﹣2，得x=﹣2﹣3，变形不正确，
∵左边加x减3，右边减x减3，
∴变形不正确．
17.【解析】∵ 0.45×10+0.80×(20-10)＝12.5，12.5＜14，∴ 老李家六月份用水超过了20吨．
设老李家六月份用水x吨，根据题意得
0.45×10+0.80×(20-10)+1.5(x-20)＝14．
18.【解析】 (1) 通过观察可以看出：第n个等式，首起数字是n，第2个数的分子是n，分母比分子大1，等式的右边与左边不同的是，左边两数之间是乘号，右边两数之间是减号，同时，有几个小正方形，就把每个小正方形平分为几加1份，其中空白1份．
如图所示：
．
(2)