第二章 等式与不等式 单元测试（含解析）

章末综合测评(二)　等式与不等式
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A.＜　　　　　　B.＞
C．a＞b2 D．a2＞2b
C　[取a＝2，b＝－，满足a＞1＞b＞－1，但＞，故A错；取a＝2，b＝，满足a＞1＞b＞－1，但＜，故B错；取a＝，b＝，满足a＞1＞b＞－1，但a2＜2b，故D错，只有C正确．]
2.已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＞＞ B.＞＞a
C.＞＞a D.＞a＞
C　[∵a＜0，b＜－1，∴＞0，b2＞1，∴＜1.
又∵a＜0，∴0＞＞a，∴＞＞a.
故选C.]
3．不等式－x2－x＋2≥0的解集为(　　)
A．{x|x≤－2或x≥1} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|－2≤x≤1} D．?
C　[不等式－x2－x＋2≥0可化为x2＋x－2≤0，即(x＋2)(x－1)≤0，所以－2≤x≤1，即解集为{x|－2≤x≤1}．]
4.已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则M∩N＝(　　)
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}
B　[由于N＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，又因为M＝{x|0≤x＜2}，所以M∩N＝{x|0≤x＜2}．]
5．下列方程，适合用因式分解法解的是(　　)
A．x2－4x＋1＝0 B．2x2＝x－3
C．(x－2)2＝3x－6 D．x2－10x－9＝0
C　[C中方程化简后可以用因式分解法求解．]
6．求方程组的解集时，最简便的方法是(　　)
A．先消x得
B．先消z得
C．先消y得
D．得8x－2y＋4z＝11，再解
C　[第一个方程中没有y，所以消去y最简便．]
7．若不等式4x2＋(m－1)x＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．m＞5或m＜－3 B．m≥5或m≤－3
C．－3≤m≤5 D．－3＜m＜5
D　[依题意有(m－1)2－16＜0，所以m2－2m－15＜0，解得－3＜m＜5.]
8．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k的值是(　　)
A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4
B　[∵x2－6x＋k＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k，∴＋＝＝＝3，解得k＝2.
经检验，k＝2满足题意．]
9．某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是(　　)
A．200台 B．150台
C．100台 D．50台
B　[要使生产者不亏本，则应满足25x≥3 000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故最低产量是150台．]
10．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)
A．a＜b＜＜
B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜
D．a＜b＜＜
B　[因为0＜a＜b，所以由均值不等式可得＜，且＜＝b，又a＝＜，所以a＜＜＜b.]
11．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a2＋b2＋c2≥2 B．a＋b＋c≤
C.＋＋≤2 D．(a＋b＋c)2≥3
D　[由均值不等式知a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，于是a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝1，故A错；而(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)＝3，故D项正确，B项错误；令a＝b＝c＝，则ab＋bc＋ca＝1，但＋＋＝3＞2，故C项错误．]
12．若x＞1，则4x＋1＋的最小值等于(　　)
A．6　　　　B．9 C．4　　　　D．1
B　[由x＞1，得x－1＞0，于是4x＋1＋＝4(x－1)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当4(x－1)＝，即x＝时，等号成立．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若{(x，y)|(2,1)}是关于x，y的方程组的解集，则(a＋b)(a－b)＝________.
－15　[∵{(x，y)|(2,1)}是关于x，y的方程组的解集，∴解得
∴(a＋b)(a－b)＝(－1＋4)×(－1－4)＝－15.]
14．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集为(－∞，m)∪(1，＋∞)，则m＝________.
－3　[由已知可得a＜0且1和m是方程ax2－6x＋a2＝0的两根，于是a－6＋a2＝0，解得a＝－3，代入得－3x2－6x＋9＝0，所以方程另一根为－3，即m＝－3.]
15．若关于x的不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
(－1,3)　[依题意有要使不等式组的解集不是空集，应有a2＋1＜4＋2a，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.]
16．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
[9，＋∞)　[∵ab＝a＋b＋3≥2＋3，
∴ab－2－3≥0，即(－3)(＋1)≥0，
∴－3≥0，即≥3，∴ab≥9.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求下列不等式的解集．
(1)－4＜－x2－x－；
(2)(x＋3)2≥(1－2x)2.
[解]　(1)原不等式可化为x2＋x＋＜4，
化简，得x2＋2x－5＜0.
因为x2＋2x－5＝x2＋2x＋1－1－5＝(x＋1)2－6，
所以原不等式等价于(x＋1)2＜6，
开平方，得|x＋1|＜，
解得－－1＜x＜－1.
所以原不等式的解集为{x|－－1＜x＜－1}．
(2)移项，得(x＋3)2－(1－2x)2≥0，
因式分解，得(3x＋2)(x－4)≤0，
解得－≤x≤4，
所以原不等式的解集为.
18.(本小题满分12分)若x，y为正实数，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
[解]　由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，
∴＋＝1.∵x，y为正实数，
∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋
＝10＋2≥10＋2×2×＝18，
当且仅当＝，即x＝2y时，取等号．
又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.
19．(本小题满分12分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
[解]　(1)因为ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为0≤a≤1.
(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，
即0≤a<时，
a②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a1－a综上所述，当0≤a<时，解集为{x|a＜x＜1－a}；
当a＝时，解集为?；
当20．(本小题满分12分)已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
[解]　(1)Δ＝4a2－4a(a－6)＝24a，∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ≥0，即a≥0.
又∵a－6≠0，∴a≠6，∴a≥0且a≠6.
由题可知x1＋x2＝，x1x2＝.
∵－x1＋x1x2＝4＋x2，即x1x2＝4＋x1＋x2，
∴＝4＋，解得a＝24.经检验，符合题意．
∴存在实数a，a的值为24.
(2)(x1＋1)(x2＋1)＝x1＋x2＋x1x2＋1＝＋＋1＝.∵为负整数，∴整数a的值应取7,8,9,12.
21．(本小题满分12分)已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
[解]　法一：由题意可得a＜0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴由根与系数的关系得
∵a＜0,0＜α＜β，∴由②得c＜0，
则cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋x＋＞0.
①÷②，得＝＝－＜0.
由②得＝＝·＞0.
∴，为方程x2＋x＋＝0的两根．
又∵0＜α＜β，∴0＜＜，
∴不等式x2＋x＋＞0的解集为x或x＞，即不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为x或x＞.
法二：由题意知a＜0，
由cx2＋bx＋a＜0，得x2＋x＋1＞0.
将法一中的①②代入，
得αβx2－(α＋β)x＋1＞0，
即(αx－1)(βx－1)＞0.
又∵0＜α＜β，∴0＜＜.
∴所求不等式的解集为.
22．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
[解]　(1)y＝＝≤
＝≈11.08.
当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1 600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内．