(共22张PPT)
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课标要求:1.结合实例,理解并掌握向量数乘的定义及其规定.2.理解两向量共线的含义,能利用共线定理解决简单几何问题.3.掌握向量数乘的运算律,能据此进行有关向量线性运算.
自主学习
1.向量的数乘运算
一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个_______________,这种运算叫做_______________,记作_________,它的长度与方向规定如下:?
(1)︱λa︱=_____________;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向__________;当λ<0时,λa的方向与a的方向_________;λ=0时,λa=______.
知识探究
向量
向量的数乘
︱λ︱︱a︱
相同
相反
0
λ a
探究:如何从代数和几何两个角度看数乘向量呢?
提示:(1)代数角度:λ是实数,a是向量,它们的积仍是向量;另外,λa=0的条件是λ=0或a=0.
(2)几何角度:对于向量的长度而言,①当︱λ︱>1时,有︱λa︱>︱a︱,
这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<-1)上伸长到
︱a︱的︱λ︱倍;
②当0<︱λ︱<1时,有︱λa︱<︱a︱,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(-1<λ<0)上缩短到︱a︱的︱λ︱倍.
2.向量数乘的运算律
设λ,μ为实数,那么
(1)λ(μ a)=______________;
(2)(λ+μ)a=________________;?
(3)λ(a+b)=______________.
特别地,有(-λ)a=-(λa)=__________;λ(a-b)=_____________.
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使_____________.
4.向量的线性运算
向量的___________________运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=__________________.
(λμ)a
λa+μ a
λa+λb
λ(-a)
λa-λb
b=λa
加、减、数乘
λμ1a±λμ2bSS
【拓展延伸】
(1)λ是实数,a是向量,它们的积λa仍然是向量,实数与向量可以相乘,但是不能相加减,如λ+a,λ-a均没有意义.
(3)注意向量数乘的特殊情况:
①若λ=0,则λa=0;
②若a=0,则λa=0.
应该特别注意的是结果是向量0,而非实数0.
(4)要清楚向量数乘与实数乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.
(5)向量共线定理的理解注意点及主要应用
①定理中a≠0不能漏掉.若a=b=0,则实数λ可以是任意实数;若a=0,b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa.
②这个定理可以用一般形式给出:若存在不全为0的一对实数t,s,ta+sb=0,则a与b共线;若两个非零向量a与b不共线,且ta+sb=0,则必有t=s=0.
③向量共线定理主要用来证明两条直线平行、三点共线问题,通过定理把两条直线平行、三点共线这样的几何问题转化为寻求实数λ的代数问题即可.
自我检测
B
D
1.设a是非零向量,λ是非零实数,则以下结论正确的有( )
(1)a与-λa的方向相反;(2)︱-λa︱≥︱a︱;
(3)a与λ2a方向相同;(4)︱-2λa︱=2︱λ︱︱a︱.
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
A
答案:2
题型一
向量的线性运算
课堂探究
解:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
误区警示 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,但这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
(2)对于线性运算,把握运算顺序为运算律去括号→数乘向量→向量加减.常因计算顺序弄错导致结果不正确.
题型二
用已知向量表示未知向量
方法技巧 (1)用已知向量表示未知向量的依据是三角形法则与平行四边形法则以及数乘向量的意义.(2)求解时①注意利用相等向量、相反向量进行转化;②结合图形中的中点、重心等特殊位置转化求解.
向量共线定理的应用
题型三
(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;
方法技巧 (1)要证明向量a,b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa(a≠0)即可.
(2)应用向量共线定理可以证明A,B,C三点共线问题,也可以证明平面几何中两直线平行问题.
(共19张PPT)
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
课标要求:1.了解相反向量的概念.2.了解差向量的概念和向量加减法间的关系.3.掌握向量减法运算,理解其几何意义.
自主学习
1.相反向量
与a长度___________,方向___________的向量,叫做a的相反向量.
(1)规定:零向量的相反向量仍是_____________;
(2)-(-a)=_________;
(3)a+(-a)=(-a)+a=_______;
(4)若a与b互为相反向量,则a=_______,b=________, a+b=________.
探究1:a的相反向量是什么?-a的相反向量是什么?零向量的相反向量是什么?
提示:与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量,记作-a,并且有a+(-a)=0.-a的相反向量是a,即-(-a)=a.规定:零向量的相反向量仍是零向量.
知识探究
相等
零向量
a
0
-b
-a
0
相反
(-b)
相反向量
2.向量减法
(1)定义:a-b=a+______,即减去一个向量相当于加上这个向量的________.
b
a
探究2:向量减法的三角形法则是什么?
提示:当把两个向量a,b的始点移到同一点时,它们的差向量a-b可以通过下面的作法得到:
①连接两个向量(a与b)的终点;
②差向量a-b的方向是指向被减向量的终点.
这种求差向量a-b的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点,连接两终点,方向指被减”.
【拓展延伸】
非零共线向量a,b的差为a-b,
(1)若a,b反向,则a-b与a同向,且︱a-b︱=︱a︱+︱b︱,其几何意义如图(1)所示;
(2)若a,b同向,①若︱a︱>︱b︱,则a-b与a同向,且︱a-b︱=︱a︱-︱b︱,其几何意义如图(2)所示;
②若︱a︱<︱b︱,则a-b与a反向,且︱a-b︱=︱b︱-︱a︱,其几何意义如图(3)所示;
③若︱a︱=︱b︱,则a-b=0,其几何意义如图(4)所示.
自我检测
B
C
D
答案:2
答案:③④
题型一
向量的减法运算
课堂探究
题后反思 向量减法运算的解题思路:(1)转化为加法运算;(2)直接利用减法运算的几何意义,即三角形法则.
(2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
题型二
用已知向量表示其他向量
方法技巧 用已知向量表示其他向量的一般步骤为
(1)观察待表示的向量位置;(2)寻找相应的平行四边形或三角形;(3)运用法则找关系,化简得结果.
两个向量差与和的长度
题型三
【例3】 已知︱a︱=6,︱b︱=8,且︱a+b︱=︱a-b︱,求︱a-b︱.
方法技巧 ︱a+b︱与︱a-b︱的关系:
按向量加法的平行四边形法则、减法的三角形法则得出︱a+b︱与︱a-
b︱是平行四边形的两条对角线是解题关键.
即时训练3-1:已知向量a,b满足︱a︱=6,︱b︱=8,︱a-b︱=10,则︱a+b︱=
.?
解析: 因为︱a︱=6,︱b︱=8,︱a-b︱=10,
所以︱a︱2+︱b︱2=︱a-b︱2,如图a,b,a-b构成直角三角形.
所以︱a+b︱=︱a-b︱=10.
答案:10
(共20张PPT)
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课标要求:1.掌握向量加法的定义,会用三角形法则和平行四边形法则求(作)两个向量的和向量.2.理解向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行简单的向量运算.
自主学习
1.向量加法的定义及运算法则
知识探究
和
定义 求两个向量_______的运算,叫做向量的加法
加法法则 三角形法则 前提 已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
作法
结论
图形
0+a
a
加法法则 平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a,b,在平面内任取一点O
作法 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作?OACB
结论
图形
规定 零向量与任一向量a的和都有a+0=__________=_______.
探究1:︱a+b︱与︱a︱和︱b︱之间的大小关系如何?
提示:当a与b同向共线时,a+b与a,b同向,且︱a+b︱=︱a︱+︱b︱.当a与b反向共线时,若︱a︱>︱b︱,则a+b与a的方向相同,且︱a+b︱=︱a︱-︱b︱;
若︱a︱<︱b︱,则a+b与b的方向相同,且︱a+b︱=︱b︱-︱a︱.当a与b不共线时,由三角形法则知,︱a+b︱<︱a︱+︱b︱.
探究2:向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系?
提示:向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别:①三角形法则中强调“首尾相连”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联系:当两个向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
2.向量加法的运算律
(1)交换律:a+b=___________.
(2)结合律:(a+b)+c=_______________.
b+a
a+(b+c)
自我检测
D
2.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是( )
C
A
3.a,b为非零向量,且︱a+b︱=︱a︱+︱b︱,则( )
(A)a∥b,且a与b方向相同
(B)a,b是共线向量且方向相反
(C)a=b
(D)a,b无论什么关系均可
解析:结合向量运算的三角形法则:︱a+b︱≤︱a︱+︱b︱.
当a与b共线且同向时,有︱a+b︱=︱a︱+︱b︱.故选A.
4.设a表示“向东走了2 km”,b表示“向南走了2 km”,c表示“向西走了2 km”,
d表示“向北走了2 km”,则
(1)a+d表示向 走了 km;?
(2)b+c表示向 走了 km;?
(3)a+c+d表示向 走了 km;?
(4)b+c+d表示向 走了 km.?
题型一
向量加法的两种法则
课堂探究
【例1】如图,已知两个不共线的非零向量a,b,求作a+b.
误区警示 两种法则应用的误区
利用向量的三角形法则求a+b,务必使它们的“首尾顺次连接”,利用平行四边形法则求a+b,务必使它们的起点重合.
即时训练1-1:已知两非零向量a,b(如图所示)求作a+b.
题型二
向量的加法运算
【例2】如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式:
方法技巧 向量加法运算的方法
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
答案:2
向量在平面几何中的应用
题型三
方法技巧 向量加法几何意义的应用
利用向量加法的几何意义解决平面几何问题的基本思想是把平面几何图形中的有关线段转化为向量,然后利用向量加法的几何意义,对相关向量进行合理转化求解.
即时训练3-1: 如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F,E,使BE=DF.
求证:四边形AECF是平行四边形.
