2.2 平面向量的数乘运算 学案

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学案 平面向量的数乘运算
【知识要点】
1．向量数乘运算及其几意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝ ；
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律
设λ，μ是两个实数，则
①设λ(μa)＝ ； ②(λ＋μ)a＝ ； ③λ(a＋b)＝ .
(3)两个向量共线定理：向量a(a≠)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
特别提醒：当λ＝0时，λa＝；而λ≠0时，若a＝，也有λa＝.注意以上两种情况结果都是，而不是0.
思考：A,B,C三点共线如何用向量证明？
2．重要结论
,则点P为线段BC的 ＋＋＝?P为△ABC的________．
归纳拓展：(1)λa的几何意义就是把a沿着a相同(λ＞0)或相反(λ＜0)的方向伸长(|λ|＞1或缩短|λ|＜1)到原来的|λ|倍．
(2)当两个向量a、b不共线时，k1a＋k2b＝0的充要条件是k1＝k2＝0.


【典型例题】
例1.如图，已知， ．试判断与是否共线．





例2、 如图，在平行四边形OADB中，设＝a， ＝b，B＝ ， ＝ .试用a，b表示， 及.





变式1、 (1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ ，则λ＝________.




(2)P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，那么一定有 (　　)．
A.＝2 B.＝2 C.＝2 D.＝2



例3、典例：如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.







例4、设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.





变式2 (1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)
A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线
(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为(　　)
A.{0} B. C.{－1} D.{0，－1}




平面向量的数乘运算 答案
（1） 相同 相反（2）
中点 重心
例1.解：根据题意，＝3，＝3，
∴＝+，＝+＝3+3＝3（+）＝3，
∴与共线．
例2.解：平行四边形OADB中，
，，∴＝﹣＝﹣，＝+＝+，
又BM＝BC，∴＝+＝+＝+＝+（﹣）＝+，
＝+＝+＝＝（+）＝+，
∴＝﹣＝+﹣（+）＝﹣；
变式1.（1）2
（2）解：∵，∴+＝﹣＝+＝，
∴＝﹣＝2．故选：D．
例3.解：∵＝，＝由A，M，D三点共线可得存在实数t使得
＝＝t+（1﹣t）?＝
同理由C，M，B三点共线可得存在实数λ使得
∴∴
例4.
解：（1）证明：∵，，
∴，∴与共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线；
（2）解：若和共线，∴存在实数λ，使＝，即，
∴k＝λ，1＝kλ，解得k＝±1．
变式2（1）A
(2)解：，
即
即
∵A，B，C共线，
∴﹣x2+1﹣x＝1，
解得x＝0，﹣1
当x＝0时，，此时B，C两点重合，不合题意
故选：A．



















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