第一章 三角函数章节复习 学案

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学案 三角函数章节复习


题型一．三角函数的定义域.值域.最值
【例1】（1）函数y＝lg(sin x－cos x)的定义域为________；



（2）函数y＝＋ 的定义域为________．



（3）函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(　　)
A．[－1,1] B. C. D.


（4）求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值。



（5）函数y＝的值域是________．



（6），求值域________．





题型二．三角函数的奇偶性、周期性、单调性
【例2】(1)函数y＝2cos2－1是(　　)．
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数


(2)已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．


(3) f(x)＝sin x＋sin，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间__________．


(4)函数f(x)＝sin的单调减区间为____________．




题型三．三角函数的对称中心与对称轴
【例3】(1)函数y＝cos图象的对称轴方程可能是(　　)．
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝


(2)若0＜α＜，g(x)＝sin是偶函数，则α的值为________．
函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.


(3)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________


(4)y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)．
A．(－π，0) B. C. D.





题型四　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象画法与变换
例4已知函数f(x)＝3sin
(1)求此函数的振幅、周期和初相； (2)用五点法作出函数的图象；
(3)说明函数f(x)的图象由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到．






变1 已知f(x)＝sin(ω＞0)的图象与y＝－1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos 2x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位



变2 设函数f(x)＝cos ωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　)
A. B．3 C．6 D．9






题型五 已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式
例5 (1)(2014)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
A．2，－ B．2，－C．4，－ D．4，




变2(2013)已知A，B，C，D是函数y＝sin一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数的一个对称中心，B与D关于E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝





题型六　 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质应用
【例6】 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A>0,0<φ<)的最大值为2，最小正周期为π，直线x＝是其图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间



三角函数章末复习答案
例1.　1.解：由sin x－cos x>0得sin x>cos x，下面求sin x>cos x的解

法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，
所以定义域为.
法二：利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sin x≥cos x，即MN≥OM，
则≤x≤(在[0,2π]内)．
∴定义域为.

法三：sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z.
所以定义域为.
2.解：由已知得，∴如图：∴所求定义域为[－4，－π]∪[0，π]．
3.解： y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.

4.解：设sin x＝t，则t∈.∴y＝1－sin2x＋sin x＝－2＋，t∈，
故当t＝，即x＝时，ymax＝，当t＝－，即x＝－时，ymin＝
5.解：函数y＝的几何意义是指坐标平面上定点A(3，2)与动点M(cos x，sin x)连线的斜率．又因为动点M的两坐标的平方和为1，所以动点M是由坐标平面内单位圆上的点组成的．故问题等价于求定点A和单位圆上的动点连线的斜率的取值范围．如图所示，函数y＝的值域的两个端点，就是过点A的单位圆的两条切线AM，AN的斜率．设切线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0.由题意知，d＝＝1，解得k＝，故所求函数的值域为
6.解：＝，因为﹣1≤sinx≤1，所以﹣1≤3sinx+2≤5

的值域为（﹣∞，]∪[2，+∞）。

例2.1.解：　y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x为奇函数，T＝＝π.
2.解：　由f(x)＝(sin x－cos x)sin x＝sin2x－sin xcos x＝－sin 2x＝－sin＋. ∴最小正周期为π.
3.解：　f(x)＝sin x＋sin＝sin x＋cos x＝sin.
由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得：－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
又x∈[0，π]，∴f(x)的单调递增区间为.
4.解：　f(x)＝sin＝－sin，它的减区间是y＝sin的增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得：kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的减区间为(k∈Z)．
例3.解：(1)令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
令k＝0得该函数的一条对称轴为x＝－.本题也可用代入验证法来解．
(2)要使g(x)＝cos为偶函数，则须＋α＝kπ
＋，k∈Z，α＝kπ＋，k∈Z，∵0＜α＜，∴α＝.
　(3)由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，即3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，∴k＝0，故φ＝.(4)由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，∴φ＝kπ＋，k∈Z. 4．B
例4解：(1)周期T＝＝＝4π，振幅A＝3，初相是－.
(2)把y＝sin x图象上所有点向右平移个单位得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin的图象，然后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)即可得到f(x)＝3sin的图象．
变式(2)解：f(x)向右平移后变为f，则f(x) 即cos ωx＝cos，∴－＝2kπ，k∈Z.∴ω＝－6k，k∈Z，ω的最小值为6.＝f，∴cos ωx＝cos
例5 A 变1A
例6解：(1)由题意，得A＝2，ω＝＝2，当x＝时，2sin＝±2，即sin＝±1，所以＋φ＝kπ＋，解得φ＝kπ＋，又0＜φ＜，所以φ＝.故f(x)＝2sin.
(2)g(x)＝2sin－2sin＝2sin 2x－2sin
＝2sin 2x－2＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z.







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