人教版高中数学必修二知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第04章 章末检测

第四章 圆与方程
章末检测
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．空间两点A（1，2，–2），B（–1，0，–1）之间的距离为
A．5 B．3 C．2 D．1
2．在空间直角坐标系中，已知点M（a，b，c），有下列叙述：
①点M关于x轴对称点的坐标是M1（a，–b，c）；
②点M关于yoz平面对称的点的坐标是M2（a，–b，–c）；
③点M关于y轴对称的点的坐标是M3（a，–b，c）；
④点M关于原点对称的点的坐标是M4（–a，–b，–c）．
其中正确的叙述的个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
3．关于空间直角坐标系O–xyz中的一点P（1，2，3），有下列说法：
①点P到坐标原点的距离为；
②OP的中点坐标为（）；
③点P关于x轴对称的点的坐标为（–1，–2，–3）；
④点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，–3）；
⑤点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，–3）．
其中正确的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
4．两个点M（2，–4），N（–2，1）与圆C：x2+y2–2x+4y–4=0的位置关系是
A．点M在圆C外，点N在圆C外 B．点M在圆C内，点N在圆C外
C．点M在圆C外，点N在圆C内 D．点M在圆C内，点N在圆C内
5．若圆C1：（x–1）2+y2=1与圆C2：x2+y2–8x+8y+m=0相切，则m等于
A．16 B．7 C．–4或16 D．7或16
6．已知过点（–2，0）的直线与圆O：x2+y2–4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线x–y=0垂直的直线l的方程为
A．x+y–2=0 B．x+y–4=0
C．x+y–2=0 D．x+y–6=0
7．与圆x2+y2+2x–4y=0相切于原点的直线方程是
A．x–2y=0 B．x+2y=0 C．2x–y=0 D．2x+y=0
8．直线xcosθ+ysinθ+a=0与圆x2+y2=a2交点的个数是
A．0 B．1 C．随a变化 D．随θ变化
9．方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y=x轴对称 D．关于直线y=–x轴对称
10．过点（2，3）且与圆x2+y2=4相切的直线有几条
A．0条 B．1条
C．2条 D．不确定
11．过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax–y+1=0垂直，则实数a的值为
A．0 B．–
C． D．0或
12．已知圆C的方程为x2+y2–4x–2y=0，若倾斜角为的直线l被圆C所截得的弦长为2，则直线l的方程为
A．y=x+1 B．y=x–3
C．y=x+1或y=x–3 D．y=x+1或y=x+3
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
13．设O为原点，点M在圆C：（x–3）2+（y–4）2=1上运动，则|OM|的最大值为___________．
14．已知两圆x2+y2=10和（x–1）2+（y–a）2=20相交于A、B两个不同的点，且直线AB与直线3x–y+1=0垂直，则实数a=___________．
15．与圆x2+y2–2x–6y+1=0关于直线x–y+1=0对称的圆的标准方程是___________．
16．已知圆C的圆心在直线x+y–2=0上，圆C经过点（2，–2）且被x轴截得的弦长为2，则圆C的标准方程为___________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知圆C的圆心在直线x=2上，并且与y轴交于两点A（0，–4）、B（0，–2），求圆C的方程．
18．已知圆C与x轴、y轴、直线x+y=都相切，求圆C的方程．
19．已知方程x2+y2–2（t+3）x+2（1–4t2）y+16t4+9=0表示一个圆．
（1）求t的取值范围；
（2）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
20．设圆上的点A（2，3）关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
21．（1）在z轴上求与点A（–4，1，7）和B（3，5，–2）等距离的点的坐标；
（2）在yOz平面上，求与点A（3，1，2）、B（4，–2，–2）和C（0，5，1）等距离的点的坐标．
22．已知平面直角坐标系内三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）
（1）求过O，A，B三点的圆的方程，并指出圆心坐标与圆的半径；
（2）求过点C（–1，0）与条件（1）的圆相切的直线方程．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
A
B
C
B
A
A
A
C
C
C
1．【答案】B
【解析】由空间两点间距离公式得，所求距离为|AB|==3．故选B．
2．【答案】C
【解析】在空间直角坐标系中，已点M（a，b，c），有下列叙述：①点M关于x轴对称点的坐标是M1（a，–b，–c），因此不正确；②点M关于yoz平面对称的点的坐标是M2（–a，b，c），因此不正确；③点M关于y轴对称的点的坐标是M3（–a，b，–c），因此不正确；④点M关于原点对称的点的坐标是M4（–a，–b，–c），正确．综上可得：正确的只有一个．故选C．
3．【答案】A
4．【答案】B
【解析】M（2，–4）代入x2+y2–2x+4y–4=4+16–4–16–4=–4<0，∴点M在圆C内，N（–2，1）代入x2+y2–2x+4y–4=4+1+4+4–4=9>0，∴点N在圆C外．故选B．
5．【答案】C
【解析】圆C1：（x–1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1；圆C2：x2+y2–8x+8y+m=0化为（x–4）2+（y+4）2=32–m，表示以（4，–4）为圆心，半径等于的圆；由题意，两个圆相内切时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，可得5=|–1|，解得m=–4．两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5=+1，解得m=16，综上，m的值为–4或16．故选C．
6．【答案】B
【解析】由题意，切线的倾斜角为30°，∴P（1，）．设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，可得c=–4，∴直线l的方程为x+y–4=0，故选B．
7．【答案】A
【解析】圆：x2+y2+2x–4y=0，即（x+1）2+（y–2）2=5，表示以C（–1，2）为圆心，半径等于的圆．（0，0）满足圆的方程，所以过点（0，0）且与圆x2+y2+2x–4y=0相切的直线方程为x–2y=0．故选A．
8．【答案】A
【解析】圆x2+y2=a2的圆心为原点，半径为|a|，圆心到直线xcosθ+ysinθ+a=0的距离d=|a|，故直线与圆相切，即直线xcosθ+ysinθ+a=0与圆x2+y2=a2交点的个数是1个，故选B．
9．【答案】A
【解析】方程x2+2ax+y2=0（a≠0）可化为（x+a）2+y2=a2，圆心为（–a，0），∴方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆关于x轴对称，故选A．
10．【答案】C
11．【答案】C
【解析】如图，由图可知，过点P（1，2）与圆x2+y2=4相切的直线有两条，设为y–2=k（x–1），即kx–y–k+2=0，由，解得k=0或k=–，当k=0时，不与直线ax–y+1=0垂直，当k=–时，若与直线ax–y+1=0垂直，则a=．故选C．
12．【答案】C
【解析】圆的标准方程为（x–2）2+（y–1）2=5，圆心为（2，1），半径为r=．因为倾斜角为的直线l被圆C所截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d=．设直线方程为y=x+b，则，所以b=1或–3，所以直线l的方程为y=x+1或y=x–3．故选C．
13．【答案】6
【解析】圆C：（x–3）2+（y–4）2=1，表示以C（3，4）为圆心，半径r等于1的圆．由于|CO|=5，
∴|OM|的最大值为|CO|+r=6，故答案为：6
14．【答案】3
【解析】由题意，两圆相减可得2x+2ay–a2+9=0，∵直线AB与直线3x–y+1=0垂直，∴–×3=–1，
∴a=3，故答案为3．
15．【答案】（x–2）2+（y–2）2=9
16．【答案】（x–3）2+（y+1）2=2或（x–5）2+（y+3）2=10
【解析】由题意，设圆心坐标为（a，2–a），则r2=（a–2）2+（2–a+22）=12+（2–a）2，∴a=3，r=或a=5，r=，∴圆C的标准方程为（x–3）2+（y+1）2=2或（x–5）2+（y+3）2=10．故答案为：（x–3）2+（y+1）2=2或（x–5）2+（y+3）2=10．
17．【答案】（x–2）2+（y+3）2=5
【解析】如图所示：
根据垂径定理可得AB的垂直平分线y=–3过圆心，
而圆心过x=2，则圆心坐标为（2，–3），
圆的半径r=|AC|=，
则圆的标准方程为：（x–2）2+（y+3）2=5．
18．【答案】（x+1）2+（y–1）2=1或（x–1）2+（y+1）2=1或或
19．【答案】（1）；（2）rmax=，此时圆的标准方程为．
【解析】（1）∵方程x2+y2–2（t+3）x+2（1–4t2）y+16t4+9=0表示一个圆，
∴D2+E2–4F>0，即4（t+3）2+4（1–4t2）–4（16t4+9）>0，
整理得7t2–6t–1<0，解得；
（2）由r=，可得：
≤，当t=时，rmax=．
∴该圆半径r的最大时圆的标准方程为．
20．【答案】（x－6）2＋（y＋3）2＝52或（x－14）2＋（y＋7）2＝244
21．【答案】（1）（0，0，）；（2）（0，1，–2）．
【解析】（1）由题意设C（0，0，z），
∵C与点A（–4，1，7）和点B（3，5，–2）等距离，∴|AC|=|BC|，
∴，
∴18z=28，∴z=，∴C点的坐标是（0，0，）；
（2）设yOz平面内一点D（0，y，z）与A，B，C三点距离相等，
则有|AP|2=9+（1–y）2+（2–z）2，
|BP|2=16+（2+y）2+（2+z）2，
|CP|2=（5–y）2+（1–z）2，
由|AP|=|BP|，及|AP|=|CP|，
得，
化简可得，解得，
∴点P（0，1，–2）为yOz平面内到A，B，C三点等距离的点．
22．【答案】（1）圆心是（4，–3）、半径r=5；（2）直线为x=–1和y=（x+1）
（2）当所求直线方程斜率不存在时，直线方程为x=–1，与圆相切；
当所求直线方程斜率存在时，设直线方程为：y=k（x+1），
∵与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
根据点到直线的距离公式得，解得，
∴所求直线方程为，
综上，直线为x=–1和y=（x+1）．