1.6 三角函数模型的简单应用 学案

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学案 三角函数模型应用

知识梳理
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________； y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝________，ymin＝________. (2)A＝__________，k＝__________.
(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．
(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
4.三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题,根据题意建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的函数值,进而使实际问题得到解决.
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题.
这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数,然后写出具体的三角函数解析式。


类型一 函数解析式与图象的对应问题
【例1】函数y＝sin|x|的图象是




归纳 （1）已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项.
函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点，解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.


变式训练1 函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象是




类型二　从实际问题中提炼三角函数模型
例2　如图(1)所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.

(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．




归纳　如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型．



变式训练2　如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.





类型三　三角函数模型在物理学科中的应用
例3　弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示：.?
（1）求小球开始振动的位置；
（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；
（3）经过多长时间小球往返振动一次??
（4）每秒内小球能往返振动多少次?




归纳　三角函数模型在物理学科中有着广泛的应用．在应用三角函数知识解决物理问题时，应当注意从复杂的物理背景中提炼基本的数学关系，还要调动相关物理知识来帮助理解问题．



变式训练3　如图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)在同一周期内的图象．

(1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？




类型四　三角函数模型在实际问题中的应用
例4　已知某海滨浴场的海浪高度是时间t(h)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
（1）根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？




归纳　确定函数关系式y＝Asin ωt＋B，就是确定其中的参数A，ω，B等，可从所给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M，最小值为m，则A＝，B＝.



变式训练4　设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(　　)
y＝12＋3sin t，t∈[0,24] B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24] D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]



归纳
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.




三角模型的简单应用学案答案
例1 B 解：令f(x)＝sin|x|，x∈R，则f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴函数f(x)＝sin|x|为偶函数，排除A；又当x＝时，y＝sin||＝sin＝1，排除D；当x＝时，y＝sin||＝sin＝－1，排除C，故选B．
变式训练1 A
例2（1）过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点．
当θ＞时，∠BOM＝θ﹣，h＝|OA|+0.8+|BM|＝5.6+4.8sin（θ﹣）．
当0≤θ≤时，上述关系式也适合．∴h＝4.8sin（θ﹣）+5.6．
（2）点A在⊙O上逆时针运动的角速度是＝，
∴t秒转过的弧度数为t．∴h＝4.8sin（t﹣）+5.6，t∈[0，+∞）．
变式训练2解：（1）根据题意，在t时，摩天轮上某人所转过的角为t＝t，
故在t时，此人相对于地面的高度为（t≥0）；
（2）由≥17，得≥，则5≤t≤15；
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m．
例3解：（1）∵h＝3sin（2t+），
小球开始振动的位置，即t＝0的位置，即初相为（0，），
（2）由解析式可得振幅A＝3，故小球的最高点（，3）和最低点（，﹣3）；
（3）可得函数的周期为T＝＝π，故小球往复运动一次需π，
（4）可得频率为，即每秒钟小球能往复振动次数为．
变式训练3解：（1）由图可知A＝300，设，，
则周期，∴．
时，I＝0，即，．
而，∴．故所求的解析式为．
（2）依题意，周期，即，（ω＞0），∴ω≥300π＞942，
又∵ω∈N*，故最小正整数ω＝943．
例4 解：（1）设函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+k（A＞0，ω＞0）
∵同一周期内，当t＝12时ymax＝1.5，当t＝6时ymin＝0.5，
∴函数的周期T＝2（12﹣6）＝12，得ω＝＝，A＝（1.5﹣0.5）＝，且k＝（1.5+0.5）＝1∴f（t）＝sin（t+φ）+1，
再将（6，0.5）代入，得0.5＝sin（×6+φ）+1，解之得φ＝，
∴函数近似表达式为f（t）＝sin（t+）+1，即y＝cost+1．
（2）由题意，可得（cos+1）＞0.75，即cost＞，
解之得，k∈Z．即12k﹣4＜t＜12k+4（k∈z），
∴在同一天内取k＝0、1、2得0＜t＜4，8＜t＜16，20＜t≤24
∴在规定时间上午8：00时至晚上24：00时之间，从8点到16点共8小时的时间可供冲浪者进行运动．

变式训练4 A解：排除法：∵y＝f（t）可以近似看成y＝K+Asin（ωx+φ）的图象，∴由T＝12可排除C、D，将（3，15）代入排除B．故选：A．






























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