课时分层作业(八) 充分条件与必要条件
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是( )
A．a＞b B．a＞b－1
C．a＞b＋1 D．a2＞b 2
C [a＞b＋1＞b，反之不成立，所以选C.]
2．a<0，b<0的一个必要条件为( )
A．a＋b<0 B．a－b>0
C.>1 D.＜－1
A [a＋b<0D/?a<0，b<0，而a<0，b<0?a＋b<0.]
3．设a，b∈R，则“a＋b＞4”是“a＞2且b＞ 2”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若a＞2，b＞2，则a＋b＞4，但当a＝4, b＝1时也有a＋b＞4，故选B.]
4．下列命题中q是p的必要条件的是( )
A．p：A∩B＝A，q：A?B
B．p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1
C．p：|x|＜1，q：x＜0
D．p：x2＞2，q：x＞ 2
A [由A∩B＝A能得出A?B，其余选项都不符合要求．]
5．设x∈R，则“x>”是“x＜－1或x＞”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [“x＞”是“x＜－1或x＞”的充分不必要条件．]
二、填空题
6．设a∈R，则“a<1”是“a2<1”成立的________条件．(填“充分”或“必要”)
必要 [由“a<1”推不出“a2<1”，而由“a2<1”能推出“a<1”，故“a<1”是“a2<1”成立的必要条件．]
7．设集合M＝{x|0
必要 [因为N(M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件．]
8．已知条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是 q的充分条件，则a的取值范围是________．
(－∞，1] [p：x＞1，若p是q的充分条件，则p(q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1.]
三、解答题
9.指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(2)p：a[解] 在(1)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)·(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；
在(2)中，若a10．已知p：x－2＞0，q：ax－4＞0，其中a∈R.
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[解] (1)设命题p：A＝{x|x－2＞0}，即A＝{x|x＞2}，
命题q：B＝{x|ax－4＞0}，
因为p是q的充分不必要条件，
则A(B，
即，解得a＞2，
所以a的取值范围是(2，＋∞)．
(2)由(1)得：B(A，
①当a＝0时，B＝?，满足题意；
②当a＞0时，由B(A得：＞2，即0＜a＜2；
③a＜0时，显然不满足题意，
综合①②③得：实数a的范围是(0,2]．
[等级过关练]
1．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2
C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
B [对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立，也不符合题意．]
2.命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
C [命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.]
3．已知p：－4－1≤a≤6 [化简p：a－44．已知命题p：1－c＜x＜1＋c(c＞0)，命题q：x＞7或x＜－1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是________．
(0，＋∞) [命题p对应的集合A＝{x|1－c＜x＜1＋c，c＞0}，同理，命题q对应的集合B＝{x|x＞7或x＜－1}．
因为p是q的既不充分又不必要条件，
所以A∩B＝?或A不是B的子集且B不是A的子集，
所以①或②
解①得c≤2，解②得c≥－2.
又c＞0，综上得c＞0.]
5．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？
[解] (1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，
则只要?{x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}?，这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．
课时分层作业(九) 充要条件
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [由A∩B＝A可知A?B；反过来A?B，则A∩B＝A，故选C.]
2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C.充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [当a＝3时，A＝{1,3}，所以A?B，即a＝3能推出A?B；
反之当A?B时，a＝3或a＝2，所以A?B成立，推不出a＝3.
故“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件，故选A.]
3.已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A?B”是“a＞5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为|x|≤4?－4≤x≤4，所以A＝{x|－4≤x≤4}．又A?B，所以a≥4，故选B.]
4．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A．ab＝0 B．ab＞0
C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0
D [a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.]
5.“xy≥0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] A
二、填空题
6．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的______条件．
充要 [因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，
所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．]
7．若p：x－3<0是q：2x－3{m|m＞3} [由x－3<0得x<3，由2x－3由p是q的充分不必要条件知
{x|x<3}(，
所以(m＋3)＞3，解得m＞3.]
8.设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为________．
乙 [对于图甲，开关S1闭合灯亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合，
∴A是B的充分不必要条件．
对于图乙，只有一个开关，灯如果要亮，开关S1必须闭合，
∴A是B的充要条件．
对于图丙，∵灯亮必须S1和S2同时闭合，
∴A是B的必要不充分条件．
对于图丁，灯一直亮，跟开关没有关系，
∴A是B的既不充分也不必要条件．]
三、解答题
9．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[解] ①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足?0＜a≤.
综上，若方程至少有一个负实根，则a≤.
反之，若a≤，则方程至少有一个负实根．
10．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[证明] 充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)，
∵方程有一正根和一负根，设为x1，x2，
则由根与系数的关系得x1x2＝<0，
即ac<0.
综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[等级过关练]
1.若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
B [由A∪B＝C知，x∈A?x∈C，x∈CD/?x∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]
2．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max，，·min，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]
3．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.
3或4 [x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且m≤4.又m∈N*，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．]
4．设p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
[因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件，
所以解得0≤a≤.]
5．已知a，b，c∈R，a≠0，判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．
[解] “a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，
若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，
若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，
综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.
课时分层作业(七) 全称量词命题与存在量词命题的否定
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A．?x∈R，|x|>0 B．?x∈R，|x|>0
C．?x∈R，|x|≤0 D．?x∈R，|x|≤0
C [由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.]
2．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是( )
A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0
D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0
D [存在量词命题的否定是全称量词命题．]
3．命题“?x0∈R，f(x0)＜0”的否定是( )
A．?x0?R，f(x0)≥0 B．?x?R，f(x)≥0
C．?x∈R，f(x)≥0 D．?x∈R，f(x)＜0
C [∵命题“?x0∈R，f(x0)＜0”是存在量词命题，
∴否定命题为：?x∈R，f(x)≥0.故选C.]
4．已知命题p：?n∈N,2n>1 000，则p为( )
A．?n∈N,2n≤1 000 B．?n∈N,2n>1 000
C．?n∈N,2n≤1 000 D．?n∈N,2n>1 000
A [存在量词命题的否定为全称量词命题，“>”的否定为“≤”．]
5．下列命题是真命题的为( )
A．?x∈R，|x|＞0 B．?x∈R，|x|＜0
C．?x∈R，x2≥0 D．?x∈R，x2＜0
C [对于A，取x＝0，则|0|＞0不成立，故A错；对于B，因|x|≥0总成立，故B错；对于C，根据二次函数y＝x2的性质，有对任意的x∈R, x2≥0总成立，故C正确，因此D不正确．选C.]
二、填空题
6．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
对任意x∈R，x2＋2x＋5≠0 [存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．]
7．若命题“?x＜2 019，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
[2 019，＋∞) [由于命题“?x＜2 019，x＞a”是假命题， 因此其否定“?x＜2 019，x≤a”是真命题，所以a≥2 019.]
三、解答题
8．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)非负数的平方是正数；
(3)有的四边形没有外接圆；
(4)?x，y∈Z，使得x＋y＝3；
(5)?x∈Z，x2与3的和不等于0；
(6)有些三角形的三个内角都为60°.
[解] (1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不平行．”由平行四边形的定义知，这是假命题．
(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数．”因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．
(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题．
(4)命题的否定：“?x，y∈Z，都有x＋y≠3”．
∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
∴原命题为真命题，命题的否定为假命题．
(5)命题的否定：?x∈Z，x2与3的和等于0.是假命题．
(6)命题的否定：任意一个三角形的三个内角不都为60°.是假命题．
9．命题p是“对某些实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定；
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
[解] (1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b＞0.
(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集．
通过画数轴(图略)可看出，a，b应满足的条件是b＜a.
[等级过关练]
1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则( )
A．p：?x∈A,2x?B B．p：?x?A,2x?B
C．p：?x?A,2x∈B D．p：?x∈A,2x?B
D [根据题意可知命题p：?x∈A,2x∈B的否定是p：?x∈A,2x?B.]
2．下列命题的否定是真命题的为( )
A．p1：每一个合数都是偶数
B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C．p3：有些实数的绝对值是正数
D．p4：某些平行四边形是菱形
A [若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p1为全称量词命题，且是假命题，则p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即p2，p3，p4均为假命题．]
3．给出四个命题：①末尾数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数，下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题
B．①②是全称量词命题
C．②③是存在量词命题
D．四个命题中有两个假命题
C [①末尾数是偶数的整数能被2整除，是全称量词命题，是真命题；②有的菱形是正方形，是存在量词命题，是真命题；③存在实数x，x＞0，是存在量词命题，是真命题；④对于任意实数x,2x＋1是奇数，是全称量词命题，是假命题；故A，B，D错误，C正确．故选C.]
4．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________．
{a|a≤1} [存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，
∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.]
5．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：每一个素数都是奇数；
(2)p：某些平行四边形是菱形；
(3)可以被5整除的数，末位是0；
(4)能被3整除的数，也能被4整除．
[解] (1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，p：存在一个素数不是奇数，是真命题．
(2)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．
(3)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0，是真命题．
(4)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除，是真命题.
课时分层作业(六) 命题与量词
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
A．2 019是一个大数
B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C．y＝kx＋b(k≠0)是一次函数吗？
D．a≤15
B [A，D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题．]
2．下列命题是假命题的个数为( )
①多边形的外角和与边数有关；
②{x∈N|x3＋1＝0}不是空集；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；
④若整数m是偶数，则m是合数．
A．1 B．2 C．3 D．4
C [因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．]
3．“存在集合A，使?( A”，对这个命题，下面说法中正确的是( )
A．全称量词命题，真命题
B．全称量词命题，假命题
C．存在量词命题，真命题
D．存在量词命题，假命题
C [当A≠?时，?( A，是存在量词命题， 且为真命题．]
4．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，x2＝x
D．一次函数在定义域上是单调函数
D [A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以是假命题；B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是存在量词命题．故选D. ]
5．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2 C．0 D．－3
C [方程无实根应满足Δ＝a2－4＜0，即a2＜4，故当a＝0时适合条件．]
二、填空题
6．有下列命题：①有的质数是偶数；②与同一条直线平行的两条直线平行；③有的三角形有一个内角为60°；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．其中是全称量词命题的为________，是存在量词命题的为________．(填序号)
②④ ①③ [①③是存在量词命题，②④是全称量词命题．]
7．下列存在量词命题是真命题的序号是________．
①有些不相似的三角形面积相等； ②存在一实数x0，使x＋x0＋1＜0; ③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身．
①③④ [①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；
②对任意x∈R，x2＋x＋1＝2＋＞0，所以不存在实数x0，使x＋x0＋1＜0，为假命题； ③当实数a大于0时，结论成立，为真命题； ④如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.]
8．命题：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
0 [对于方程x2－3x＋2＝0，Δ＝(－3)2－4×2>0，
∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．
当且仅当x＝±时，x2＝2，
∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题．
对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题．
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．]
三、解答题
9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
(1)任何一个实数除以1，仍等于这个数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)?x∈R，(x＋1)2≥0；
(4)x∈R，x2＜2.
[解] (1)命题中含有全称量词“任何一个”，故是全称量词命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题．(3)命题中含有全称量词“?”，是全称量词命题．(4)命题中含有存在量词“?”，是存在量词命题．
10.若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．
[解] 因为ax2－2ax－3＞0不成立，
所以ax2－2ax－3≤0恒成立．
(1)当a＝0时，－3≤0成立；
(2)当a≠0时，应满足解之得－3≤a＜0.
由(1)(2)，得a的取值范围为[－3,0].
[等级过关练]
1．下列语句中为命题的是( )
A．m＋n B．{0}∈N
C．函数与图像 D．2x＞3
B [只有B选项可判断真假．故选B.]
2．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a＞b，则a＋c＞b＋c；③矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B [①由xy＝0得到x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|＝0不正确，是假命题；②当a＞b时，有a＋c＞b＋c成立，正确，所以是真命题；③矩形的对角线不一定垂直，不正确，是假命题．]
3．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a≤1
C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1
A [当a≤0时，显然存在x0∈R，
使ax＋2x0＋a＜0；
当a＞0时，由Δ＝4－4a2＞0，
解得－1＜a＜1，故0＜a＜1.
综上所述，实数a的取值范围是a＜1.]
4．下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；②若ab＝0，则a2＋b2＝0；③若a＞b，则ac2＞bc2；④若M∩N＝M，则N?M.其中假命题的个数是________．
4 [①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；③当c＝0时不成立；④M∩N＝M，说明M?N.]
5．已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围．
[解] ∵关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空， ∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥，∴实数a的取值范围为.
