北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第20讲 一元一次方程应用（一）—水箱变高了与打折销售(提高)

一元一次方程应用（一）--
水箱变高了与打折销售（提高）知识讲解
【学习目标】
1.能分析简单问题中的数量关系，并建立方程解决问题；体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系．
2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值.
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
要点二、水箱变高了（等积变形问题）
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.
常用的面积、体积公式：
长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽
长方体的体积公式：长×宽×高
正方形的周长公式：边长×4； 面积公式：边长×边长
正方体体积公式：边长×边长×边长
圆的周长公式：C=；面积公式：；
圆柱的体积公式：V柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V锥=×底面积×高
要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变.
要点三、打折销售（利润问题）
(1)
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑．
要点四、方案问题
选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．
【典型例题】
类型一、水箱变高了（等积变形问题）
1．（2018?厦门校级一模）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长100米，宽50米的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，是否存在一种划分这块土地的方法，使甲乙两种作物的总产量的比是3：4？请说明理由．
【思路点拨】可设种植作物甲的面积是x平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50﹣x）平方米，根据甲、乙两种作物的总产量的比为3：4，列出方程求解即可．
【答案与解析】
解：设种植作物甲的面积是x平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50﹣x）平方米，依题意有
x：[2（100×50﹣x）]=3：4，
解得x=3000，
100×50﹣x
=5000﹣3000
=2000．
故种植作物甲的面积是3000平方米，种植作物乙的面积是2000平方米，使甲、乙两种作物的总产量的比为3：4．
【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，得出两部分面积之比．
类型二、打折销售（利润问题）
2．（2019春?盐城校级月考）某商店在一笔交易中卖了两个进价不同的随身听，售价都为132元，按成本计算，其中一个盈利20%，另一个盈利10%，则该商店在这笔交易中共赚了　 　元．
【思路点拨】根据题意分别求出两个随身听的进价，进而求出答案．
【答案】34．
【解析】解：设一个的进价为x元，根据题意可得：
x（1+20%）=132，
解得：x=110，
设另一个的进价为y元，根据题意可得：
y（1+10%）=132，
解得：x=120，
故该商店在这笔交易中共赚了：132+132﹣120﹣110=34（元）．
故答案为：34．
【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确理清进价与利润之间的关系是解题关键．
举一反三：
【变式】某种商品的标价为900元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）
【答案】
解：设此商品的进货价为x元，依题意，得：
(900×0.9-100)-x=10%x，
得：x= ∴ x≈645.
答：此商品的进价约为645元.
3．商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的)，问商场将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当(每年365天，每度电按0.40元计算)．
【思路点拨】本题主要是根据两种电冰箱使用10年所耗电量的费用相同来列方程.
【答案与解析】
解：设商场A型冰箱打x折，依题意，买A型冰箱需2190×元，10年的电费是365×10×1×0.4元；买B型冰箱需2190×(1+10%)元，10年的电费是365×10×0.55×0.4元，依题意，得：
2190×+365×10×1×0.4＝2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4
x＝8
答：商场将A型冰箱打8折出售，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当．
【总结升华】本题考查一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据耗电量、售价、打折情况列出方程求解．
类型三、方案设计问题
4．某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案：
方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多，为什么?
【答案与解析】
解：（1）若选择方案1，依题意，
总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500（元）．
（2）若选择方案2．
方法一：
解：设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售.
依题意得，，
解得．
当时，．
总利润=2000×1.5+1200×7.5=12000（元）．
∵ 12000>10500，
∴ 选择方案2较好．
方法二：
解：设x天生产奶片，则（4-x）天生产酸奶.
x+3(4-x)=9
x=1.5
4-x=2.5
1.5×1×2000+2.5×3×1200=12000（元）
∵ 12000>10500，
∴ 选择方案2较好．
答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．
【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案2中的方法一，设将x吨鲜奶制成奶片，则列表如下：
每吨利润
吨数
工效
天数
酸奶
1200
3
奶片
2000
1
合计
9
4
通过列表可以使条件之间的关系一目了然，从而得到等量关系，当然此题也可以设天数来计算，同学们可根据理解自己选择．
举一反三：
【变式】（2018春?绿园区期末）某移动公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者缴费50元月租费，然后每通话1min再付话费0.4元；“快捷通”不缴月租费，每通话1min付话费0.6元（本题的通话均指市内通话）．若一个月通话xmin，两种方式的费用分别为y1元和y2元．
（1）用含x的式子分别表示y1和y2，则y1=　 　，y2=　 　；
（2）某人估计一个月通话300min，选择哪种业务合算？
（3）每个月通话多少分钟时，两种方式所付的费用一样多？
【答案】
解：（1）y1=50+0.4x；y2=0.6x；
故答案为：50+0.4x，0.6x；
（2）令x=300
则y1=50+0.4×300=170；y2=0.6×300=180
所以选择全球通合算．
（3）令y1=y2，则50+0.4x=0.6x，
解之，得x=250
所以通话250分钟两种费用相同．
【巩固练习】
一、选择题
1. 小明在一次登山活动中捡到一块矿石，回家后，他使用一把刻度尺，一只圆柱形的玻璃杯和足量的水，就测量出了这块矿石的体积．如果他量出玻璃杯的内直径是d，把矿石完全浸没在水中，测出杯中水面上升的高度为h，则小明的这块矿石体积是（　　）
　
A．
d2h
B．
d2h
C．
d2h
D．
d2h
2. 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为2：3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4：5，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最多可装满几个大纸杯（　　）
　
A．
64
B．
100
C．
144
D．
225
3. 如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD：AB=？（　　）
　
A．
5：3
B．
7：5
C．
23：14
D．
47：29
4．（2018?石家庄模拟）小王去早市为餐馆选购蔬菜，他指着标价为每斤3元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊主：“多买按八折，你要多少斤？”小王报了数量后摊主同意按八折卖给小王，并说：“之前一人只比你少买5斤就是按标价，还比你多花了3元呢！”小王购买豆角的数量是（　　）
A．25斤 B．20斤 C．30斤 D．15斤
5. 受季节影响，某种商品开始实行优惠措施，按原价降低10%后，又降低a元，现在每件售价b元，那么该商品每件的原售价为（　　）
　
A．
B．
C．
（1﹣10%）（a+b）
D．
（1﹣10%）（a﹣b）
6.（2019?朝阳区校级模拟）超市推出如下优惠方案:
（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；
（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；
（3）一次性购物超过300元一律8折．
李明两次购物分别付款80元，252元．如果李明一次性购买与上两次相同的物品应付款（　　）
A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元
二、填空题
7．爷爷病了，需要挂100毫升的药液，小明守候在旁边，观察到输液流量是每分钟3毫升，输液10分钟后，吊瓶的空出部分容积是50毫升（如图），利用这些数据，计算整个吊瓶的容积是　　毫升．
8．如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，则甲的容积为　 　．
9. 矩形ABCD被分成6个正方形，其中最小的正方形边长为1，则矩形ABCD的面积为　　．
10. （2018?黑龙江）某超市“五一放价”优惠顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物合并成一次性付款可节省　 　元．
11．某书城开展学生优惠购书活动,凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠,超过200元的,其中200元按九折算,超过200元的部分按八折算.某学生第一次去购书付款72元,第二次去购书享受八折优惠,他查看了所买书的定价,发现两次共节约了34元.则该学生第二次购书实际付款______________元.
12. 中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．某人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款 .
三、解答题
13. 甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按40％的利润定价，乙服装按50％的利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装的成本各是多少元？
14.（2019春?泾阳县期中）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的八折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的九折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．
（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用．
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
15. （2018秋?娄底期中）从2018年8月1日起，浙江省城乡居民生活用电执行新的电价政策，小聪家今年安装了新的电表，他了解到安装”一户一表”的居民用户，按用抄见电量（每家用户电表所表示的用电量）实行阶梯式累进加价，其中低于50千瓦时（含50千瓦时）部分电价不调整；51﹣200千瓦时部分每千瓦时电价上调0.03元；超过200千瓦时的部分每千瓦时电价再上调0.10元．已知调整前电价统一为每千瓦时0.53元．
（1）若小聪家10月份的用电量为130千瓦时，则10月份小聪家应付电费多少元？
（2）已知小聪家10月份的用电量为m千瓦时，请完成下列填空：
①若m≤50千瓦时，则10月份小聪家应付电费为　 　元；
②若50＜m≤200千瓦时，则10月份小聪家应付电费为　 　元；
③若m＞200千瓦时，则10月份小聪家应付电费为　 　元．
（3）若10月份小聪家应付电费为96.50元，则10月份小聪家的用电量是多少千瓦时？
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A
【解析】在此题中，应当能够充分认识到水上升的体积等于矿石的体积．根据圆柱的体积=底面积×高．可得这块矿石的体积为d2h．
2.【答案】B
【解析】根据等量关系“甲桶内果汁装满小纸杯的个数×2=乙桶内果汁装满大纸杯的个数×3”，“甲桶内果汁装满大纸杯的个数：乙桶内果汁装满大纸杯的个数=4：5”可解出此题．
设乙桶内的果汁最多可装满x个大杯，则甲桶内的果汁最多可装满个大杯．由题意得：2×120=3×，解得：x=100．
3.【答案】D
【解析】设灰色长方形的长上摆5x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，2（5x+3x）+4=148
x=9，5x=45，3x=27，AD=45+2=47，AB=27+2=29，．
4.【答案】C．
【解析】设小王购买豆角的数量是x斤，则3×80%x=3（x﹣5）﹣3，
整理，得2.4x=3x﹣18，解得 x=30．即小王购买豆角的数量是30斤．
5.【答案】A
【解析】设该商品每件的原售价为x元．根据题意得：（1﹣10%）x﹣a=b，解得：x=．
6.【答案】C
【解析】解：（1）第一次购物显然没有超过100，
即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．
（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280．
①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315．
即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．
综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款：
360×0.8=288元
395×0.8=316元
故选C.
二、填空题
7．【答案】120
【解析】此题的等量关系：吊瓶的容积﹣药液的容积=空出部分的容积，设整个吊瓶的容积是x毫升，则：x﹣100+30=50，解得：x=120
8．【答案】3200
【解析】解：设容器的高度是xcm，x﹣=8，x=40．40×80=3200立方厘米．
9.【答案】143
【解析】∵最小正方形的面积等于1，∴最小正方形的边长为1，设左下角的正方形的边长为x．∴BC=x+1+（x+2）=2x+3，AB=2x+（x+1）=3x+1，∵最大正方形可表示为2x﹣1，也可表示为x+3，∴2x﹣1=x+3，解得：x=4，∴AB=13，BC=11，∴矩形的面积为11×13=143.
10.【答案】18或46.8．
【解析】（1）若第二次购物超过300元，
设此时所购物品价值为x元，则90%x=288，解得x=320．
两次所购物价值为180+320=500＞300．
所以享受9折优惠，因此应付500×90%=450（元）．
这两次购物合并成一次性付款可节省：180+288﹣450=18（元）．
（2）若第二次购物没有过300元，两次所购物价值为180+288=468（元），
这两次购物合并成一次性付款可以节省：468×10%=46.8（元）
11.【答案】204
【解析】第二次应该付x元，则：，
解得：，第二次实际付款：．
12.【答案】288元或316元
【解析】一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折则在这个范围内最低付款90元，因而第一次付款80元，没有优惠；第二次购物时：是第二种优惠，可得出原价是 252÷0.9=280（符合超过100不高于300）．则两次共付款：80+280=360元，超过300元，则一次性购买应付款：360×0.8=288元；当第二次付款是超过300元时：可得出原价是 252÷0.8=315（符合超过300元），则两次共应付款：80+315=395元，则一次性购买应付款：395×0.8=316元．则一次性购买应付款：288元或316元．
三、解答题
13. 【解析】
解：设甲服装的成本是元，则乙服装的成本是元，由题意可得：
（元）
答：甲乙两件服装的成本分别是200元和300元.
14.【解析】
解：（1）∵在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的八折优惠，
∴在甲超市购物所付的费用为：300+0.8（x﹣300）=0.8x+60，
∵在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的九折优惠，
∴设顾客预计累计购物x元（x＞300），在乙超市购物所付的费用为：200+0.9（x﹣200）=0.9x+20；
（2）当0.8x+60=0.9x+20时，
解得：x=400，
∴当x=400元时，两家超市一样；
当0.8x+60＜0.9x+20时，
解得：x＞400，
当x＞400元时，甲超市更合算；
当0.8x+60＞0.9x+20时，
解得：x＜400，
当x＜400元时，乙超市更合算．
15.【解析】
解：（1）50×0.53+（130﹣50）×0.56=26.5+44.8=71.3（元）
答：10月份小聪家应付电费71.3元．
（2）①0.53m，
②（0.56m﹣1.5），
③（0.66m﹣21.5），
（3）设10月份小聪家的用电量是m千瓦时，
根据题意得：0.56m﹣1.5=96.5，
解之得m=175．
答：10月份小聪家的用电量是175千瓦时．