课时分层作业(十三) 不等关系与不等式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
C [对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x＜y，故B不正确；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误．]
2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则( )
A．a＞b B．a＜b
C．a≥b D．a≤b
C [∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
∴a≥b.]
3．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不能确定
A [M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5.故选A.]
4．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为( )
A.＜ B.＞
C.＜ D.＞
B [糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度增加了，故＞.]
5．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是( )
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
C [用作商法比较，由题意x，y＞0，
∵＝＝＜1，∴x＜y.]
二、填空题
6．已知a，b为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“>”“<”或“＝”)
< [因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．]
7．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为________．
8(x＋19)>2 200 [因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示．]
8．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
m3>m2－m＋1 [∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.∴m3＞m2－m＋1.]
三、解答题
9．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下表：
方式
效果
种类
轮船运输量/t
飞机运输量/t
粮食
300
150
石油
250
100
现在要在一天内至少运输2 000t粮食和1 500t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
[解] 设需要安排x艘轮船和y架飞机．
则
即
10．已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小．
[解] ∵－(1－x)＝＝，
当x＝0时，＝1－x；
当1＋x＜0，即x＜－1时，＜0，∴＜1－x；
当1＋x＞0且x≠0，即－1＜x＜0或x＞0时，＞0，
∴＞1－x.
[等级过关练]
1．足球赛期间，某球迷俱乐部一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少 3 辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满．则A队有出租车( )
A．11辆 B．10辆 C．9辆 D．8辆
B [设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆，由题意得
解得∴9＜x＜11.
而x为正整数，故x＝10.]
2．将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为( )
A. B.
C．2x－5≥1或5－2x≥1 D.
D [由题意，可知另一段绳子的长度为(5－x)m，因为两段绳子的长度之差不小于1 m，所以
即]
3．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A，B两点间的距离d满足的不等式为________．
2≤d≤2 [最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长2.故2≤d≤2.]
4．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类
每件需要人员数
每件产值(万元/件)
A类
7.5
B类
6
今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产________件，最高产值为________万元．
20 330 [设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20.
由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，
当且仅当x＝20时，y取最大值330.
所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．]
5．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若a≠b，试判断哪辆车先到达B地？
[解] 设A，B两地路程为2s，甲车走完A地到B地的路程所用时间为t1，则a＋b＝2s，t1＝，
乙车走完A地到B地的路程所用的时间为t2，
则t2＝＋.
又t1－t2＝－－
＝
＝＜0(∵a≠b，a＞0，b＞0，s＞0)，
∴t1＜t2，即甲车先到达B地．
课时分层作业(十四) 不等式及其性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
B [选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.]
2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A．a>> B.>>a
C.>a> D.>>a
D [取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，∴>>a.故选D.]
3．已知a>b，则下列不等式：①a2>b2；②<；③>.其中不成立的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
D [虽然已知a>b，但并不知道a，b的正负，如有2>－3，但22<(－3)2，故①错；2>－3?>－，②错；若有a＝1，b＝－2，则＝，＝1，故③错．]
4．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则( )
A．b<0，c<0 B．b>0，c>0
C．b>0，c<0 D．0
D [由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，又∵b>c，∴05．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A.＜ B．a2＞b2
C.＞ D．a|c|＞b|c|
C [对A，若a＞0＞b，则＞0，＜0，
此时＞，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，
∴B不成立；
对C，∵c2＋1≥1，且a＞b，∴＞恒成立，∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]
二、填空题
6．给出以下四个命题：
①a＞b?an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|?an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0?＞；④a＜b＜0?＞.其中真命题的序号是________．
②③ [①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；
③a＜b＜0，得＞成立；
④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故＜，④不成立．]
7．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列：________.
y＜－y＜x [∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜x.]
8．若8(2,5) [∵2∵8三、解答题
9．(1)a(2)已知a>b，<，求证：ab>0.
[证明] (1)由于－＝
＝，
∵a∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，
∴<0，故<.
(2)∵<，
∴－<0，
即<0，
而a>b，
∴b－a<0，
∴ab>0.
10．已知：3＜a＋b＜4,0＜b＜1，求下列各式的取值范围．
(1)a；(2)a－b；(3).
[解] (1)∵3＜a＋b＜4,0＜b＜1，
∴－1＜－b＜0，
∴2＜a＋b＋(－b)＜4，
即2＜a＜4.
(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.
又∵2＜a＜4，
∴1＜a－b＜4.
(3)∵0＜b＜1，∴＞1，
又∵2＜a＜4，∴＞2.
[等级过关练]
1．a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是( )
A．ac＞bc B．ab＞ac
C．a|b|＞c|b| D．a2＞b2＞c2
B [∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，∴A不正确．
对于B，ab＞ac?a(b－c)＞0.又b－c＞0，a＞0，故B正确；由于|b|有可能为0，故C不正确，若a＝2，b＝1，c＝－3，显然a＋b＋c＝0，但a2＞b2且b2＜c2，故D不正确．]
2．若α，β满足－＜α＜β＜，则2α－β的取值范围是( )
A．－π＜2α－β＜0 B．－π＜2α－β＜π
C．－＜2α－β＜ D．0＜2α－β＜π
C [∵－＜α＜，∴－π＜2α＜π.∵－＜β＜，
∴－＜－β＜，∴－＜2α－β＜.又α－β＜0，α＜，∴2α－β＜.故－＜2α－β＜.]
3．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．
[3,8] [∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴3≤z≤8.]
4．设a，b为正实数，有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)
①④ [对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1?a－b＝?a－b>0?a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则≥1?a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．
对于②，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1.
对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.
对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，
∴a≠b，不妨设a>b>0.
∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.
即a3－b3>(a－b)3>0，
∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，
∴0即|a－b|<1.因此④正确．]
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：
(1)该函数图像过原点；
(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；
(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4.
求当x＝－2时，y的取值范围．
[解] ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图像过原点，
∴c＝0，
∴y＝ax2＋bx.
又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.①
当x＝1时，3≤a＋b≤4，②
∴当x＝－2时，y＝4a－2b.
设存在实数m，n，使得
4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，
∴解得m＝1，n＝3，
∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．
由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，
∴3＋3≤4a－2b≤4＋6.
即6≤4a－2b≤10，
故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.
课时分层作业(十五) 不等式的解集 一元二次不等式的解法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．不等式组的解集是( )
A. B．{x|－1＜x＜3}
C. D．{x|－1＜x}
A [由x＋1＞0?x＞－1,2x＋1≥0?x≥－，－x＋3＞0?x＜3，各不等式的解集的交集为.]
2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于( )
A．{1,2,3} B．{1,2}
C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}
B [(2x＋1)(x－3)<0，∴－又x∈N*且x≤5，则x＝1,2.]
3．不等式|x－a|＜b的解集是{x|－3＜x＜9}，则a，b的值分别是( )
A．a＝3，b＝6 B．a＝－3，b＝9
C．a＝6，b＝3 D．a＝－3，b＝6
A [不等式|x－a|＜b，等价于－b＜x－a＜b，等价于a－b＜x＜a＋b，
再根据不等式|x－a|＜b的解集是{x|－3＜x＜9}，可得a－b＝－3，a＋b＝9，
求得a＝3，b＝6，故选A.]
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2C [由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，
∴ax2＋bx＋c＝ax2－ax－6a>0，
∵a<0，∴x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，
∴－25．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．0＜x＜2 B．－2＜x＜1
C．x＜－2或x＞1 D．－1＜x＜2
B [根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是－2＜x＜1.]
二、填空题
6．已知数轴上A(－1)，B(x)，C(6)，若线段AB的中点到C的距离小于5，则x的取值范围是________．
{x|3＜x＜23} [设AB的中点为D，则D，因中点到C的距离小于5，可得＜5,1＜＜11,3＜x＜23.]
7．若关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是________．
1 [将原不等式化为x2＋(m－2)x＜0，即x(x＋2m－4)＜0，故0,2是对应方程x(x＋2m－4)＝0的两个根，代入得m＝1.]
8．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B?A，则a的取值范围为________．
{a|a≤1} [A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x若B?A，如图，则a≤1.
]
三、解答题
9．求下列不等式的解集：
(1)x2－5x＋6>0；
(2)－x2＋3x－5>0.
[解] (1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图像是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图像如图①.根据图像可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图像是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图像如图②.根据图像可得不等式的解集为?.
10．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
[解] 原不等式可化为
[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，
讨论a＋1与2(a－1)的大小．
(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1)．
(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4.
(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)或x综上：当a<3时，解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，
当a＝3时，解集为{x|x≠4}，
当a>3时，解集为{x|x>2(a－1)或x[等级过关练]
1．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是( )
A. B．R
C. D．?
A [因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图像与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D，故选A.]
2．若不等式|x－3|＜4的解集为{x|a＜x＜b}，则不等式(x＋2)(x2－ax－b＋1)≤0的解集为( )
A．(－∞，－3)
B．(－∞，－3)∪{2}
C．(－∞，2)
D．(－∞，－3]∪[－2,2]
D [由|x－3|＜4，得－1＜x＜7.
∵不等式|x－3|＜4的解集为{x|a＜x＜b}，
∴a＝－1，b＝7.
∴由(x＋2)(x2－ax－b＋1)≤0，得(x＋2)(x2＋x－6)≤0，
∴(x＋2)(x－2)(x＋3)≤0，
由数轴标根法可得，x≤－3，或－2≤x≤2.
∴不等式的解集为(－∞，－3]∪[－2,2]，故选D.]
3．不等式＞1的解集是________．
{x|0＜x＜3} [∵(x－1)2＞0，∴原不等式等价于x＋1＞(x－1)2，∴x2－3x＜0，∴0＜x＜3，不等式的解集为{x|0＜x＜3}．]
4．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A?{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为________．
[设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A?{x|1≤x≤3}，
所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，
若A＝?，则Δ＝4a2－4(a＋2)＜0，
即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2.
若A≠?，
则
即所以2≤a≤.
综上，a的取值范围为.]
5．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
[解] 原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是.
综上，当a<－1时，原不等式的解集为，当a>时，原不等式的解集为.
课时分层作业(十六) 均值不等式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．sA [∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.]
2．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
D [a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；
a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；
a＝4，b＝16，则＜，故C错；
由均值不等式可知D项正确．]
3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是( )
A．ab≤2 B．ab≤
C.≥ D.≤2
D [由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤2，∴≥2，故选D.]
4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )
A．a＞b＞＞
B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞
D.a＞＞＞b
B [a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确．]
5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.＞ B.＋≤1
C.≥2 D.≤
D [由≤2得ab≤4，
∴≥，故A错；
B中，＋＝＝≥1，故B错；
由a＋b＝4，得≤＝＝2，故C错；
由≥2得a2＋b2≥2×2＝8，
∴≤，D正确．]
二、填空题
6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
≤ [∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴≤＝.]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤ [用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]
8．已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
36 [y＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时y取得最小值4.又由已知x＝3时，ymin＝4，
∴＝3，即a＝36.]
三、解答题
9．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4.
[证明] ＋＝＋
＝1＋＋＋1
＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b时“＝”成立．
10．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.
[证明] 左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1
＝＋＋－3.
∵a，b，c为正数，
∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
∴＋＋－3≥3，
即＋＋≥3.
[等级过关练]
1．下列不等式一定成立的是( )
A．x＋≥2 B.≥
C.≥2 D．2－3x－≥2
B [A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误．
B项中，＝≥，∴B正确．
而对于C，＝－，
当x＝0时，＝<2，显然选项C不正确．
D项中取x＝1,2－3x－<2，∴D错误．]
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
C [∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤2＝1，
而4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，
∴a2＋b2≥2.]
3．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________．
2 [xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．]
4．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；
④＋≥2.
其中恒成立的不等式是________．
①② [由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；
②＝
＝≥
＝＝2，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]
5．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋.
[证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴≥，≥，≥，∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等，
∴等号不成立，
∴a＋b＋c＞＋＋.
课时分层作业(十七) 均值不等式的应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a C. D．3
D [∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.]
2．已知x＜0，则y＝x＋－2有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
C [∵x<0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．]
3．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．－3
C．3－2 D．－1
C [∵x＞0，∴y＝3－≤3－2＝3－2.当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立．]
4．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
C [x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋4
＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.
当且仅当
即时等号成立，故x＋y的最小值为9.]
5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25 C．9 D．36
B [(1＋x)(1＋y)≤2
＝2＝2＝25，
当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，
(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.]
二、填空题
6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
[答案] 1
7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
56 [设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，
即x＝12 dm时等号成立．]
8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．
[6，＋∞) [∵a＋b＋3＝ab≤2，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．]
三、解答题
9．当x<时，求函数y＝x＋的最大值．
[解] y＝(2x－3)＋＋
＝－＋，
∵当x<时，3－2x>0，
∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－.
10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
[解] 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－＝118－
＝118－
＝130－
≤130－2＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．
[等级过关练]
1．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
D [y＝＝，
又∵－40.
故y＝－≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．]
2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2
D [∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2＝8，当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，
即8>m2，解得－23．若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
[1＝x＋4y≥2＝4，
∴xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立．]
4．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
[x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤2＋1.∴(x＋y)2≤1.
∴－≤x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立．]
5．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，试求这两个数．
[解] 设＋＝1，a，b∈N*，
∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)
＝1＋9＋＋
≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，即b＝3a时等号成立．
又＋＝1，∴＋＝1，∴a＝4，b＝12.
这两个数分别是4,12.
