课件38张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合的含义234对象A，B，C，…对象a，b，c，…5相同确定性互异性无序性67?a属于Aa∈Aa不属于Aa?A8Q整数集实数集NN*或N＋ 91011121314集合的基本概念1516171819元素与集合的关系2021222324集合中元素的特性及应用25262728293031323334353637点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 集合的表示方法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握集合的两种表示方法．(重点)
2．掌握区间的概念及表示方法．(重点)
1.借助空集，区间的概念，培养数学抽象的素养．
2．通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的素养.
1．集合的表示方法
(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．
思考1：观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合．
问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？
提示：能．(1)中的元素为：造纸术、印刷术、指南针、火药；(2)中的元素为：1,2,4,5,10,20.
问题2：如何表示上述两个集合？
提示：用列举法表示．
(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
思考2：观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函数y＝x2－1的图像上的所有点．
问题1：这两个集合能用列举法表示吗？
提示：不能．
问题2：如何表示这两个集合？
提示：利用描述法．
2．区间的概念
设a，b是两个实数，且a＜b：
(1)集合{x|a≤x≤b}可简写为[a，b]，并称为闭区间；
(2)集合{x|a＜x＜b}可简写为(a，b)，并称为开区间；
(3)集合{x|a≤x＜b}可简写为[a，b)，集合{x|a＜x≤b}可简写为(a，b]，并都称为半开半闭区间；
(4)用“＋∞”表示正无穷大，用“－∞”表示负无穷大，实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)；
(5)满足不等式x≥a，x＞a和x≤b，x＜b的实数x的集
合用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．
1．下列判断错误的是( )
A．方程x2＝9的解集可以用列举法表示，也可以用描述法表示
B．不大于2 020的自然数构成的集合是无限集
C．集合A＝是空集
D．{x︱x2 ＝0}＝{0}
B [A.正确；方程x2＝9的解集可以用列举法表示，也可以用描述法表示，即A＝{x|x2＝9}＝{－3,3}．
B．错误；因为不大于2 020的自然数依次为0,1,2，…，2 020，共有2 021个，所以构成的集合是有限集．
C．正确；因为0的倒数不存在，任何非零实数的倒数都不是0，所以集合A＝是空集．
D．正确，x2 ＝0，可得x＝0，故选B.]
2．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )
A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}
C．{ x2－3x＋2＝0} D．{1,2}
D [解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或x＝2，
故集 合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．]
3．用区间表示下列数集．
(1){x|x≥2}＝________；(2){x|3＜x≤4}＝________.
[答案] [2，＋∞) (2)(3,4]
4．用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
[解] (1)偶数可用式子x＝2n(n∈Z)表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐 标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.
用列举法表示集合
【例1】 (1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)用列举法表示下列集合．
①不大于10的非负偶数组成的集合；
②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
④方程组的解．
(1)B [集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．选B.]
(2)[解] ①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．
③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．
④解方程组得
∴用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}．
用列举法表示集合的步骤
(1(求出集合的元素；
(2(把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3(用大括号括起来.
1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.
[解] 对任意a∈A，有|a|∈B，因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B.
又因为B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}．
用描述法表示集合
【例2】 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
[解] (1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根，－，因此，用列举法表示为A＝{，－}．
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10
集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合.
2．用描述法表示下列集合：
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．
[解] (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
集合的表示法的应用
角度一 方程、不等式问题
【例3】 若集合A＝{x|ax2＋ax－1＝0}只有一个元素，则a＝( )
A. －4 B. 0 C. 4 D. 0或－4
A [依题意，得关于x的方程ax2＋ax－1＝0只有一个实根，所以即解得a＝－4，选A.]
在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对元素个数与特性的验证分析，探索参数的取值范围.
3．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含有任何元素，则实数a的取值范围是________．
[0,4) [当a＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解，当a≠0时，一元二次方程ax2＋ax＋1＝0无实数解，则需Δ＝a2－4a＜0，即a(a－4)＜0，依题意，得或解得0角度二 对参数分类讨论问题
【例4】 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中有且只有一个元素，求a的取值集合．
(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
[解] (1)由题意知，A中有且只有一个元素，
即对应方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一根或有两个相等的实根．
当a＝0时，对应方程为一次方程，
此时A＝，符合题意；
当a≠0时，
对应方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，
即Δ＝4－4a＝0，a＝1，符合题意．
综上所述，a的取值集合为{0,1}．
(2)由题意知，A中至多有一个元素，
即对应方程ax2＋2x＋1＝0无根或只有一根，由(1)知，当a＝0或1时，A中有且只有一个元素，符合题意；
当Δ＝4－4a＜0，即a＞1时，
对应方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
即A中无元素，符合题意．
综上所述，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．
识别集合含义的两个步骤
(1(一看代表元素：例如{x|p(x(}表示数集，{(x，y(|y＝p(x(}表示点集.
(2(二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性(.
提醒：一般地，集合{x|f(x(＝0}表示方程f(x(＝0的解集；,{x|f(x(＞0}表示不等式f(x(＞0的解集；,{x|y＝f(x(}表示y＝f(x(中x的取值的集合；,{y|y＝f(x(}表示y＝f(x(中y的取值的集合.
4．若A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}＝?，求a的取值范围．
[解] 因为A＝?，则集合A无元素，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0无实数解，所以a≠0，且Δ＜0，即解得a＞1，所以a的取值范围为{a|a＞1}．
1．?与{0}的区别
(1)?是不含任何元素的集合；
(2){0}是含有一个元素的集合．
2．在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；
(2)元素不重复；
(3)元素无顺序；
(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
3．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．
4．关于无穷大的两点说明
(1)∞是一个符号，而不是一个数；
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．
1．下列说法正确的是( )
A．0∈? B．?＝{0}
C．?中元素的个数为0 D．?没有子集
C [空集是不含任何元素的集合，故?中元素的个数为0.]
2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
C [x－y∈{－2，－1,0,1,2}．]
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
D [集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.]
4．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2(3){x|x>－1且x≠2}＝________.
[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞)
课件45张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第2课时 集合的表示方法234一一列举 567{x|p(x)} 89(a，b][a，b](a，b)[a，b)10[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)正无穷大负无穷大(－∞，＋∞)11121314151617用列举法表示集合181920212223用描述法表示集合2425262728集合的表示法的应用29303132333435363738394041424344点击右图进入…Thank you for watching !1.1.2 集合的基本关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)
2．能识别给定集合的子集、真子集．
3．了解维恩图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系.
1.通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集，真子集概念的理解，培养数学抽象素养．
2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推理的数学素养．
3．利用Venn图，培养直观想象数学素养.
1.维恩图
一般地，如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．
维恩图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念
思考：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？
(2)符号“∈”与“?”有何不同？
提示：(1)不一定，如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；
而“?”表示集合与集合之间的关系．
3．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C.
①若A?B，且B?C，则A?C；
②若A(B，B(C，则A(C.
③若A?B，A≠B，则A(B.
1．下列集合中与{2,3}是同一集合的是( )
A．{{2}，{3}} B．{(2,3)}
C．{(3,2)} D．{3,2}
D [与{2,3}是同一集合的是{3,2}．故选D.]
2．下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若?(A，则A≠?.其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [在①中，空集的子集是空集，故①错误；
在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；
在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；
在④中，若?(A，则A≠?，故④正确．故选B.]
3．已知集合P＝{x|0≤x≤2}，且M?P，则M可以是( )
A．{0,1} B．{1,3}
C．{－1,1} D．{0,5}
A [A.0∈P,1∈P，则M?P成立，
B．3?P，则M?P不成立，
C．－1?P，则M?P不成立，
D．5?P，则M?P不成立，
故选A.]
4．已知集合A({2 018,2 019}，则这样的集合A共有________个．
3 [满足A({2 018,2 019}的集合A为：?，{2 018}，{2 019}，共3个．]
理解子集、真子集、空集的概念
【例1】 已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求实数a的值．
[解] A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．
(1)当a＝0时，B＝??A，符合题意．
(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝，
∵≠0，要使A?B，只有＝1，即a＝1.
综上，a＝0或a＝1.
集合A的子集可分三类：?、A本身、A的非空真子集，解题中易忽略?.
1．已知集合A＝{x|1[解] (1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝??A，符合题意．
(2)当a<1时，要使A?B，需这样的实数a不存在．
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．
集合的子集、真子集的确定
【例2】 (1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
[解] (1)?，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如?，有一个子集，0个真子集．
为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.
2．适合条件{1}?A({1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )
A．15 B．16 C．31 D．32
A [这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．]
集合间关系的应用
【例3】 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④?＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
(1)B [对于①，是集合与集合的关系，应为{0}({0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以?({0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.]
(2)[解] ①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A(B.
③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N(M.
法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N (M.
判断集合间关系的方法
(1(用定义判断.,首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集；,若既有A?B，又有B?A，则A＝B.
(2(数形结合判断.,对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.
3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是( )
B [解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N(M，其对应的维恩图如选项B所示．]
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A(B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．
1．下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2－1＝0} B．{x|x＞6或x＜1}
C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}
D [A.{x∈R|x2－1＝0}＝{1，－1}，
B．{x|x＞6或x＜1}不是空集，
C．{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}，
D．{x|x＞6且x＜1}＝?，故选D.]
2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为( )
A．P?T B．P∈T
C．P＝T D． PT
A [集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，T＝{－1,0,1}，∴P?T，故选A.]
3．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是( )
B [由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}．∵M＝{－1,0,1}，∴N(M，故选B.]
4．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A?B，则实数a的取值范围________．
[4，＋∞) [∵集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，A?B，
∴a≥4.∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．]
课件36张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合
1.1.2 集合的基本关系234内部封闭封闭曲线567891011121314理解子集、真子集、空集的概念15161718集合的子集、真子集的确定19202122集合间关系的应用23242526272829303132333435点击右图进入…Thank you for watching !1.1.3 集合的基本运算
第1课时 交集和并集
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点)
2．能使用维恩图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)
1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．
2．借助维恩图培养直观想象的素养.
1．交集
2．并集
思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？
(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
提示：(1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x?B；x∈B，但x?A；x∈A，且x∈B.用维恩图表示如图所示．
(2)不等于．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．
3．并集与交集的运算性质
并集的运算性质
交集的运算性质
A∪B＝B∪A
A∩B＝B∩A
A∪A＝A
A∩A＝A
A∪?＝A
A∩?＝?
1．设集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}, 则A∩B＝( )
A．{2,3} B．{0,1}
C．{0,1,4} D．{0,1,2,3,4}
A [因为集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，所以A∩B＝{2,3}，故选A.]
2．已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}, 则M∪N＝( )
A．{0} B．{0,3}
C．{1,3,9} D．{0,1,3,9}
D [易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．]
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
C [由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．]
4．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
4 [∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}, A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4(舍去)，故a＝4.]
交集的概念及其应用
【例1】 (1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
(1)A (2)D [(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，
故A∩B＝{x|0≤x≤2}．故选A.
(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，
∴8∈A,14∈A，
∴A∩B＝{8,14}，故选D.]
1．求集合交集的运算的方法
(1)定义法，(2)数形结合法．
2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
A [由题意知A∩B＝{0,2}．]
2．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－12
C．a≥－1 D．a>－1
D [因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.]
并集的概念及其应用
【例2】 (1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )
A．{0} B．{0,2}
C．{－2,0} D．{－2,0,2}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3或x>5}
(1)D (2)A [M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.
(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示， 则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
]
求集合并集的两种基本方法
(1(定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2(数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.
3．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________.
{0,1,2,3,4,5} [A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．]
集合交、并运算的性质及综合应用
[探究问题]
1．设A，B是两个集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？
提示：A∩B＝A?A∪B＝B?A?B.
2．若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？
提示：若A∩B＝A∪B，则集合A＝B.
【例3】 已知集合A＝{x|－3[思路点拨]
[解] (1)当B＝?，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.
(2)当B≠?时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知k≤.
1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
[解] 由A∩B＝A可知A?B.
所以即所以k∈?.
所以k的取值范围为?.
2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3[解] 由题意可知解得k＝3.
所以k的值为3.
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
1．思考辨析
(1)集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中的所有元素的个数和． ( )
(2)当集合A与集合B没有公共元素时，集合A与集合B就没有交集. ( )
(3)若A∪B＝A∪C，则B＝C. ( )
(4)A∩B?A∪B. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{0,1} B．{0}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
D [由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{2} C．{－1,2} D．{1,2,3}
B [∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{2}．]
4．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
[解] (1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．
课件39张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
第1课时 交集和并集2345678?AAA91011121314交集的概念及其应用151617181920并集的概念及其应用2122232425集合交、并运算的性质及综合应用26272829303132333435363738点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 补集
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)
2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)
3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)
1.通过补集的运算培养数学运算素养．
2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
思考：全集一定是实数集R吗？
提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
2．补集
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
1．已知全集U＝{0,1,2}，且?UA＝{2}，则A＝( )
A．{0} B．{1}
C．? D．{0,1}
D [∵U＝{0,1,2}，?UA＝{2}，
∴A＝{0,1}，故选D.]
2．设全集为U，M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，则U等于( )
A．{0,2,4,6} B．{0,2,4}
C．{6} D．?
A [∵M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，
∴U＝M∪?UM＝{0,2,4,6}，
故选A.]
3．若集合A＝{x|x>1}，则?RA＝________.
{x|x≤1} [∵A＝{x|x>1}，
∴?RA＝{x|x≤1}．]
补集的运算
【例1】 (1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝________；
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?UA＝________.
(1){2,3,5,7} (2){x|x<－3或x＝5} [(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又?UB＝{1,4,6}，
所以B＝{2,3,5,7}．
法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集的定义可知?UA＝{x|x<－3或x＝5}．]
求集合的补集的方法
(1(定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.
(2(Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.
(3(数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.
1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则?AB等于( )
A．{2,4} B．{0,1,3,5}
C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}
(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则?UA＝______.
(1)C (2){x|0(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，?UA＝{x|0集合交、并、补集的综合运算
【例2】 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[解] 把集合A，B在数轴上表示如下：
由图知?RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2因为?RA＝{x|x<3，或x≥7}，
所以(?RA)∩B＝{x|2解决集合交、并、补运算的技巧
(1(如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.
(2(如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.
[解] 法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．
由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．
法二(定义法)：(?UB)∩A＝{1,9}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，∴?UB＝{1,4,6,7,9}．
又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴B＝{2,3,5,8}．
∵(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，
∴A＝{1,3,9}.
与补集有关的参数值的求解
[探究问题]
1．若A，B是全集U的子集，且(?UA)∩B＝?，则集合A，B存在怎样的关系？
提示：B?A.
2．若A，B是全集U的子集，且(?UA)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？
提示：A?B.
【例3】 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[思路点拨] 法一：
法二：
[解] 法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
法二(集合间的关系)：由(?UA)∩B＝?可知B?A，
又B＝{x|－2结合数轴：
得－m≤－2，即m≥2.
1．(变条件)将本例中条件“(?UA)∩B＝?”改为“(?UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
[解] 由已知得A＝{x|x≥－m}，所以?UA＝{x|x<－m}，又(?UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.
2．(变条件)将本例中条件“(?UA)∩B＝?”改为“(?UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，
?UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又(?UB)∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
由集合的补集求解参数的方法
(1(如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.
(2(如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.
1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．
2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.
1．思考辨析
(1)全集一定含有任何元素．( )
(2)集合?RA＝?QA.( )
(3)一个集合的补集一定含有元素．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,3,4} D．{0,2,4}
D [∵?UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(?UA)∪B＝{0,2,4}．]
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T等于( )
A．{x|－2C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
C [因为S＝{x|x>－2}，
所以?RS＝{x|x≤－2}．
而T＝{x|－4≤x≤1}，
所以(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]
4．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，?UP＝{－1}，求实数a的值．
[解] 由已知，得－1∈U，且－1?P，
因此
解得a＝2.
当a＝2时，U＝{2,0，－1}，
P＝{2,0}，?UP＝{－1}，满足题意．
因此实数a的值为2.
课件37张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
第2课时 补集234U所有元素56不属于集合A ?UA {x|x∈U，且x?A} 7891011补集的运算121314151617集合交、并、补集的综合运算1819202122与补集有关的参数值的求解2324252627282930313233343536点击右图进入…Thank you for watching !1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解命题的含义，并会判断其真假.
2．理解全称量词与全称量词命题的定义．
3．理解存在量词与存在量词命题的定义 .
4．能准确地使用全称量词和存在量词符号(即“?，?”)来表述相关的数学内容．(重点)
5．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(重点、难点)
1.通过对命题、全称量词、存在量词的理解，培养数学抽象的素养．
2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算能力.
1．命题
可供真假判断的陈述语句是命题，而且， 判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．
2．全称量词和全称量词命题
(1)一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，并用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)．
3．存在量词和存在量词命题
(1)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，并用符号“?”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在集合M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”．
思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
1．下列语句中，命题的个数为( )
①空集是任何非空集合的真子集； ②起立！ ③垂直于同一平面的两条直线平行吗？ ④若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．1 B．2 C．3 D．4
B [①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题，故选B.]
2．下列命题中，全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
C [①②是全称量词命题，③是存在量词命题．]
3．下列存在量词命题中真命题的个数是( )
①?x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③?x∈{x|x是整数}，x2是整数．
A．0 B．1 C．2 D．3
D [①②③都是真命题．]
4．用存在量词表示下列语句：“有一个实数乘以任意一个实数都等于0”表示为________．
[答案] 存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0
命题概念的核心要素
【例1】 (1)下列语句中为命题的是( )
A．m＋n B．{0}∈N
C．函数与图像 D．2x＞3
(2)下列语句中不是命题的有________．(填序号)
①无理数的平方是有理数吗？
②王明同学的素描多么精彩啊！
③若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；
④请说普通话；
⑤x2－xy＋y2≥0.
(1)B (2)①②④ [(1)只有B选项可判断真假．
(2)①不是命题，因为是疑问句不是陈述句；
②④分别是感叹句和祈使句，所以都不是命题；
③⑤是命题，因为它们能判断真假．]
一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．其流程图如图：
1．下列语句中，是命题的为________．(填序号)
①红豆生南国；
②作射线AB；
③中国领土不可侵犯！
④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.
①④ [②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题．]
命题真假的判断
【例2】 下列命题是真命题的为( )
A．{x∈N|x3＋1＝0}不是空集
B．若＝，则x＝y
C．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
D．若整数m是偶数，则m是合数
B [A中，x∈N，x3≥0，{x∈N|x3＋1＝0}是空集，故为假命题；B中，由＝可推出x＝y；C中，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；D中，2是偶数，但2是质数，故是假命题．]
判断命题真假性的两个技巧
(1)真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论．
(2)假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可．
2．下列四个命题为真命题的有( )
①若x＞1，则x2＞1；②梯形不是平行四边形； ③全等三角形的面积相等．
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
C [①②③是真命题．]
全称量词和全称量词命题
【例3】 下列命题是全称量词命题的个数是( )
①任何实数都有立方根； ②所有的质数都是奇数； ③有的平行四边形是矩形； ④三角形的内角和是180°.
A．0 B．1 C．2 D．3
D [命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有3个全称量词命题：①②④.]
全称量词命题的常用表示形式：
(1(所有的 x∈M，r(x(；
(2(对一切x∈M，r(x(；
(3(对每一 个x∈M，r(x(；
(4(任选一个x∈M，r(x(；
(5(任意x∈M，r(x(.
3．下列不是全称量词命题的是 ( )
A．任何一个实数乘零都得零
B．自然数都是整数
C．高一(1)班绝大多数同学是团员
D．每一个四边形的内角和都是180°
C [“高一(1)班绝大多数同学是团 员”，即“高一(1)班有的同学不是团员”，不是全称量词命题．]
存在量词和存在量词命题
【例4】 下列命题中存在量词命题的个数是( )
①至少有一个偶数是质数； ②?x∈R，x2－1＞0; ③有的平行四边形是菱形．
A．0 B．1 C．2 D．3
D [①中含有存在量词“至少有一个”， 所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号 “?”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词 “有的”，所以是存在量词命题．]
存在量词命题的常用表示形式：(1(存在 x∈M，s(x(；(2(至少有一个x∈M，s(x(；(3(对有些x∈M，s(x(；(4(对某个x∈M，s(x(；(5(有一个x∈M，s(x(.)
4．下列语句是存在量词命题的是 ( )
A．整数n是2和5的倍数
B．存在整数n，使n能被7整除
C．x＞7
D．?x∈M，p(x)成立
B [B选项中有存在量词“存在”，故是存在量词命题，A和C不是命题，D是全称量词命题. ]
全称量词命题和存在量词命题的改写
【例5】 用全称量词或存在量词表示下列语句．
(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)方程3x－2y＝10有整数解．
[解] (1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．
(2)对任意有理数x, x2＋x＋1是有理数．
(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．
1．判断一个命题是存在量词命题，还是全称量词命题，要根据命题中所含量词来判断．
2．有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意思，也是全称量词命题．
5．用全称量词或存在量词表示下列语句．
(1)有理数都能写成分数形式；
(2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解．
[解] (1)任意一个有理数都能写成分数形式．
(2)存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立．
全称量词命题和存在量词命题的真假判断
【例6】 试判断下面命题的真假．
(1)?x∈R，x2＋2＞0;
(2)?x∈N，x4≥1；
(3)?x∈Z，x3＜1；
(4)?x∈Q，x2＝3.
[解] (1)由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“ ?x∈R，x2＋2＞0”是真命题．
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题．
(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3＜1，所以命题“?x∈Z，x3＜1”是真命题．
(4)由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数．因此，任何一个有理数的平方都不等于3，所以命题“?x∈Q，x2＝3”是假命题．
1．要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；要判定一个全称量词命题是假命题， 只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．判断一个存在量词命题真假的依据：若在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立，则这个存在量词命题是真命题，否则是假命题．
6．判断下列命题的真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对 (x，y)都对应一点P;
(2)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(3)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
[解] (1)真命题. (2)假命题，如边长为1的正方形的对角线长，它的长度就不能用有理数表示．(3)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．
1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，真命题要给出证明，假命题只需举一反例即可．
2．判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．
3．要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题．
4．要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
1．下列语句不是命题的有( )
①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<7.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B [①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真假，不是命题．]
2．下列命题是存在量词命题的是( )
A．对顶角相等
B．正方形都是四边形
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于1
D [选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题的定义知选D.]
3．下列命题： ①所有合数都是偶数； ②x∈R，(x－1)2＋1≥1；③有些无理数的平方还是无理数．其中既是全称量词命题，又是真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [命题①是假命题；命题②既是全称量词命题，又是真命题；命题③既是存在量词命题， 又是真命题，故选B.]
4．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．
①③ [①是真命题；②平行四边形不是梯形，假命题；③是真命题．]
课件46张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词2345任意?全称量词?x∈M，p(x)6个体部分?存在量词?x∈M，p(x)78910111213命题概念的核心要素1415161718命题真假的判断19202122全称量词和全称量词命题232425存在量词和存在量词命题262728全称量词命题和存在量词命题的改写29303132全称量词命题和存在量词命题的真假判断33343536373839404142434445点击右图进入…Thank you for watching !1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能正确写出一个命题的否定，并判断其真假．
2．理解含有一个量词的命题的否定的意义．
3．会对含有一个量词的命题进行否定．(重点)
4．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．(重点、难点)
1.通过对命题的否定的认识，提升数学抽象的数学素养．
2．通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑推理的数学素养.
1．命题的否定
(1)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“p ”，读作“非p”或“p的否定”．
(2)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．
常见的命题的否定形式有：
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
2.含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论；
全称量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定p：?x∈M，p(x)；
存在量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定p：?x∈M，p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
1．有以下命题：①没有男生爱踢足球；②所有男生都不爱踢足球；③至少有一个男生不爱踢足球；④所有女生都爱踢足球．其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是( )
A．① B．② C．③ D．④
C [所有男生都爱踢足球的否定为“不是所有男生都爱踢足球”，即“至少有一个男生不爱踢足球”．]
2．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
D [根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.]
3．命题“?x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是 ( )
A．?x∈R，x2＋2x＋2＞0 B．?x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．?x∈R，x2＋2x＋2＞0 D．?x∈R，x2＋2x＋2≥0
A [由存在量词命题和全称量词命题的关系可知“?x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定为?x∈R，x2＋2x＋2＞0.]
4．命题“任意x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定是________．
存在x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0 [已知命题是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题，先将“任意”换成“存在”， 再否定结论，即命题的否定是：存在x∈R，若y＞0, 则x2＋y≤0.]
命题的否定
【例1】 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：y＝sin x是周期函数；
(2)p：实数的绝对值都大于0；
(3)p：菱形的对角线垂直平分；
(4)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0.
[解] (1) p ：y＝sin x不是周期函数．假命题．
(2) p：实数的绝对值不都大于零．真命题．
(3) p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题．
(4) p：若xy＝0，则x≠0且y≠0. 假命题．
p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反．对一些词语的正确否定是写p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等．
1．写出下列命题的否定形式，并判断其真假．
(1)p：面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；
(3)p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0.
[解] (1) p：面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题．
(2) p：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．假命题．
(3) p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中都不为0.假命题．
全称量词命题的否定
【例2】 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；
(2)p：等圆的面积相等，周长相等；
(3)p：偶数的平方是正数．
[解] (1) p：存在n∈Z，使n?Q，这是假命题．
(2) p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．
(3) p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题．
1．写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
2．有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．
2．写出下列全称量词命题的否定．
(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
(3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；
(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.
[解] (1) p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2) p：?x∈Z，x2的个位数字等于3.
(3) p：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．
(4) p：存在被5整除的整数，末位不是0.
存在量词命题的否定
【例3】 写出下列存在量词命题的否定．
(1)p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：有一个素数含三个正因数．
[解] (1) p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2) p：所有的三角形都不是等边三角形．
(3) p：每一个素数都不含三个正因数．
与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定.
3．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直；
(2)存在一个三角形，它的内角和大于180°；
(3)存在偶函数为单调函数．
[解] (1)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题．
(2)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题．
(3)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题．
全称量词命题与存在量词命题的应用
【例4】 已知命题p：?x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
(0,1) [法一：若命题p：?x∈R，x2＋2ax＋a≤0是真命题，得Δ＝(2a)2－4a≥0，
即a(a－1)≥0, 若命题p是假命题，则a(a－1)<0，解得0法二：依题意，命题綈p：?x∈R，x2＋2ax＋a>0是真命题，得Δ＝(2a)2－4a<0，即a(a－1)<0，解得01．全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
2．存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在” “不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
4．命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞), 则实数a的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [由题意知原命题的否定是真命题，即?x∈R，都有x2＋2x＋m＞0是真命题．由Δ＝4－4m＜0，得m＞1，∴a＝1.]
1．p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反．对一些词语的正确否定是写p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等．
2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定．
1．已知a＜b，则下列结论中正确的是( )
A．?c＜0，a＞b＋c B．?c＜0，a＜b＋c
C．?c＞0，a＞b＋c D．?c＞0，a＜b＋c
D [A项，若a＝1，b＝2，c＝－1，满足a＜b，但a＞b＋c不成立；
B项，若a＝9.5，b＝10，c＝－1，a＜b＋c不成立；
C项，因为a＜b，c＞0，所以a＜b＋c恒成立，故C错误，
D项，?c＞0，a＜b＋c成立，故选D.]
2．设命题p：?x∈R，x2＋1＞0，则p为( )
A．?x∈R，x2＋1＞0 B．?x∈R，x2＋1≤0
C．?x∈R，x2＋1＜0 D．?x∈R，x2＋1≤0
B [命题p：?x∈R，x2＋1＞0，是一个全称量词命题，
∴p：?x∈R，x2＋1≤0.]
3．下列命题的否定为假命题的是( )
A．?x∈R，x2＋2x＋2≤0
B．?x∈R，x3＜1
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．某些梯形的对角线互相平分
D [对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以?x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；
对于选项B，因为当x≥1时，x3≥1，所以?x∈R，x3＜1是假命题，故其否定为真命题；
对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；
对于选项D，任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题，因此其否定是假命题．]
4．“至多有2个人”的否定为________．
至少有3个人 [“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有2个人”的否定为“至少有3个人”．]
课件38张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定2345至少有两个不是不都是≤一个也没有6789101112命题的否定13141516全称量词命题的否定17181920存在量词命题的否定21222324全称量词命题与存在量词命题的应用25262728293031323334353637点击右图进入…Thank you for watching !1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件与必要条件
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解充分条件、必要条件的定义．(难点)
2．会判断充分条件、必要条件．(重点)
3．会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的取值范围．(重点、难点)
1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．通过充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养.
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
提示：(1)相同，都是p?q.(2)等价．
2．充分条件与必要条件的判断
3.充分条件、必要条件与集合的关系
A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
A?B
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p是q的不充分条件
q是p的不必要条件
B?A
q是p的充分条件
p是q的必要条件
q是p的不充分条件
p是q的不必要条件
思考2：“x<2”是“x<3”的________条件，“x<3”是“x<2”的________条件．
提示：充分 必要
1．下列命题中q是p的必要条件的是( )
A．p：A∩B＝A，q：A?B
B．p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1
C．p：|x|<1，q：x<0
D．p：x2>2，q：x>
A [由A∩B＝A能得出A?B，其余选项都不符合要求．]
2．“x＝1”是“x2－1＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [当x＝1时，x2－1＝0成立，反之不成立，所以“x＝1”是“x2－1＝0”的充分不必要条件．]
3．“ △ABC为直角三角形”是“其三边关系a2＋b2＝c2”的________条件．(填“充分”或“必要”)
必要 [若△ABC三边关系满足a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形，故“△ABC为直角三角形”是“其三边关系a2＋b2＝c2”的必要条件．]
4．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件．(用“充分”“必要”填空)
必要 充分 [由于x＝0?x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．]
充分条件、必要条件的判断
【例1】 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)
(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；
(2)若函数y＝x，则函数为递增的；
(3)若x为无理数，则x2为无理数；
(4)若x＝y，则x2＝y2；
(5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；
(6)若a>b，则ac>bc.
[解] (1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－ 4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件．
(2)∵p?q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵pq，而q?p，∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵p?q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．
(5)∵p?q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．
(6)∵pq，而qp，∴p是q的既不充分也不必要条件．
本例六个小题分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.
1．指出下列命题中p是q的什么条件？
(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝；
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(4)p：sin α>sin β，q：α>β.
[解] (1)∵x2＝2x＋1D/?x＝，
x＝?x2＝2x＋1，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵a2＋b2＝0?a＝b＝0?a＋b＝0，
a＋b＝0D/?a2＋b2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝成立，反过来，当x－1＝成立时，可以推出x＝1或x＝2，
∴p既是q的充分条件也是q的必要条件．
(4)由sin α>sin β不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sin α>sin β，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
充分条件、必要条件与集合的关系
【例2】 若“x2>1”是“x[解] ∵x2>1，∴x<－1或x>1.
又∵“x2>1”是“x∴x1但x2>1D?/x ∴a≤－1，∴a的最大值为－1.
例2中“xa”，其他条件不变，求a的最小值．
[解] ∵x2>1，∴x<－1或x>1，
∵“x2>1”是“x>a”的必要不充分条件，
∴x>a?x2>1，但x2>1D/?x>a.如图所示：
∴a≥1，∴a的最小值为1.
设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p?q可得A?B；q?p可得B?A；p?q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集.
充分条件和必要条件的应用
【例3】 (1)“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是( )
A．0 B．2 C．4 D．16
(2)已知p：－4(1)B (2)[－1,6] [(1)由“x＝2”能得出“x2＝4”，所以选项B正确．
(2)化简p：a－4应用充分条件和必要条件的两个思路
(1(条件与结论：确定p和q谁是条件，谁是结论.
(2(p?q和q?p的应用：充分条件确保p?q为真，必要条件确保q?p为真.
2．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
[解] 由3x＋m<0得，x<－.
∴p：A＝.
由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3.
∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p?q而q p，
∴A是B的真子集，
∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．
1．充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p?q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A?B，则p是q的充分条件；若A?B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p既是q的充分条件，也是q的必要条件．
2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
1．“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
2．使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x<2
A [只有x>4?x>3，其他选项均不可推出x>3.]
3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [因为x≥2且y≥2?x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]
4．有下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中可以成为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．
②③④ [由x2＜1，得－1＜x＜1.故②③④都可作为x2＜1的充分条件．]
课件38张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语
1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件与必要条件234? 充分 必要 充分 必要 567891011121314充分条件、必要条件的判断15161718192021充分条件、必要条件与集合的关系22232425充分条件和必要条件的应用262728293031323334353637点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 充要条件
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解充要条件的概念．(难点)
2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(重点)
3．会进行简单的充要条件的证明．(重点、难点)
1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养.
1．充要条件的概念
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
2．充要条件的判断
(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(1)若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(2)若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(3)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．下列命题，条件p是结论q的充要条件的是( )
A．p：a＝0，q：ab＝0 B．p：a＝b，q：(a－b)2＝0
C．p：|a|＝1，q：a＝1 D．p：a＝b，q：|a|＝|b|
B [A.a＝0?ab＝0；若ab＝0可以推出a和b至少有一个为0，故A错误；
B．a＝b?(a－b)2＝0，故B正确；
C．若|a|＝1，可得a＝±1，|a|＝1，推不出a＝1，故C错误；
D．若|a|＝|b|，可得a＝±b，故D错误．故选B.]
2. 设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
A [∵x>2?x>1，但x>1x>2，∴选A.]
3．“a＝0且b＝0”是“a2＋b2＝0，a，b是实数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C [a＝0且b＝0可以推出a2＋b2＝0，a2＋b2＝0可以推出a＝0且b＝0.]
4．有下列命题： ①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件； ②a＞b＞0是＜的充要条件； ③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．其中错误的说法有________．(填序号)
①②③ [①由不等式的性质易得a＞b＞0?a2＞b2，反之则不成立，如a＝－2，b＝1.
②由不等式的性质易得a＞b＞0?＜，反之则不成立，如a＝－2，b＝1.
③由不等式的性质易得a＞b＞0?a3＞b3，反之则不成立，如a＝－2，b＝－3.]
充要条件的判断
【例1】 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：x>0，y>0，q：xy>0；
(2)p：a>b，q：a＋c>b＋c；
(3)p：x>5，q：x>10；
(4)p：a>b，q：a2>b2.
[解] 命题(1)中，p?q，但qp，故p不是q的充要条件；
命题(2)中，p?q，且q?p，即p?q，故p是q的充要条件；
命题(3)中，pq，但q?p，故p不是q的充要条件；
命题(4)中，pq，且qp，故p不是q的充要条件．
充要条件判断的两种方法
(1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向．
1．在下列四个结论中，正确的有( )
①设x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③“a2>b2”是“a>b的充分不必要条件”；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
C [对于结论①，∵x＞2?x＞1，但x>1x＞2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0?a，b不全为0，反之，由a，b不全为0?a2＋b2≠0，故④正确．]
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
提示：若p是q的充分不必要条件，则A(B，若p是q的必要不充分条件，则B(A.
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的什么条件？若N?M，M＝N呢？
提示：若M?N，则p是q的充分条件；若N?M，则p是q的必要条件；若M＝N，则p是q的充要条件．
【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[思路点拨]
[9，＋∞) [因为p是q的充分不必要条件，所以p?q且qp.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．]
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
(1(化简p，q两命题；
(2(根据p与q的关系(充分、必要、充要条件(转化为集合间的关系；
(3(利用集合间的关系建立不等式；
(4(求解参数范围.
2．已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P.
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是[－1,5].
有关充要条件的证明或求解
【例3】 已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
[证明] 先证充分性：若a＋b＝1，
则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立，
必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0，
∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1成立，
综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
充要条件的证明策略
(1(要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方面进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
(2(在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.
3．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p?q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
②证明q?p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A [当x＝1时，x2－2x＋1＝0.由x2－2x＋1＝0, 解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0成立的充要条件”. ]
2．设实数a，b满足|a|＞|b|，则“a－b＞0”是 “a＋b＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [由a－b＞0，得a＞b.又|a|＞|b|，得 a＋b＞0.由a＋b＞0，得a＞－b.又|a|＞|b|，得a＋b＞0.故“a－b＞0”是“a＋b＞0”的充要条件．]
3．函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
A [∵y＝x2＋mx＋1＝2＋1－，
∴函数的图像的对称轴为x＝－，由题意：－＝1，
∴m＝－2.]
4．在平面直角坐标系中，点(x,1－x)在第一象限的充要条件是________．
0＜x＜1 [由题意，可得x＞0，且1－x＞0，∴0＜x＜1.]
课件39张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语
1.2.3 充分条件、必要条件
第2课时 充要条件234充要条件p?qq?p5互为充要充分必要充要678910111213充要条件的判断141516171819充分条件、必要条件、充要条件的应用202122232425有关充要条件的证明或求解26272829303132333435363738点击右图进入…Thank you for watching !
集合的并、交、补运算
【例1】 已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．
(1)用列举法表示集合A与B；
(2)求A∩B及?U(A∪B)．
[解] (1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．
(2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以?U(A∪B)＝{0,5,6}．
集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.
1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝( )
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
D [∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，
∴?U(A∪B)＝{4}．]
集合关系和运算中的参数问题
【例2】 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；
(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？
[解] (1)A＝{x|0≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<0或x>2}．
∵(?RA)∪B＝R，
∴
∴－1≤a≤0.
(2)由(1)知(?RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，
∴A?B，这与A∩B＝?矛盾．即这样的a不存在．
根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A?B的问题转化为A(B或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.
2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B?A，求实数k的取值范围.
[解] 由于B?A，在数轴上表示A，B，如图，
可得解得
所以k的取值范围是.
充分条件与必要条件
【例3】 已知a≥，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤.
[解] 因为a≥，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图像的对称轴方程为x＝＝，且0＜≤1，当x＝时，y＝＋c.
先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即＋c≤1，所以c≤.
再证充分性：
因为c≤，当x＝时，y的最大值为＋c≤＋＝1，所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}，
y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1.
即充分性成立．
利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.
3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．
－或 [p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－.
由题意知pq，q?p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.
综上可知，a＝－或a＝.]
全称量词与存在量词
【例4】 (1)下列语句不是全称量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高一(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个实数都有大小
(2)命题p：“?x∈R，x2＞0”，则( )
A．p是假命题；p：?x∈R，x2＜0
B．p是假命题；p：?x∈R，x2≤0
C．p是真命题；p：?x∈R，x2＜0
D．p是真命题；p：?x∈R，x2≤0
(1) C (2) B [(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选C.
(2)由于02＞0不成立，故“?x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”，故选B.]
“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系
(1(一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x(的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.
(2(与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.
4．下列命题不是存在量词命题的是( )
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．在实数范围内，有些一元二次方程无解
D．有一个m使2－m与|m|－3异号
B [选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．]
5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．
存在一个能被7整除的数不是奇数 [原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．]
课件28张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语章末复习课2345集合的并、交、补运算6789集合关系和运算中的参数问题101112131415充分条件与必要条件161718192021全称量词与存在量词222324252627Thank you for watching !