(共33张PPT)
第二章 数 列
2.1 数列的概念与简单表示法
第一课时 数列的概念与通项公式
课标要求:1.通过实例,了解数列的概念.2.掌握数列的两种分类,能对具体数列作出判断.3.理解数列通项公式的概念,能根据数列的前几项写出数列的通项公式.4.能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题.
自主学习
知识探究
1.数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的 .
2.数列的表示
数列中的每一项都和它的 有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n位的数称为这个数列的第n项.
数列的项通常用字母加右下角标表示,其中右下角标表示项的位置序号,所以,数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},例如,数列1,2,3,4,…,n,…,可以简记为{n}.
我们还应注意到这里{an}与an是不同的:{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…;而an只表示这个数列的第n项.这里{an}是数列的简记符号,并不表示一个集合.
项
序号
(1)数列与集合的区别
数列 集合 示例
区
别 数列中的项是有序的 集合中的元素是无序的 数列1,2,3,4与4,3,2,1是不同的数列;{1,2,3,4}与{4,3,2,1}是相同的集合
数列中的项可以重复 集合中的元素不能重复 数列1,-1,1,-1,…,构成集合的元素则不可以重复
数列的各项必须是数 集合中的元素可以是数、图形、字母等 a,b,c不一定构成数列,但可以构成集合
(2)数列与函数的区别与联系
区别 数列 函数
数列的定义域是正整数集 函数的定义域是实数集
数列的图象是孤立的点 函数的图象是光滑的曲线
联系 对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),…
3.数列的分类
序号 分类标准 名称 含义 例子
1 按项的
个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,4,…,100
无穷数列 项数无限的数列 1,4,9,…,n2,…
2 按项的变
化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 3,4,5,…,n
递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项相等的数列 6,6,6,6,…
摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,…
4.通项公式的定义
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这 个公式叫做这个数列的通项公式.如数列2,4,6,8的通项公式是an=2n(1≤n
≤4,n∈N*);全体正偶数组成数列的通项公式是an=2n(n∈N*).
3 按项的
绝对值 有界数列 项的绝对值小于某一正值 1,-1,1,-1,1,
-1,…
无界数列 不存在某一正值能使任一项的绝对值小于它 1,2,3,4,…
5.对数列通项公式的理解
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,…,n}为定义域的函数表达式.
(2)正如有些函数关系不一定有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.例如,的不同近似值,精确到1,0.1,0.01,0.001,0.000 1,…所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.414 2,…就没有通项公式.
(3)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.例如:数列-1,1,-1,
1,…的通项公式可以写成an=(-1)n(n∈N*),也可以写成an=
(4)数列通项公式的作用
依次用1,2,3,…代替公式中的n就可以求出数列的各项;用数列的通项公式可以判断某数是否是数列中的项;借助通项公式能有利于对数列各种性质的研究.
(5)掌握以下数列的通项公式
自我检测
1.下面三个结论:
①1,1,1,1,…是数列;
②cos 0,sin 1,tan 2不是数列;
③-3,-2,1,x,2,3,y,6是一个项数为8的数列.
其中正确的有( )
(A)0个 (B)1个
(C)2个 (D)3个
B
解析:①正确,是按一定次序排列的一列数,符合定义.②错误.cos 0,
sin 1,tan 2都是数,而且是按一定次序排列的,所以它是数列.③错误.因为数列必须是由一列数按一定次序排列而成,但x,y不一定为数.故 选B.
C
C
5.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10= .?
解析:法一 a1=(-1)1×(3×1-2)=-1,a2=(-1)2×(3×2-2)=4,a3=(-1)3× (3×3-2)=-7,a4=(-1)4×(3×4-2)=10,a5=(-1)5×(3×5-2)=-13,a6= (-1)6×(3×6-2)=16,a7=(-1)7×(3×7-2)=-19,a8=(-1)8×(3×8-2)=22, a9=(-1)9×(3×9-2)=-25,a10=(-1)10×(3×10-2)=28,则a1+a2+…+a10= -1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+ (-19+22)+(-25+28)=3×5=15.
法二 事实上,an+1=(-1)n+1[3(n+1)-2],则an+an+1=3(n为奇数),从而a1+a2
=a3+a4=…=a9+a10=3,则a1+a2+…+a10=5×3=15.
答案:15
题型一
数列的概念与分类
课堂探究
解析:分析可知:(1)是有穷递增数列;
(3)是无穷递减数列;
(4)是摆动数列,是无穷数列;
(5)是摆动数列,是无穷数列;
(6)是常数列,是有穷数列.
答案:(1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5)
方法技巧 (1)判断一个数列是有穷数列还是无穷数列时主要分析它的项数是有限的,还是无限的.
(2)判断一个数列的增减性主要分析每一项与其前一项的大小关系.
解:(2),(4)是有穷数列,(1),(3),(5),(6)是无穷数列,(4)是递增数列(1)(2)是递减数列,(3)(5)是摆动数列,(6)是常数列.
题型二
根据数列的前几项写出通项公式
方法技巧 (1)根据数列的前几项写通项公式的方法
①统一项的结构,如都化成分数、根式等.
②分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式.
③对于符号交替出现的情况,可观察其绝对值,再以(-1)n或(-1)n+1(n∈N*)调节符号.
④对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等求通项.
(2)熟练掌握一些基本数列的通项公式
①数列-1,1,-1,1…的通项公式是an=(-1)n.
②数列1,2,3,4,…的通项公式是an=n.
③数列1,3,5,7,…的通项公式是an=2n-1.
④数列2,4,6,8,…的通项公式是an=2n.
⑤数列1,2,4,8,…的通项公式是an=2n-1.
⑥数列1,4,9,16,…的通项公式是an=n2.
(7)0,1,0,1,0,1,…;(8)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;
(9)2,-6,12,-20,30,-42,….
(9)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,…,所以an=(-1)n+1n
(n+1)(n∈N*).
题型三
数列通项公式的应用
(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.
方法技巧 (1)数列的通项公式给出的是第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项;反过来,判断一个数是不是该数列的某一项,只要看以n为未知数的方程有没有正整数解,若有就是,否则就不是.
(2)解决是否存在型问题,可先假设存在,然后代入条件或参数的值或范围,若符合题意,则存在;若不合题意,则不存在.
(共28张PPT)
第二课时 数列的性质和递推公式
课标要求:1.了解数列递推公式的概念;知道递推公式是给出数列的一种方法.2.能根据数列的递推公式写出数列.3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性,会求数列中的最大(小)项.4.了解数列的周期性,能解决相关的简单问题.
自主学习
知识探究
1.递推公式的定义
如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
拓展:类似bn=an·an+1的式子不是递推公式,它只是说明数列{bn}中的各项是由数列{an}中的项an与an+1的积构成的.
2.理解数列的递推公式的注意点
(1)与“不一定所有数列都有通项公式”一样,并不是所有的数列都有递推公式.
(2)用递推公式给出一个数列,必须给出;
①“基础”——数列{an}的第1项(或前几项);
②递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.
拓展:数列表示方法的优缺点
优点 缺点
通项
公式法 便于求出数列中任意指定的一项,利于对数列性质进行研究 一些数列的通项公式表示比较困难
列表法 内容具体、方法简单,给定项的序号,易得相应项 要确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难
图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化,相应项变化的趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难
递推
公式法 可以揭示数列的一些性质,如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌,计算也不方便
3.由递推公式求通项公式的方法
给出递推公式求通项公式,常用方法有:
(1)从特例入手,归纳、猜想数列的通项公式,一般是依次写出前几项,观察项与项的序号的关系,从中寻找规律;
(2)从一般入手,抓住递推公式,充分运用迭代、累加、累乘等常用方法推导通项公式.
4.数列单调性的判断
(1)利用数列单调性的定义:
①作差法:即作差an+1-an后与0比较.
若an+1-an>0对于任意n(n∈N*)恒成立,则数列{an}是递增数列;
若an+1-an<0对于任意n(n∈N*)恒成立,则数列{an}是递减数列;
若an+1-an=0对于任意n(n∈N*)恒成立,则数列{an}是常数列.
(2)利用数列的图象直观地判断.
5.周期数列的概念
对于摆动数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,…,我们观察后可以发现,数列的项-1,1重复出现,用公式表示为an=an+2.若记f(n)=an,则可以表示为f(n)= f(n+2),即数列中的项循环出现,我们称此类数列为周期数列.
周期数列的递推公式的一般形式为an+k=an(n∈N*,k∈N*,k≥2),如数列1,2,
3,1,2,3,1,2,3,…是周期为3的周期数列,满足an+3=an(n∈N*).
6.判断周期数列的方法
要判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列,主要方法是通过递推公式求出数列的若干项,观察得到规律或由递推公式直接发现规律.
自我检测
1.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是( )
(A)递增数列
(B)递减数列
(C)常数列
(D)不能确定
A
解析:an+1-an=3>0,所以an+1>an.故选A.
C
答案:2
4.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3,则{an}中的最大项是第 项.?
答案:7
题型一
利用数列的函数性质判断数列的单调性
课堂探究
【例1】 已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)判断数列{an}的增减性.
方法技巧 根据函数单调性的定义,采用作差法或作商法比较an与an+1的大小关系,从而判断数列{an}的单调性,若an+1>an恒成立,则{an}是递增数列;若an+1
解:法一 an=3n2-n,an+1=3(n+1)2-(n+1),则an+1-an=3(n+1)2-(n+1)-(3n2-n)=6n+2>0,即an+1>an(n∈N*),故数列{an}是递增数列.
即时训练1-1:已知数列{an},其通项公式为an=3n2-n(n∈N*),判断数列{an}的单调性.
题型二
求数列的最大(小)项
【例2】 已知数列{an}的通项公式an=n2-7n-8.
(1)数列中有多少项为负数?
解:(1)令an<0,即n2-7n-8<0,得-1又n∈N*,所以n=1,2,3,…,7,
数列从第1项至第7项均为负数,共7项.
(2)数列{an}是否有最小项?若有,求出其最小项.
解:(2)法一 an=n2-7n-8是关于n的二次函数,
当1≤n≤3时,{an}单调递减;
当n≥4时,{an}单调递增,
所以当n=3或4时,an最小,
且最小项a3=a4=-20.
方法技巧 本题考查数列的单调性.(1)令an<0,求出n的范围,找出范围内的正整数.(2)由an是关于n的二次函数,可结合二次函数的知识,探求数列的最
小项;也可利用 解不等式组,寻求数列的最小项.
应用函数的有关知识解决数列问题时,要注意n的取值是正整数.
题型三
由数列的递推公式求其通项公式
方法技巧 数列的递推公式求通项公式的常用方法:
(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项.
即时训练3-1:(1)已知数列{an},a1=2,an=2an-1(n≥2),求数列的通项公式an;
