北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第19讲 一元一次方程 的解法(提高)

一元一次方程的解法（提高）知识讲解
【学习目标】
熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.
【要点梳理】
要点一、解一元一次方程的一般步骤
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
(1)移项要变号
(2)不要丢项
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
字母及其指数不变
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解．
不要把分子、分母写颠倒
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：
(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
【典型例题】
类型一、解较简单的一元一次方程
1．（2018秋?新洲区期末）关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（　　）
A.10 B.-8 C.-10 D.8
【答案】B．
【解析】
解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2
由题意知=m﹣2
解之得：m=﹣8．
【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．
举一反三：
【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正?
3x+2＝7x+5
解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．，
系数化为1得．
【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2．
正确解法：
解：移项得3x-7x＝5-2， 合并得-4x＝3，系数化为1得．
类型二、去括号解一元一次方程
2. 解方程：．
【答案与解析】
解法1：先去小括号得：．
再去中括号得：．
移项，合并得：．
系数化为1，得：．
解法2：两边均乘以2，去中括号得：．
去小括号，并移项合并得：，解得：．
解法3：原方程可化为： ．
去中括号，得．
移项、合并，得．
解得．
【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．
3．解方程：．
【答案与解析】
解法1：(层层去括号)
去小括号．
去中括号．
去大括号．
移项、合并同类项，得，系数化为1，得x＝30．
解法2：(层层去分母)
移项，得．
两边都乘2，得．
移项，得．
两边都乘2，得．
移项，得，两边都乘2，得．
移项，得，系数化为1，得x＝30．
【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．
举一反三：
【变式】解方程．
【答案】
解：方程两边同乘2，得．
移项、合并同类项，得．
两边同乘以3，得．
移项、合并同类项，得．
两边同乘以4，得．
移项，得，系数化为1，得x＝5．
类型三、解含分母的一元一次方程
4．（2019春?淅川县期中）解方程﹣=．
【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【答案与解析】
解：原方程可化为6x﹣=，
两边同乘以6，得36x﹣21x=5x﹣7，
移项合并，得10x=-7
解得：x=﹣0.7．
【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
举一反三：
【变式】解方程．
【答案】
解：原方程可化为．
去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．
去括号，得12y+27-15-10y＝15．
移项、合并同类项，得2y＝3．
系数化为1，得．
类型四、解含绝对值的方程
5．解方程：3|2x|-2＝0 ．
【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x的值．
【答案与解析】
解：原方程可化为： ．
当x≥0时，得，解得：，
当x＜0时，得，解得：，
所以原方程的解是x＝或x＝．
【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据（）的正负分类讨论，注意不要漏解．
举一反三：
【变式】（2018秋?故城县期末）已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|=0，则m的值为（　　）
A. B. 2 C. D.3
【答案】B
解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x代入方程mx+2=2（m﹣x）得：m+2=2（m﹣），
解之得：m=2.
类型五、解含字母系数的方程
6. 解关于的方程：
【答案与解析】
解：原方程可化为：
当，即时，方程有唯一解为：；
当，即时，方程无解．
【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零进行分类讨论．
举一反三：
【变式】若关于x的方程(k-4)x=6有正整数解，求自然数k的值.
【答案】
解：∵原方程有解，∴
原方程的解为：为正整数，∴应为6的正约数，即可为：1，2，3，6
∴为：5，6，7，10
答：自然数k的值为：5，6，7，10.
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018秋?榆阳区校级期末）关于x的方程3x+5=0与3x+3k=1的解相同，则k=（　　）
A.-2 B. C.2 D.
2．下列说法正确的是( ) ．
A．由7x＝4x-3移项得7x-4x＝-3
B．由去分母得2(2x-1)＝1+3(x-3)
C．由2(2x-1)-3(x-3)＝1去括号得4x-2-3x-9＝4
D．由2(x-1)＝x+7移项合并同类项得x＝5
3．将方程去分母得到方程6x-3-2x-2＝6，其错误的原因是( ) ．
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分的多项式未添括号，造成符号错误
D．去分母时，分子未乘相应的数
4．解方程，较简便的是( )．
A．先去分母 B．先去括号 C．先两边都除以 D．先两边都乘以
5．小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：■，怎么办呢?小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是，于是小明很快补上了这个常数，并迅速完成了作业．同学们，你们能补出这个常数吗?它应是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
6.（2019春?龙海市期中）已知a≠1，则关于x的方程（a﹣1）x=1﹣a的解是（　　）
A．x=0 B．x=1 C．x=﹣1 D．无解
7. “△”表示一种运算符号，其意义是，若，则等于（ ）．
A．1　　B．　　　C．　　 D．2　　
8.关于的方程无解，则是（ ）．
A．正数　　B．非正数　　　C．负数　　D．非负数　　
二、填空题
9.已知方程，那么方程的解是 . 　
10. 当x= _____ 时，x－的值等于2．
11．已知关于x的方程的解是4，则________．
12．若关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则整数a的值是 ．
13．（2018秋?高新区校级期末）如果5x+3与﹣2x+9是互为相反数，则x﹣2的值是　　．
14．a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算：，那么当时，则x＝______．
三、解答题
15．（2019春?宜宾校级月考）解方程：
（1）5x+3（2﹣x）=8
（2）=1﹣
（3）+=
（4）[x﹣（x﹣1）]=（x﹣1）
16. 解关于的方程：
；（2） （3）
17.（2018?裕华区模拟）定义一种新运算“⊕”：a⊕b=a﹣2b，比如：2⊕（﹣3）=2﹣2×（﹣3）=2+6=8．
（1）求（﹣3）⊕2的值；
（2）若（x﹣3）⊕（x+1）=1，求x的值．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C．
【解析】解第一个方程得：x=﹣，
解第二个方程得：x=
∴=﹣
解得：k=2.
2.【答案】A
【解析】由7x＝4x-3移项得7x-4x＝-3；B．去分母得2(2x-1)＝6+3(x-3)；C．把2(2x-1)-3(x-3)＝1去括号得4x-2-3x+9＝1；D．2(x-1)＝x+7，2x-2＝x+7，2x-x＝7+2，x＝9
3．【答案】C
【解析】把方程去分母，得3(2x-1)-2(x-1)＝6，6x-3-2x+2＝6与6x-3-2x-2＝6相比较，很显然是符号上的错误．
4．【答案】B
【解析】 因为与互为倒数，所以去括号它们的积为1.
5．【答案】B
【解析】设被污染的方程的常数为k，则方程为，把代入方程得，移项得，合并同类项得-k＝-2，系数化为1得k＝2，故选B．
6．【答案】C
【解析】解：∵a≠1，
∴在（a﹣1）x=1﹣a中，x=，
又∵a﹣1和1﹣a互为相反数，
∴x=﹣1．
故选C．
7．【答案】B
【解析】由题意可得：“△”表示2倍的第一个数减去第二个数，由此可得：，而，解得：
8．【答案】B
【解析】原方程可化为：，将“”看作整体，只有 时原方程才无解，由此可得均为零或一正一负，所以的值应为非正数．
二、填空
9．【答案】
10．【答案】
11．【答案】24
【解析】把x＝4代入方程，得，解得a＝6，从而(-a)2-2a＝24．
12．【答案】2或3
【解析】由题意，求出方程的解为：,,，因为解为正整数，所以，即或．
13.【答案】-6.
【解析】由题意得：5x+3+（﹣2x+9）=0，
解得：x=﹣4，
∴x﹣2=﹣6．
14．【答案】3
【解析】由题意，得2×5-4(1-x)＝18，解得x＝3．
三、解答题
15. 【解析】
解：（1）去括号得：5x+6﹣3x=8，
移项合并得：2x=2，
解得：x=1；
（2）去分母得：3（2x﹣1）=12﹣4（x+2），
去括号得：6x﹣3=12﹣4x﹣8，
移项合并得：10x=7，
解得：x=0.7；
（3）方程整理得：+=，
去分母得：15x+27+5x﹣25=5+10x，
移项合并得：10x=3，
解得：x=0.3；
（4）去括号得：x﹣（x﹣1）=（x﹣1），
去分母得：6x﹣3（x﹣1）=8（x﹣1），
去括号得：6x﹣3x+3=8x﹣8，
移项合并得：5x=11，
解得：x=2.2．

16. 【解析】
解：(1)原方程可化为：
当时，方程有唯一解：；
当，时，方程无解；
当，时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解．
(2)
当，即时，方程有唯一的解：．
当，即时，原方程变为．原方程的解为任意有理数，即有无穷多解．
(3)
当时，原方程有唯一解：；
当时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解；
当时，原方程无解．
17.【解析】
解：（1）根据题中的新定义得：原式=﹣3﹣4=﹣7；
（2）已知等式变形得：x﹣3﹣2（x+1）=1，
去括号得：x﹣3﹣2x﹣2=1，
移项合并得：﹣x=6，
解得：x=﹣6．