课时分层作业(十一) 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列一元二次方程的解集为空集的是( )
A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0
C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
B [A.∵Δ＝22－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，此选项不合题意；
B．∵Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，∴方程没有实数根，此选项符合题意；
C．∵Δ＝0－4×1×(－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意；
D．∵Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意．故选B.]
2．用配方法解下列方程，配方正确的是( )
A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
D [A.2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝3，故选项错误；B.x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝10，故选项错误；C.x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝25，故选项错误；D.x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4，故选项正确．故选D.]
3．一元二次方程x2＋6x＋9＝0的解集情况是( )
A．只有一个元素 B．有两个元素
C．为空集 D．不能确定有几个元素
A [∵Δ＝62－4×1×9＝0，∴一元二次方程x2＋6x＋9＝0有两个相等的实数根，故选A.]
4．已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个不相等的实数根，则α＋β＋αβ的值为( )
A．－1 B．9 C．3 D．27
C [∵α，β是方程x2－5x－2＝0的两个实数根，
∴α＋β＝5，αβ＝－2，∴α＋β＋αβ＝5－2＝3.故选C.]
5．已知x＝－1是关于x的一元二次方程2x2＋kx－1＝0的一个根，则实数k的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
A [把x＝－1代入方程2x2＋kx－1＝0，可得2－k－1＝0，即k＝1，故选A.]
二、填空题
6．已知方程3x2－18x＋m＝0的一个根是1，那么它的另一个根是________，m＝________.
5 15 [将x＝1代入原方程，得3×12－18×1＋m＝0，解得m＝15.由根与系数的关系可得方程的另一根为＝5.]
7.若x1，x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝________.
－3 [由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，∴x1＋x2＋x1x2＝－3.]
8．若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，则m的值为________．
－1 [∵关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(－m)＝0，解得m＝－1.]
三、解答题
9．一元二次方程x2－2x－＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
[解] x2－2x－＝0，
移项得x2－2x＝，
配方得x2－2x＋1＝，即(x－1)2＝，
开方得x－1＝±，
解得x1＝，x2＝－.
①把x＝代入x2－(k＋2)x＋＝0中，
得2－(k＋2)＋＝0，
解得k＝.
②把x＝－代入x2－(k＋2)x＋＝0中，
得2＋(k＋2)＋＝0，
解得k＝－7.
当k＝或－7时，b2－4ac＝(k＋2)2－9都大于0，
综上所述，k的值为－7或.
10．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
[解] (1)由一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素．
得Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4k＞0，
解得k＜4.
(2)由k是符合条件的最大整数，得k＝3，
∴一元二次方程为x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3.
∵一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，把x＝1代入x2＋mx－1＝0，
得1＋m－1＝0，解得m＝0.
当x＝3时，把x＝3代入x2＋mx－1＝0，
得9＋3m－1＝0，解得m＝－.
综上，m＝0或－.
[等级过关练]
1．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0
A [由一元二次方程根与系数的关系x1＋x2＝－，x1x2＝即可判断A正确，故选A.]
2．若关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个根为x＝2－，则方程中m的值及方程的另一个根分别是( )
A．1,2＋ B．－1,2＋
C．1，－2－ D．－1，－2－
B [∵关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个根为x＝2－，设另一根为a，则有x＋a＝4，即2－＋a＝4，解得a＝2＋.
则m＝(2－)(2＋)＝4－5＝－1.故选B.]
3．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________．
{－1,3} [把后面一个方程m(x＋a－2)2＋n＝0中的x－2看作整体，相当于前面一个方程中的x.
∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，
∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3.
∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1,3}．]
4．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解集为________．
{－1,3} [根据图像可知，二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像经过点(3,0)，所以该点适合方程y＝－x2＋2x＋m.代入，得－32＋2×3＋m＝0，解得m＝3. ①
把①代入一元二次方程－x2＋2x＋m＝0，得
－x2＋2x＋3＝0，②
解②得x1＝3，x2＝－1，解集为{－1,3}．]
5．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0.
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2－3y＋2＝0.
解得：y1＝1，y2＝2.
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2.
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：x4－10x2＋9＝0.
(2)若实数x满足x2＋－3x－＝2，求x＋的值．
[解] (1)设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0，
即(a－1)(a－9)＝0，
解得：a＝1或a＝9，
当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3.
∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3.
(2)设x＋＝y，则原方程可化为：y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0，
∴(y＋1)(y－4)＝0，
解得：y＝－1或y＝4，
即x＋＝－1(方程无解，舍去)或x＋＝4，
故x＋＝4.
课时分层作业(十二) 方程组的解集
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若方程组的解集是{(x，y)|(1，－1)}，则a，b为( )
A. B.
C. D.
B [将x＝1，y＝－1代入方程组，可解得a＝1，b＝0.]
2．已知关于x，y的方程组和有相同的解集，则a，b的值为( )
A. B.
C. D.
D [解方程组可得
将代入解得]
3.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人．设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为( )
A. B.
C. D.
C [根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程7y＝x－3；根据组数×每组8人＝总人数＋5人，得方程8y＝x＋5.列方程组为故选C.]
4．若二元一次方程3x－y＝7,2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为( )
A．3 B．－3 C．－4 D．4
D [由得
代入y＝kx－9得－1＝2k－9，解得k＝4.故选D.]
5．若＝＝，且a－b＋c＝12，则2a－3b＋c等于( )
A. B．2 C．4 D．12
C [设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝7k，
代入方程a－b＋c＝12得：2k－3k＋7k＝12，
解得k＝2，即a＝4，b＝6，c＝14，
则2a－3b＋c＝2×4－3×6＋14＝4.故选C.]
二、填空题
6．已知二元一次方程2x－3y－5＝0的一组解为则6b－4a＋3＝________.
－7 [∵是二元一次方程2x－3y－5＝0的解，
∴2a－3b－5＝0，即2a－3b＝5，
∴6b－4a＋3＝－2(2a－3b)＋3＝－2×5＋3＝－10＋3＝－7.]
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为________．
[设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
故答案为：]
8．三元一次方程组的解集为________．
{(x，y，z)|(7，－3,5)} [解
①＋②得：2y＝－5－1，解得：y＝－3，
②＋③得：2x＝－1＋15，解得：x＝7，
把x＝7，y＝－3代入①得：－3＋z－7＝－5，解得：z＝5，
方程组的解集为{(x，y，z)|(7，－3,5)}．]
三、解答题
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点(1,0)，(－5,0)，顶点的纵坐标为，求这个二次函数的解析式．
[解] ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点(1,0)，(－5,0)，
∴对称轴为：x＝－2，
∵顶点的纵坐标为，∴顶点坐标为，
设此二次函数解析式为：y＝a(x＋2)2＋，
∴0＝a(1＋2)2＋，解得：a＝－，
∴这个二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋.
10．已知x，y满足方程组
(1)甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是________．
(2)求x2＋4y2的值；
(3)若已知：＋＝和(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy；则＋＝________(直接求出答案，不用写过程)
[解] (1)乙 原方程组不是二元一次方程组，
故乙的说法正确，故答案为：乙．
(2)
①＋②×2得，7x2＋28y2＝119，
整理得，x2＋4y2＝17.
(3)②×3－①×2得，7xy＝14，
解得，xy＝2，则(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy＝25，∴2y＋x＝±5，
∴＋＝＝±，故答案为±.
[等级过关练]
1．|3a＋b＋5|＋|2a－2b－2|＝0，则2a2－3ab的值是( )
A．14 B．2
C．－2 D．－4
D [∵|3a＋b＋5|＋|2a－2b－2|＝0，∴
解得：a＝－1，b＝－2，则2a2－3ab＝2－6＝－4.故选D.]
2．若购买甲商品3件，乙商品2件，丙商品1件，共需140元；购买甲商品1件，乙商品2件，丙商品3件，共需100元；那么购买甲商品1件，乙商品1件，丙商品1件，共需( )
A．50元 B．60元
C．70元 D．80元
B [设一件甲商品x元，乙商品y元，丙商品z元．根据题意得：
①＋②得：4x＋4y＋4z＝240，所以x＋y＋z＝60，故选B.]
3．已知x＝2，y＝－1，z＝－3是三元一次方程组的解，则m2－7n＋3k的值为________．
113 [∵x＝2，y＝－1，z＝－3是三元一次方程组的解，
∴
解得：k＝－2，m＝7，n＝－10，
∴m2－7n＋3k＝49＋70－6＝113.]
4．某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：
科目
思想品德
历史
地理
参考人数(人)
19
13
18
其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人，历史、地理两门课程都选了的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的有________人；该班至少有学生________人．
16,29 [思想品德、历史两门课程都选了的有3人，∴选了思想品德而没有选历史的有19－3＝16人，
设三门课都选的有x人，同时选择地理和思想品德的有y人，
则有总人数为19＋18＋13－3－4－2x－y＝43－2x－y，
∵选择历史没有选择思想品德的有6人，∴2x＜6，∴x＜3，∴x＝1,2，
∵只选思想品德的现在有19－3－4－1－y＝11－y，∴y最大是10，
该班至少有学生43－4－10＝29，故答案为16；29；]
4．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
车型
甲
乙
丙
汽车运载量(吨/辆)
5
8
10
汽车运费(元/辆)
400
500
600
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
[解] (1)设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：
解得
答：需甲车型8辆，乙车型10辆．
(2)设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
消去z得5x＋2y＝40，x＝8－y，
因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5,10，
由z是正整数，解得或
有两种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．
课时分层作业(十) 等式的性质与方程的解集
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是( )
A．x＝y B．ax＋1＝ay＋1
C．2ax＝2ay D．3－ax＝3－ay
A [A.∵ax＝ay，∴当a≠0时，x＝y，故此选项错误，符合题意；
B．∵ax＝ay，∴ax＋1＝ay＋1，故此选项正确，不合题意；
C．∵ax＝ay，∴2ax＝2ay，故此选项正确，不合题意；
D．∵ax＝ay，∴3－ax＝3－ay，故此选项正确，不合题意．故选A.]
2.在式子：2x－3y＝6中，把它改写成用含x的代数式表示y，正确的是( )
A．y＝2x＋6 B．y＝x－2
C．x＝y＋3 D．x＝3y＋2
B [方程2x－3y＝6，解得：y＝x－2.故选B.]
3．下列计算正确的是( )
A．8a＋2b＋(5a－b)＝13a＋3b
B．(5a－3b)－3(a－2b)＝2a＋3b
C．(2x－3y)＋(5x＋4y)＝7x－y
D．(3m－2n)－(4m－5n)＝m＋3n
B [A项，去括号合并同类项得：8a＋2b＋5a－b＝8a＋5a＋2b－b＝13a＋b≠13a＋3b，故本选项错误；
B项，去括号合并同类项得：5a－3b－3a＋6b＝5a－3a－3b＋6b＝2a＋3b，故本选项正确；
C项，去括号合并同类项得：2x－3y＋5x＋4y＝2x＋5x－3y＋4y＝7x＋y≠7x－y，故本选项错误；
D项，去括号合并同类项得：3m－2n－4m＋5n＝3m－4m－2n＋5n＝－m＋3n≠m＋3n，故本选项错误．故选B.]
4．若关于x的方程ax＋3x＝2的解是x＝，则a的值是( )
A．－1 B．5 C．1 D．－5
B [把x＝代入方程ax＋3x＝2得：a＋＝2，
∴a＋3＝8，∴a＝5，故选B.]
5．下列解方程过程中，变形正确的是( )
A．由5x－1＝3得5x＝3－1
B．由－75x＝76得x＝－
C．由x－3(x＋4)＝5得x－3x－4＝5
D．由2x－(x－1)＝1得2x－x＝0
D [选项A，移项没有变号，故变形不正确；
选项B等号的左边除以了－75，而等号的右边除以了－76，故变形错误；
选项C去括号时，4没有乘－3，故变形错误；
选项D的变形正确．故选D.]
二、填空题
6．已知4m＋2n－5＝m＋5n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m________n(填“＞”“＜”或“＝”)．
＞ [等式的两边都减去(m＋5n－5)，得3m－3n＝5，
等式的两边都除以3，得m－n＝，∴m＞n.]
7．已知x＝2是关于x的方程x2－2a＝0的一个解，则2a－1的值是________．
5 [∵x＝2是关于x的方程x2－2a＝0的一个解，
∴×22－2a＝0，即6－2a＝0，则2a＝6，∴2a－1＝6－1＝5.]
8．若A＝x2－3x－1，B＝x2－2x＋1，则2A－3B＝________.
－x2－5 [∵A＝x2－3x－1，B＝x2－2x＋1，
∴2A－3B＝2x2－6x－2－3x2＋6x－3＝－x2－5.]
三、解答题
9．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定＝ad－bc，如＝1×4－2×3.若＝3，求x的值．
[解] ∵＝3，
∴3(2x＋1)－2(2x－1)＝3，
去括号，得6x＋3－4x＋2＝3，
移项，得6x－4x＝3－3－2，
合并同类项，得2x＝－2，
系数化为1，得x＝－1.
10．已知关于x的方程6－x＝与a－2(x－4)＝5a有相同的解集，求a的值．
[解] 6－x＝，去分母得12－2x＝x＋3，移项、合并得－3x＝－9，解得x＝3，把x＝3代入a－2(x－4)＝5a中，得a＋2＝5a，解得 a＝.
[等级过关练]
1．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4.故选D.]
2．下列各式从左到右的变形，是因式分解的为( )
A．6ab＝2a·3b
B．(x＋5)(x－2)＝x2＋3x－10
C．x2－8x＋16＝(x－4)2
D．x2－9＋6x＝(x＋3)(x－3)＋6x
C [A项，不是因式分解，故本选项错误；B项，不是因式分解，故本选项错误；C项，是因式分解，故本选项正确；D项，不是因式分解，故本选项错误．故选C.]
3．已知a2＋b2＝6，ab＝－2，则代数式(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)＝________.
－34 [∵a2＋b2＝6，ab＝－2，
∴原式＝4a2＋3ab－b2－7a2＋5ab－2b2＝－3(a2＋b2)＋8ab＝－18－16＝－34.]
4．已知x2－5xy－6y2＝0(y≠0且x≠0)，则的值为________．
6或－1 [x2－5xy－6y2＝0，(x－6y)(x＋y)＝0，所以x－6y＝0或x＋y＝0，
所以x＝6y或x＝－y，所以的值为6或－1. ]
