第三章 函数 单元测试（含解析）

章末综合测评(三)　函数
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
D　[A、B中两函数的定义域不同，C中两函数的解析式不同．]
2．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1,0)∪(0，＋∞)
D．R
C　[要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.]
3．方程2x＝的解的个数是(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
C　[函数y＝2x的图像与函数y＝的图像有2个交点，故选C.]
4．f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是增函数；g(x)为偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，则在(0，＋∞)上(　　)
A．f(x)和g(x)都是增函数
B．f(x)和g(x)都是减函数
C．f(x)为增函数，g(x)为减函数
D．f(x)为减函数，g(x)为增函数
C　[定义在R上的奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，定义在R上的偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故应选C.]
5．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)
A．f＜f(－1)＜f(2)
B．f(－1)＜f＜f(2)
C．f(2)＜f(－1)＜f
D．f(2)＜f＜f(－1)
D　[由f(x)是偶函数，得f(2)＝f(－2)．又因为f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜－＜－1，则f(2)＜f＜f(－1). ]
6．若函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x－1，则当x＜0时，有(　　)
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0
C．f(x)f(－x)≤0 D．f(x)－f(－x)＞0
C　[∵函数f(x)为奇函数，令x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝－x－1.∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，f(x)＝x＋1，此时f(x)＝x＋1的函数值符号不确定，因此排除选项A，B.
∵f(x)f(－x)＝
∴f(x)f(－x)≤0成立，选项C符合题意．]
7．函数y＝3x＋(x≥2)的值域是(　　)
A. B．[6＋，＋∞)
C．[6，＋∞) D．[，＋∞)
B　[∵y＝3x＋在[2，＋∞)上是增函数，
∴ymin＝3×2＋＝6＋.
∴y＝3x＋(x≥2)的值域为[6＋，＋∞)．]
8．已知函数f＝x2＋，则f(3)等于(　　)
A．8 B．9 C．11 D．10
C　[∵f＝x2＋＝2＋2，
设x－＝t，∴f(t)＝t2＋2，
即f(x)＝x2＋2，
∴f(3)＝32＋2＝11.]
9．若函数f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则F(x)在(－∞，0)上(　　)
A．有最小值－5 B．有最大值－5
C．有最小值－1 D．有最大值－3
C　[设h(x)＝af(x)＋bg(x)，则F(x)＝h(x)＋2，且h(x)为奇函数．当x＞0时，F(x)≤5，即h(x)＋2≤5，
∴h(x)≤3.设x＜0，则－x＞0，∴h(－x)≤3，h(x)≥－3，∴F(x)＝h(x)＋2≥－1.]
10．在下列区间中，函数f(x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为(　　)
A. B.
C. D.
B　[因为f＝3＋4×－1＝＞0，f(0)＝－1＜0，所以f(x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为.]
11．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(　　)
A．f(2)＜f(1)＜f(4)
B．f(1)＜f(2)＜f(4)
C．f(4)＜f(2)＜f(1)
D．f(2)＜f(4)＜f(1)
A　[由f(2＋t)＝f(2－t)，可知抛物线的对称轴是直线x＝2，再由二次函数的单调性，可得f(2)＜f(1)＜f(4)．]
12．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
B　[设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，
则y＝＝＋.
∵x＞0，
∴＋≥2＝20，
当且仅当＝，即x＝80时取等号．
即每批生产80件，平均每件产品的费用最小．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝则f(－3)＝________.
3　[∵－3＜0，∴f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)．
∵1＞0，∴f(1)＝2×1＋1＝3，∴f(－3)＝3.]
14．已知f(x)为R上的减函数，则满足f＞f(1)的实数x的取值范围为________．
(－∞，0)∪(1，＋∞)　[∵f(x)在R上是减函数，∴＜1，
解得x＞1或x＜0.]
15.用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
　[设f(x)＝x3－6x2＋4，显然f(0)＞0，f(1)＜0，
又f＝3－6×2＋4＞0，
∴下一步可断定方程的根所在区间为.]
16．对于定义在R上的任意函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若二次函数f(x)＝x2－ax＋1没有不动点，则实数a的取值范围是________．
(－3,1)　[若二次函数f(x)＝x2－ax＋1有不动点，则方程x2－ax＋1＝x，即x2－(a＋1)x＋1＝0有实数解．∴Δ＝(a＋1)2－4＝a2＋2a－3＝(a＋3)(a－1)≥0，∴a≤－3或a≥1.
∴当函数f(x)＝x2－ax＋1没有不动点时，实数a的取值范围是－3＜a＜1.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直角三角形ABC的面积是y，AB⊥AC，且|AB|＝x－1，|AC|＝x＋1，求y关于x的函数解析式，并求出函数的定义域．
[解]　由于△ABC是直角三角形，则有y＝|AB|·|AC|＝(x－1)(x＋1)＝x2－.
由题意得解得x＞1.
所以函数的定义域是(1，＋∞)．
18．(本小题满分12分)若f(x)对x∈R恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求f(x)．
[解]　2f(x)－f(－x)＝3x＋1，①
将①中的x换为－x，得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，②
①②联立，得
把f(x)与f(－x)看成未知数，解得f(x)＝x＋1.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)．
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图像；
(3)写出函数的值域．
[解]　(1)由于函数定义域是R，且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)f(x)＝
图像如图所示．
(3)由函数图像知，函数的值域为[2，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
[解]　(1)f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，
∴最大值为f(4)＝＝，最小值为f(1)＝＝.
21．(本小题满分12分)学校食堂定期从某粮店以每吨1 500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元．已知食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．
(1)该食堂多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问：食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．
[解]　(1)设每t天购进一次大米，易知每次购进大米量为t吨，那么库存总费用即为
2[t＋(t－1)＋…＋2＋1]＝t(t＋1)．
若设平均每天所支付的总费用为y1，则
y1＝[t(t＋1)＋100]＋1 500＝t＋＋1 501≥1 521，
当且仅当t＝，即t＝10时，等号成立，
故应每10天购买一次大米，能使平均每天支付的总费用最少．
(2)若接受价格优惠条件，则至少每20天购买一次，
设t(t≥20)天购买一次，每天支付费用为y2，
则y2＝[t(t＋1)＋100]＋1 500×0.95＝t＋＋1 426，
令f(t)＝t＋(t≥20)，
设20≤t1＜t2，
f(t2)－f(t1)＝＞0，
即f(t)在[20，＋∞)上单调递增．
故当t＝20时，y2取最小值为20＋＋1 426＝1 451.因为1 451＜1 521，所以该食堂应接受价格优惠条件．
22．(本小题满分12分)设函数f(x)的定义域为U＝{x|x∈R，且x＞0}，且满足条件f(4)＝1.对任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有＞0.
(1)求f(1)的值；
(2)如果f(x＋6)＋f(x)＞2，求x的取值范围．
[解]　(1)因为对任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
(2)设0＜x1＜x2，则x2－x1＞0.
又因为当x1≠x2时，＞0，
所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
所以f(x)在定义域内为增函数．
令x1＝x2＝4，得f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝1＋1＝2，
即f(16)＝2.
当即x＞0时，
原不等式可化为f[x(x＋6)]＞f(16)．
又因为f(x)在定义域上为增函数，
所以x(x＋6)＞16，解得x＞2或x＜－8.
又因为x＞0，所以x＞2.
所以x的取值范围为(2，＋∞)．