北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第21讲 一元一次方程应用（二）—“希望工程”义演与追赶小明(提高)

一元一次方程应用（二）----
“希望工程”义演与追赶小明（提高）知识讲解
【学习目标】
1.能够分析复杂问题中的数量关系，建立方程解决实际问题；体会对同一问题设不同未知数的算法多样化；
2.能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转换能力；
3.归纳利用方程解决实际问题的一般步骤，进一步体会模型思想.
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
要点二、“希望工程”义演（分配问题）
分配（调配或比例）问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等. 这类问题与生活密切相关，考察大家分析问题能力的同时，也考察了同学们的日常生活知识.
要点诠释：
分配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系，在分配问题中主要考虑“总量不变”；而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系.
要点三、追赶小明（行程问题）
（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
要点四、工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
【典型例题】
类型一、“希望工程”义演（分配问题）
1．（2019春?建湖县校级月考）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个，或盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有280张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？
【思路点拨】设用x张做盒身，则用（280﹣x）张做盒底，根据题意可知题目中的等量关系：制盒身铁皮的张数×每张铁皮可制盒身的个数×2=制盒底铁皮的张数×每张铁皮可制盒底的个数，据此解答．
【答案与解析】
解：设用x张制盒身，则用（280﹣x）张制盒底，由题意得：
2×15x=40（280﹣x），
解得：x=160，
280﹣x=120．
答：用160张制盒身，120张制盒底．
【总结升华】此题关键是找出题目中列等量关系式的语言：一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．
举一反三：
【变式】某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m3或运土3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?
【答案】
解：设安排x人挖土，则运土的有(120-x)人，依题意得：
5x＝3(120-x)，
解得x＝45．
120-45＝75(人)．
答：应安排45人挖土，75人运土．
类型二、行程问题
1.车过桥问题
2. 某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．
【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．
【答案与解析】
解：设火车车身长为xm，根据题意，得：
，
解得：x＝300，
所以．
答：火车的长度是300m，车速是30m/s．
【总结升华】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A点表示火车头)：

(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长．
(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．
举一反三：
【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？
【答案】
解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x分钟，列方程得：
，
解得：x＝3
答：从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟．
2.相遇问题（相向问题）
3．小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程.
【答案与解析】
解：设A、B两地间的路程为x千米，由题意得：
解得：108．
答：A、B两地间的路程为108千米.
【总结升华】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变，进而A、B的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程．
举一反三：
【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km，已知甲车的速度是70km/h，乙车的速度是52km/h，求A、B两站间的距离.
【答案】
解：设A、B两站间的距离为x km，由题意得：
解得：x=122
答： A、B两站间的距离为122km.
3.追及问题（同向问题）
4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度．
【答案与解析】
解：设卡车的速度为x千米/时，由题意得：
解得： x=24
答：卡车的速度为24千米/时．
【总结升华】采用“线段示意图”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间．
4.航行问题（顺逆流问题）
5．盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时．已知A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A、B两地间的距离．
【思路点拨】由于C的位置不确定，要分类讨论：（1）C地在A、B之间；（2）C地在A地上游．
【答案与解析】
解：设A、B两地间的距离为x千米．
(1)当C地在A、B两地之间时，依题意得．

解这个方程得：x＝20
(2)当C地在A地上游时，依题意得：

解这个方程得：
答：A、B两地间的距离为20千米或千米．
【总结升华】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线段示意图”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．
5.环形问题
6．（2018春?海南校级月考）甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
【思路点拨】在环形跑道上两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程﹣乙路程=400，两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=400．
【答案与解析】
解：设二人同时同地同向出发，x分钟后二人相遇，则：
240x﹣200x=400，
解得：x=10．
设两人背向而行，y分钟后相遇，则：
240y+200y=400，
解得：y=．
答：二人同时同地同向出发，10分钟后二人相遇；若背向跑，分钟后相遇．
【总结升华】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程=环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程=环形跑道的长度．
举一反三：
【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65m/min的速度，乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?
【答案】
解：设乙追上甲用了x分钟，则有：
72x-65x＝3×90

而
答：乙第一次追上甲时在AD边上.
类型三、工程问题
7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?
【答案与解析】
解：设再过x小时可把水注满．由题意得：
解得：．
答：打开丙管后小时可把水放满．
【总结升华】相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．
举一反三：
【变式】（2018春?沙坪坝区期末）一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成，甲先单独做9小时，后因甲有其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，那么乙还要多少小时完成？
【答案】
解：设乙还要x小时完成，根据题意得：
，
解得：x=4．
答：余下的任务由乙单独完成，那么乙还要4小时完成．
【巩固练习】
一、选择题
1. （2018春?衡阳校级月考）某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人．现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（　　）
A．22+x=2×26 B．22+x=2（26﹣x） C．2（22+x）=26﹣x D．22=2（26﹣x）
2．甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰比乙组人数的一半多2个，设乙组原有x人，则可列方程( )．
A． B．
C. D．
3.甲乙两地相距180千米，已知轮船在静水中的航速是a千米/小时，水流速度是10千米/小时，若轮船从甲地顺流航行3小时到达乙地后立刻逆流返航，则逆流行驶1小时后离乙地的距离是（ ）.
A．40千米 B．50千米 C．60千米 D．140千米
4.一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，这列火车完全通过隧道所需时间是（ ）.
A．60秒 B．30秒 C．40秒 D．50秒
5．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m＋10＝43m－1； ②； ③； ④40m＋10＝43m＋1，其中正确的是（ ）.
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
6．某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3km都需付7元车费)，超过3km以后，每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是( ).
A．11　 B．8　 C．7　 D．5
二、填空题
7．浙江万马篮球队主力队员再一次比赛中22投14中得28分，除了三个三分球全中外，他还中了 个两分球和 个一分球.
8．某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为a度,超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交电费56元,则a = 度.
9.（2018?泗县校级模拟）一轮船往返与A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水速是3千米/时，则轮船在静水中的速度是________千米/时.
10．（2019春?原阳县校级月考）某城市与省会城市相距390千米，客车与轿车分别从该城市和省会城市同时出发，相向而行．已知客车每小时行80千米，轿车每小时行100千米，问经过　 小时后，客车与轿车相距30千米．
11．某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先干一天，然后，甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了x天，乙工作的天数为________，由此可列出方程________________．
12. 9人14天完成了一件工作的，而剩下的工作要在4天内完成，则需增加的人数是__________．
三、解答题
13.（2019春?孝义市月考）某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使每天生产的产品配套？
14. （2018春?沙坪坝区期末）一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成，甲先单独做9小时，后因甲有其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，那么乙还要多少小时完成？
15. 已知甲乙两人在一个200米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道的长度相同.甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米，若甲乙两人分别从A、C两处同时相向出发（如图），则：
（1）几秒后两人首次相遇？请说出此时他们在跑道上的具体位置.
（2）首次相遇后，又经过多少时间他们再次相遇？
（3）他们第100次相遇时，在哪一段跑道上？
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B
2．【答案】D.
3．【答案】A.
【解析】顺流速度为：千米/时，逆流速度为：千米/时.
4．【答案】D.
【解析】秒.
5．【答案】D.
【解析】根据m,n的值不变，分别列方程即可.
6．【答案】B.
【解析】等量关系：（经过的路程-3）×2.4+起步价7元=19．
二、填空题
7．【答案】8,3
【解析】设他投中了x个两分球，则投中（14-3-x）个一分球，依题意得：2x+（14-3-x）=28-9,x=8, 14-3-8=3.
8．【答案】40.
【解析】当时，，不合题意；
当时，.
9.【答案】15.
【解析】设轮船在静水中的速度是x千米/时，则3（x﹣3）=2（x+3）解得：x=15.
10.【答案】2或．
【解析】解：①设经过x小时后，客车与轿车第一次相距30千米，由题意得：
80x+100x+30=390，
解得：x=2，
②设经过x小时后，客车与轿车第二次相距30千米，由题意得：
80x+100x﹣30=390，
解得：x=，
答：经过2小时或小时客车与轿车相距30千米．
故答案为：2或．
11．【答案】；.
12.【答案】12.
【解析】根据9人14天完成了一件工作的，可知每人每天完成这件工作的，设需要增加的人数为x人，根据题意得：， 解得x=12．
三、解答题
13．【解析】
解：设x人生产镜片，则（60﹣x）人生产镜架．
由题意得：200x=2×50×（60﹣x），
解得x=20，
∴60﹣x=40．
答：20人生产镜片，40人生产镜架，才能使每天生产的产品配套．
14.【解析】
解：设乙还要x小时完成，根据题意得：
，
解得：x=4．
答：余下的任务由乙单独完成，那么乙还要4小时完成．
15.【解析】
解：（1）设秒后两人首次相遇， 依题意得到方程
．
解得： ．
甲跑的路程=米，
答：10秒后两人首次相遇，此时他们在直道AB上，且离B点10米的位置.
（2）设y秒后两人再次相遇， 依题意得到方程
．
解得： ．
答：20秒后两人再次相遇．
（3）第1次相遇，总用时10秒，
第2次相遇，总用时10+20×1，即30秒
第3次相遇，总用时10+20×2，即50秒
第100次相遇，总用时10+20×99，即1990秒
则此时甲跑的圈数为1990×4÷200=39.8
200×0.8=160米，此时甲在AD弯道上.
此题解法较多，提供另解：
甲乙速度比为2∶3，所以甲的路程是两人总和的
第1次相遇，甲跑的路程为，
第2次相遇，甲跑的路程为，
第3次相遇，甲跑的路程为，
第100次相遇，甲跑的路程为，
因为7960÷200的余数为160
此时甲在AD弯道上.