北师大版初中数学七年级上册第五章一元一次方程全章复习与巩固(提高)学案含解析

《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1．经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；
2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；
3．能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的解的合理性．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
要点诠释：
（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．
（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
要点二、等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式．
2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
要点三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
要点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.
2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
3.行程问题：路程＝速度×时间
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如：.
8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．
【典型例题】
类型一、一元一次方程的相关概念
1．已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是关于x的一元一次方程，求m和x的值．
【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．
【答案与解析】
解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是关于x的一元一次方程，
所以3m-4＝0且5-3m≠0．
由3m-4＝0解得，又能使5-3m≠0，所以m的值是．
将代入原方程，则原方程变为，解得．
所以，．
【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m2是关于x的一元一次方程，就是说x的二次项系数3m-4＝0，而x的一次项系数5-3m≠0，m的值必须同时符合这两个条件．
举一反三：
【变式】下面方程变形中，错在哪里：
(1)方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).
方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.
（2），去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得：9-21x=4x+2+2x.
【答案】（1）答：错在第二步，方程两边不能除以x-y，只有一种可能就是x-y为0了，所以出现了1=-1的错误，也就是说对于等式性质来说，如果想要除以式子来说，这个式子一定是不能为0的.
（2）答：错在第一步，去分母时2x项没乘以公分母6.
2. （2015秋?营山县校级期中）对于ax+b=0（a，b为常数），表述正确的是（　　）
A．当a≠0时，方程的解是x= B．当a=0，b≠0时，方程有无数解
C．当a=0，b=0，方程无解 D．以上都不正确
【答案】D．
【解析】
解：A、当a≠0时，方程的解是x=﹣，故错误；
B、当a=0，b≠0时，方程无解，故错误；
C、当a=0，b=0，方程有无数解，故错误；
D、以上都不正确．
【总结升华】此题很简单，解答此题的关键是：正确记忆一元一次方程的一般形式中，一次项系数不等于0．
举一反三：
【变式】已知|x+1|+(y+2x)2＝0，则________．
【答案】1
类型二、一元一次方程的解法
3．解方程：解方程3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5．
【答案与解析】
解：把2x-1看做一个整体．去括号，得：
3(2x-1)-9(2x-1)-9＝5．
合并同类项，得-6(2x-1)＝14．
系数化为1得： ，
解得 ．
【总结升华】把题目中的2x-1看作一个整体，从而简化了计算过程．本题也可以考虑换元法：设2x-1＝a，则原方程化为3[a-(3a+3)]＝5．
举一反三：
【变式】解方程
【答案】
解：把方程两边含有分母的项化整为零，得
．
移项，合并同类项得：，
系数化为1得： z＝1．
类型三、特殊的一元一次方程的解法
1．解含字母系数的方程
4.解关于的方程：
【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与x的系数和常数的取值都有关系．
【答案与解析】
解：原方程可化为：
当时，原方程有唯一解：；
当时，原方程无数个解；
当时，原方程无解；
【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明．
2．解含绝对值的方程
5. 解方程|x-2|＝3．
【答案与解析】
解：当x-2≥0时，原方程可化为x-2＝3，得x＝5．
当x-2＜0时，原方程可化为-(x-2)＝3，得 x＝-1．
所以x＝5和x＝-1都是方程|x-2|＝3的解．
【总结升华】如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x-2|＝3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x-2|＝3的解为x＝-1和x＝5．
举一反三：
【变式】若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，
则的大小关系为： ( )
A. B. C. D.
【答案】A
类型四、一元一次方程的应用
6．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?
【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变．
【答案与解析】
解：设李伟从家到火车站的路程为y千米，则有：
，解得：
由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为(小时)．
李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x千米/时, 则有：
(千米/时)
答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时．
【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法．
7. 黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元．公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920元时，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆?
【答案与解析】
解：设四座车租x辆，十一座车租辆，依题意得：

解得：x＝1，
答：公司租用的四座车和十一座车分别是1辆和6辆.
【总结升华】解答本题需从“公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920元”中挖掘两个等量关系构建方程求解.
8．某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案：
方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多，为什么?
【答案与解析】
解：（1）若选择方案1，依题意，
总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500（元）．
（2）若选择方案2．
方法一：
解：设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售.
依题意得，，
解得．
当时，．
总利润=2000×1.5+1200×7.5=12000（元）．
∵ 12000>10500，
∴ 选择方案2较好．
方法二：
解：设x天生产奶片，则（4-x）天生产酸奶.
x+3(4-x)=9
x=1.5
4-x=2.5
1.5×1×2000+2.5×3×1200=12000（元）
∵ 12000>10500，
∴ 选择方案2较好．
答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．
【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案2中的方法一，设将x吨鲜奶制成奶片，则列表如下：
每吨利润
吨数
工效
天数
酸奶
1200
3
奶片
2000
1
合计
9
4
该表可以使条件之间的关系一目了然，从而得到等量关系，当然此题也可以设天数来计算，同学们可根据理解自己选择．
举一反三：
【变式】（2015?吴江市一模）现有甲、乙两种金属的合金10kg，如果加入甲种金属若干，那么重新熔炼后的合金中乙种金属占2份，甲种金属占3份，如果加入的甲种金属是第一次加入的2倍，那么重新熔炼后的合金中乙种金属占3份，甲种金属占7份，第一次加入的甲种金属多少？原来这块合金中甲种金属的百分比是多少？
【答案】
解：设原来这块合金中甲种金属的百分比是x，则甲种金属有10xkg，乙种金属有（10﹣10x）kg，根据题意得
（10﹣10x）÷﹣10=2×[（10﹣10x）÷﹣10]，
解得x=40%．
则（10﹣10×40%）÷﹣10=5（kg）．
答：第一次加入的甲种金属是5kg，原来这块合金中甲种金属的百分比是40%．
【巩固练习】
一、选择题
1．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是( )．
A．±1 B．1 C．-1 D．0或1
2．已知是方程的解，那么关于y的方程的解是( )．
A．y＝1 B．y＝-1 C．y＝0 D．方程无解
3．已知，则等于（ ）．
A． B． C． D．
4．一列火车长100米，以每秒20米的速度通过800米长的隧道，从火车进入隧道起，至火车完全通过所用的时间为( )．
A．50秒 B．40秒 C．45秒 D．55秒
5．一架飞机在两城间飞行，顺风要5.5小时，逆风要6小时，风速为24千米/时，求两城距离x的方程是（　　）.
A． B．
C． D．
6．（2015?永州）永州市双牌县的阳明山风光秀丽，历史文化源远流长，尤以山顶数万亩野生杜鹃花最为壮观，被誉为“天下第一杜鹃红”．今年“五一”期间举办了“阳明山杜鹃花旅游文化节”，吸引了众多游客前去观光赏花．在文化节开幕式当天，从早晨8：00开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走出景区的游客人数约为600人，已知阳明上景区游客的饱和人数约为2000人，则据此可知开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为（　　）
A．10：00 B．12：00 C．13：00 D．16：00
7．某书中一道方程题：，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是x＝﹣2.5，那么□处应该是数字( )．
A．-2.5 B．2.5 C．5 D．7
8. 已知：，，，，…，
若符合前面式子的规律，则a＋b的值为（ ）．
A． 179 B． 140 C． 109 D． 210
二、填空题
9．已知方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为________．
10．已知和互为相反数，则________．
11．（2015?温州校级自主招生）对于实数a，b，c，d，规定一种数的运算：=ad﹣bc，那么当=10时，x=　 　．
12．一商店把某商品按标价的九折出售仍可获得20%的利润率，若该商品的进价是每件30元，则标价是每件 元．
13．某种中草药含甲、乙、丙、丁四种草药成分，这四种草药成分的质量比是0.7∶1∶2∶
4.7．现在要配制这种中药1400克，这四种草药分别需要多少克？设每份为克，根据题意，得 ．
14．有一列数，按一定的规律排列：―1，2，―4，8，―16，32，―64，128，…，其中某三个相邻数之和为384，这三个数分别是 ．
15．已知关于的方程和方程有相同的解，则该方程的解为 ．
16. x表示一个两位数, y表示一个三位数, 若把x放在y的左边组成一个五位数记作M1, 把y放在x的左边组成一个五位数记作M2, 则 M1 ( M2 是 的倍数．
三、解答题
17．解方程：
（1）．
（2） .
（3）｜3x-2｜-4=0 .
18.探究：当b为何值时，方程｜x-2｜=b+1 ① 无解；②只有一个解；③ 有两个解.
19.（2015?海淀区二模）小明坚持长跑健身．他从家匀速跑步到学校，通常需30分钟．某周日，小明与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了40米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离．
20．商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出场价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，该选择哪种进货方案？
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】由题意得|m|＝1，且m+1≠0，所以m＝1，故选B．
2. 【答案】C
【解析】由x＝1是方程的解，可代入求出a的值，然后把a的值代入方程a(y+4)＝2ay+4a中，求出y的值．
3. 【答案】D
【解析】由原式可得：，将“”看作整体，合并化简即可．
4．【答案】C
【解析】相等关系是：火车所走的路程＝火车长度+隧道长度．设火车完全通过所用时间为x秒，可得方程20x＝100+800，解得x＝45．
5. 【答案】A
【解析】解：∵两城距离为x，顺风要5.5小时，逆风要6小时，
∴顺风速度=，逆风速度=，
∵风速为24千米/时，
∴可列方程为：
6.【答案】C.
【解析】设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为x点，则
（x﹣8）×（1000﹣600）=2000，解得x=13．
即开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为13：00．
7．【答案】C
【解析】把x＝-2.5代入方程，再把□当作未知数解方程即可．
8．【答案】C
【解析】观察规律可得b＝10，a＝b2－1＝99，所以a＋b＝109．
二、填空题
9．【答案】x＝1
【解析】首先将原方程整理成的形式，由一元一次方程的定义可知，二次项系数为0，所以a＝5，代入方程中即可求出x的值．
10．【答案】-8
【解析】两数互为相反数，则和为0，由非负数的性质可知m-n+4＝0，且n-3＝0．从而得m＝-1，n＝3．
11.【答案】﹣1．
【解析】由题意得，2x+12=10，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．
12．【答案】40
【解析】解：设标价为元，则有，解得：
13．【答案】
14．【答案】128，－256，512
【解析】通过观察可得：第个数为：，所以第9,10个数分别为：，经检验满足题意．
15．【答案】
【解析】分别解得这两个关于x的方程的解为，，由它们相等得，代入其中一解可得答案．
16．【答案】9
【解析】M1＝1000x＋y，M2＝100y＋x，M1 ( M2＝9（111x－11y），所以一定是9的倍数．
三、解答题
17．【解析】
解：（1）整理，得，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得．
（2）原方程可化为：
解得：x=
（3）原式可化为：｜3x-2｜=4
由，可得：；由，可得：
所以原方程的解为：x=2，x=-.
18. 【解析】
解：①当，即 b＜-1时，原方程无解；
②当，即 b=-1时，原方程只有一个解；
③ 当，即b＞-1时，原方程有两个解．
19.【解析】
解：设小明家到学校的距离为x米，
由题意，得+40=，
解得x=6000．
答：小明家到学校的距离为6000米．
20．【解析】
解：（1）①解：设购进甲种电视机台，则购进乙种电视机（50－）台，根据题意，得
1500＋2100（50－）=90000．
解得： =25，则50－=25．
故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电视机各25台．
②设购进甲种电视机台，则购进丙种电视机（50－ ）台，根据题意，得
1500＋2500（50－）=90000．
解得： =35，则50－=15．
故第二种进货方案是购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．
③设购进乙种电视机台，则购进丙种电视机（50－）台，购进题意，得
2100＋2500（50－）=90000．
解得： =87.5（不合题意）．
故此种方案不可行．
（2）上述的第一种方案可获利：150×25＋200×25=8750元，
第二种方案可获利：150×35＋250×15=9000元，
因为8750<9000，故应选择第二种进货方案．