课件44张PPT。第三章 函数3.3 函数的应用(一)1111111111一次函数模型的应用11111二次函数模型的应用111111111分段函数模型的应用111111111111111111点击右图进入…Thank you for watching !3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解几种常见函数模型的概念及性质．(难点)
2．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．(重点、难点)
1.通过几种函数模型的学习，培养数学抽象的素养．
2．理解几种函数模型的应用，培养数学建模的素养.
1．对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模．
2．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．
1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．一次函数
C．二次函数 D．反函数
A [根据图像知，在不同的时间段内，行驶路程关于时间变化的图像不同，故对应函数模型应为分段函数．]
2．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为( )
A．y＝·x B．y＝·x
C．y＝·x D．y＝·x
B [据题意有＝c%，
所以＝c，即ax＋by＝cx＋cy，
所以(b－c)y＝(c－a)x，所以y＝·x.]
3．某车主每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油的情况：
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(公里)
2017年11月16日
12
32 000
2017年11月21日
48
32 600
(注：“累计里程”是汽车出厂后行驶的总路程)
则16日－21日这段时间内汽车每百公里的平均油耗为( )
A．6升 B．8升
C．10升 D．12升
B [由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6＝8(升)，故选B.]
4．某家具的标价为132元，若降价以九折出售 (即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．
108 [设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.]
数学建模—建立函数模型解决实际问题
【例】 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
[解] (1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元，依题意得
y＝f(x)＋g(20－x)＝x＋(0≤x≤20)．
令t＝(0≤t≤2)，
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，即投资债券16万元，投资股票4万元时获得最大收益，最大收益为3万元．
解决此类问题过程：如下图所示．
某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：
销售单价x(元)
…
30
40
45
50
…
日销售量y(件)
…
60
30
15
0
…
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
[解] (1)根据题干中所给表作图，如图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，
∴解得
∴y＝－3x＋150(x∈N)．
经检验，点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150(x∈N)．
(2)依题意有P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.
1．某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y＝3x＋4，则当产量为4时，利润y等于( )
A．4元 B．16元
C．85元 D．不确定
B [当x＝4时，y＝12＋4＝16.]
2．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(时)的函数表达式是( )
A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)
B．x＝
C．x＝
D．x＝
D [根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．]
3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f(x)＝(A，c为常数)．
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________，.
60,16 [因为组装第A件产品用时15分钟，
所以＝15， ①
所以必有4＜A，且＝＝30， ②
联立①②解得c＝60，A＝16.]
4．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？
[解] (1)由题图可知，直线y甲＝kx＋b经过(1,1)和(6,2)，可求得k＝0.2，b＝0.8.
∴y甲＝0.2(x＋4)．
同理可得y乙＝4.
当x＝2时，y甲＝1.2，y乙＝26，
故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．
(2)规模缩小了．原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．
(3)设第x年规模最大，即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4－x＋＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．
函数图像的对称轴为x＝－＝2，
因为x∈N＋，∴当x＝2时，y甲·y乙＝31.2，
即第二年规模最大，为31.2万只．
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求函数的定义域
【例1】 (1)求函数y＝＋－的定义域；
(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
[解] (1)解不等式组得
故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．
(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为(a－2x)，
所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax，定义域为.
1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
1．函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是( )
A. B.
C. D.∪
D [由得x<1且x≠，故选D.]
求函数的解析式
【例2】 (1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________；
(2)已知f＝＋，则f(x)的解析式为________．
(1)f(x)＝
(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) [(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
(2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋
＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
所以所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]
求函数解析式的题型与相应的解法
(1(已知形如f(g(x((的解析式求f(x(的解析式，使用换元法或配凑法.
(2(已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数(，使用待定系数法.
(3(含f(x(与f(－x(或f(x(与，使用解方程组法.
(4(已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.
2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图像关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.
求函数f(x)的解析式．
(1)x＋ [因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋.]
(2)[解] 因为f(x)的对称轴为x＝－1，
所以－＝－1即b＝2a，
又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，
由条件③知：a>0，且＝0，
即b2＝4ac，由以上可求得a＝，b＝，c＝，
所以f(x)＝x2＋x＋.
函数的性质及应用
【例3】 已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
[思路点拨] (1)用f(0)＝0及f＝求a，b的值；
(2)用单调性的定义求解．
[解] (1)由题意，得∴
故f(x)＝.
(2)任取－1
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵－10,1＋x>0.
又－10，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
1．在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
[解] 由f(t－1)＋f(t)<0得
f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－12．把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析式．
[解] 由题意可知，f(－x)＝f(x)，即＝，∴a＝0，
又f＝，∴b＝，∴f(x)＝.
巧用奇偶性及单调性解不等式
(1(利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1(f(x2(的形式.
(2(根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.
函数的应用
【例4】 某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)
(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
[思路点拨] 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．
[解] 由题图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，
则fA(x)＝
fB(x)＝
(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元．
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18＝0.3(n>500)，
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由题图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)当x>500时，fA(x)>fB(x)．
当60当60fA(x)；当≤x≤500时，fA(x)>fB(x)．
即当通话时间在时，方案B才会比方案A优惠．
1．对于给出图像的应用性问题，首先我们可以根据函数图像用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．
2．对于借助函数图像表达题目信息的问题，读懂图像是解题的关键．
3．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定该店经营的利润，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：
①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
[解] 设该店月利润余额为L，则由题设得
L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①
由销售图易得：
Q＝
代入①式得
L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，这时P＝19.5元，
当20故当P＝19.5元，月利润余额最大为450元．
(2)设可在n年内脱贫，依题意有
12n×450－50 000－58 000≥0.
解得n≥20.
即最早可望在20年后脱贫．
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