人教版高中数学必修二知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第02章 章末检测

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
章末检测
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题正确的是
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
2．如图，A–BCDE是一个四棱锥，AB⊥平面BCDE，且四边形BCDE为矩形，则图中互相垂直的平面共有
A．4组 B．5组
C．6组 D．7组
3．若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为
①a⊥α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；③a∥α，a⊥b?b⊥α．
A．0 B．1
C．2 D．3
4．正方体ABCD–A1B1C1D1中，直线BC1与AC
A．异面且垂直 B．异面但不垂直
C．相交且垂直 D．相交但不垂直
5．下列命题正确的是
A．一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行
B．一直线与平面平行，则平面内有且只有一条直线与已知直线平行
C．一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行
D．一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面
6．如果空间四点A、B、C、D不共面，那么下列判断中正确的是
A．A、B、C、D四点中必有三点共线 B．A、B、C、D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交 D．直线AB与CD平行
7．两等角的一组对应边平行，则
A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边也不可能垂直 D．以上都不对
8．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n?α，则m∥α．
其中正确命题的序号是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
9．已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m?β，则α⊥β
10．下列命题中错误的是
A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
B．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
C．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ
11．如图，在三棱锥A–BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∠BCD=90°，CD=40，则AB=
A．10 B．20 C．10 D．20
12．下列命题，能得出直线m与平面α平行的是
A．直线m与平面α内所有直线平行 B．直线m与平面α内无数条直线平行
C．直线m与平面α没有公共点 D．直线m与平面α内的一条直线平行
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
13．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是__________．
14．若A∈α，B?α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有__________个公共点．
15．棱长都相等的四面体称为正四面体．在正四面体A–BCD中，点M，N分别是CD和AD的中点，给出下列命题：①直线MN∥平面ABC；②直线CD⊥平面BMN；③三棱锥B–AMN的体积是三棱锥B–ACM的体积的一半．则其中正确命题的序号为__________．
16．如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平行APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的命题为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．求证：BC⊥AD．
18．正四棱锥P–ABCD的底面边长为，侧棱长为2，M是侧棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的大小．
19．如图所示，在三棱柱BCD–B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点．求证：四边形EFDB是梯形．
20．如图，在正三棱锥P–ABC中，D，E分别是AB，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面PAC；（2）求证：AB⊥PC．
21．如图，四棱锥P–ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AD，求证：平面AEC⊥平面PCD．
22．如图，在三棱锥P–ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．
（1）求证：DE∥PA；（2）求证：DE∥平面PAC；（3）求证：AB⊥PB．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
B
B
C
B
D
A
B
B
D
C
1．【答案】D
2．【答案】C
【解析】因为AB⊥平面BCDE，所以平面ABC⊥平面BCDE，平面ABD⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE，又因为四边形BCDE为矩形，所以BC⊥平面ABE?平面ABC⊥平面ABE，同理可得平面ACD⊥平面ABC．平面ADE⊥平面ABE，故图中互相垂直的平面共有6组．故选C．
3．【答案】B
【解析】①a⊥α，b∥α，则a与b相交垂直或异面垂直，故a⊥b，故①正确；②a⊥α，a⊥b，则b∥α或b?α，故②错误；③a∥α，a⊥b，则b与α相交、平行或b?α，故③错误．故选B．
4．【答案】B
【解析】如图，正方体ABCD–A1B1C1D1中，直线BC1与AC是异面直线．将BC1平移至AD1处，∠D1AC就是所求的角，又△AD1C为正三角形．∴∠D1AC=60°．故异面直线AC与BC1所成的角的大小为60°．故选B．
5．【答案】C
6．【答案】B
【解析】空间四点A、B、C、D不共面，则四点所处的位置如四面体的四个顶点．可得只有答案B正确．故选B．
7．【答案】D
【解析】两个等角的一组对边平行，另外一组边可以具有各种位置关系，并且不能确定是哪一种关系，故选D．
8．【答案】A
【解析】对于①，若α∥β，α∥γ根据面面平行的性质容易得到β∥γ；故①正确；对于②，若α⊥β，m∥α，m与β的关系不确定；故②错误；对于③，若m⊥α，m∥β，可以在β找到一条直线n与m平行，所以n⊥α，故α⊥β；故③正确；对于④，若m∥n，n?α，那么m与α的位置关系为m∥α或者m?α；故④错误．故选A．
9．【答案】B
【解析】若m∥n，m⊥α，由线面垂直的第二判定定理，我们可得n⊥α，故A正确；若m∥α，α∩β=n，m与n可能平行也可能异面，故B错误；若m⊥α，m⊥β，则根据垂直于同一直线的两个平面平行，则α∥β，故C正确；若m⊥α，m?β，则根据线面垂直的判定定理，则α⊥β，故D正确．故选B．
10．【答案】B
【解析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．故选B．
11．【答案】D
12．【答案】C
【解析】A命题本身说法错误．B当直线m在平面α内，m与α不平行．C项能推出m与α平行．D项，当直线m在平面α内满足，m与α不平行．故选C．
13．【答案】平行或异面
【解析】空间中两条直线的位置关系有三种：相交，有且只有一个公共点；平行，没有公共点；异面，没有公共点．由此可知，如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是平行或异面．故答案为平行或异面．
14．【答案】1
【解析】∵A∈α，A∈l，直线l与平面α有公共点A，∴直线l?平面α或直线l∩平面α=A，下面用反证法证明直线l不可能在平面α内：假设直线l?平面α，因为B∈l，所以B∈α，这与已知条件“B?α”矛盾，故“直线l?平面α”不能成立，∴直线l∩平面α=A，直线l与平面α有唯一公共点，故答案为1．
15．【答案】①、③
【解析】∵点M，N分别是CD和AD的中点，∴MN∥AC，又由MN?平面ABC，AC?平面ABC，
∴①直线MN∥平面ABC正确；由于∠ACD=60°，∴AC与CD不垂直，则NM与CD也不垂直，故直线CD与平面BMN也不垂直，∴②直线CD⊥平面BMN错误；∵三棱锥B–AMN与三棱锥B–ACM的高相等．△AMN与△ACM高相等且底边之比为1：2，∴③三棱锥B–AMN的体积是三棱锥B–ACM的体积的一半正确．故答案为①、③．
16．【答案】①②③
17．【答案】证明详见解析．
【解析】取BC中点O，连接AO，DO．
∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，
∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO=O，∴BC⊥平面AOD．
又AD?平面AOD，∴BC⊥AD．
18．【答案】45°．
【解析】连接AC，BD交于O点，连接MO．
由MO∥PA知，∠OMB即为PA与BM所成的角．
∵P–ABCD是正四棱锥，
∴PO⊥平面ABCD．又AC⊥BD，∴PA⊥BD，MO⊥BD，
Rt△OMB中，OM⊥OB，OM==1，BO=，∴∠OMB=45°，
∴异面直线PA与BM所成角的为45°．
19．【答案】证明详见解析．
【解析】∵E、F分别是B1C1和C1D1的中点，
∴在△C1B1D1中，C1E=EB1，C1F=FD1，∴EF∥B1D1，且EF=B1D1，
又∵B1BD1D，且B1B=D1D，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
∴EF∥BD，EF=BD，∴四边形EFDB是梯形．
20．【答案】（1）证明详见解析．（2）证明详见解析．
21．【答案】（1）证明详见解析．（2）证明详见解析．
【解析】（1）连接BD交AC于O点，连接EO，
∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，
又EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
又AD⊥CD，且AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD．
又AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PDC，
又AE?平面PAD，∴平面PDC⊥平面AEC．
22．【答案】（1）证明详见解析．（2）证明详见解析．（3）证明详见解析．