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2.2 等差数列
第一课时 等差数列的概念与通项公式
课标要求:1.通过实例,理解等差数列和等差中项的概念,深化认识并能运用.2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一次函数的关系.
自主学习
知识探究
1.等差数列的定义
(1)一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的 的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d表示.
(2)由等差数列的定义知,等差数列{an}满足a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d,其中d是与n无关的常数.
因此,等差数列的定义可用数学符号语言描述为an-an-1=d对任意的n≥2,n∈
N*均成立,故an+1-an=d对任意的n∈N*均成立,上述两式通常作为判断数列是否为等差数列的依据.
2
前一项
公差
2.对等差数列定义的理解
(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.
(2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件.
(3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
4.等差数列的通项公式
以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式为an= .
5.等差数列通项公式的推导
通项公式的推导,教材是根据等差数列的定义,通过归纳的方式得出的,还可以采用以下的推导方法:
法一(累加法) 因为{an}是等差数列,所以
an-an-1=d,
an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,
…
a2-a1=d,
两边分别相加得an-a1=(n-1)d,所以an=a1+(n-1)d.
a1+(n-1)d
法二(迭代法) {an}是等差数列,则有an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+
2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.
法三(逐差法) {an}是等差数列,则an=an-an-1+an-1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+ an-2=…=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.
自我检测
1.下列说法中正确的是( )
(A)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数,这个数列就叫等差数列
(B)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列
(C)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和都等于常数,这个数列就叫等差数列
(D)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列
D
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起;
②差为同一个常数,故选D.
A
3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为( )
(A)6斤 (B)9斤 (C)9.5斤 (D)12斤
A
解析:由题意,金箠的每一尺的重量依次成等差数列,从细的一端开始,第一段重2斤,第五段重4斤,由等差中项知,第三段重3斤,第二段加第四段重3×2=6斤.故选A.
4.等差数列{an}中,a2=2,a4=8,则通项公式an= .?
5.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20= .?
答案:1
题型一
等差数列的通项公式
课堂探究
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
方法技巧 求等差数列的通项公式的两种思路
(1)设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d,即可写出数列的通项公式.
(2)已知等差数列中的两项时,利用an=am+(n-m)d求出公差d就可绕过求首项a1,直接写出等差数列的通项公式.
注意:对于等差数列的通项公式,最终结果一般写成关于n的一次函数的 形式.
即时训练1-1:在等差数列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28.求数列{an}的通项公式.
题型二
等差数列的判定与证明
(2)求数列{an}的通项公式.
方法技巧 判断或证明一个数列{an}为等差数列的常用方法:
(1)定义法:若an-an-1=d(d是常数,n≥2且n∈N*),则数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法:若任意连续三项an-1,an,an+1都有:2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N*),则数列{an}是等差数列.
(3)通项公式法:若an=kn+b(k,b为常数,n∈N*),则数列{an}是等差数列.
(2)求an.
题型三
等差中项的应用
【例3】 一个等差数列由三个数组成,三个数的和为9,三个数的平方和为35,求这个数列.
方法技巧 三个数或四个数成等差数列的设法
当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,
法一:可设出首项a1和公差d,列方程组求解.
法二:采用对称的设法,三个数时,设为a-d,a,a+d;四个数时,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
变式探究:若将题中的三个数改为四个数成等差数列,且四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这个数列.
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第二课时 等差数列的性质及简单应用
课标要求:1.能根据等差数列的定义与通项公式,推导出等差数列的重要性质.2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题.3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题.
自主学习
知识探究
若数列{an}是公差为d的等差数列,则有下列性质:
1.d>0,{an}是递增数列;d<0,{an}是递减数列;d=0,{an}是常数列.
3.an=am+(n-m)d(m,n∈N*).
4.若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
6.若{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+an-i+1=….
7.数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列.
因为λan+b=λ[a1+(n-1)d]+b=(λa1+b)+(n-1)λd,
所以公差为λd.
8.下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列.
9.若数列{bn}为等差数列,则{an±bn},{kan+bn}(k为非零常数)也是等差数列.
10.项数间隔相等或连续等长的项之和仍构成等差数列.例如:a1,a3,a5,…构成等差数列,再比如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍构成等差数列.
【知识拓展】 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*)不可以推广为“若m,n∈N*,则am+an=am+n”.但可以推广到三项的情况,即“m+n+t=p+q+s,且m,n,t,p,q,s∈N*,则am+an+at=ap+aq+as”.
自我检测
1.若{an}是等差数列,下列数列中仍为等差数列的有( )
①{|an|} ②{an+1-an} ③{pan+q}(p,q为常数) ④{2an+n}
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2.已知等差数列{an}中,a3=1,a7=-9,则a5等于( )
(A)-4 (B)4
(C)-8 (D)8
C
A
解析:由a3+a7=2a5=1-9=-8得a5=-4.故选A.
3.在等差数列{an}中,已知a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8= .?
解析:因为a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,
所以a5=90,
a2+a8=2a5=2×90=180.
答案:180
题型一
等差数列性质的应用
课堂探究
【例1】 等差数列{an}中:
(1)若a7=m,a14=n,则a21= ;?
解析:(1)因为7+21=14+14,
所以a7+a21=2a14,
所以a21=2a14-a7=2n-m.
答案:(1)2n-m
(2)若a1+a3+a5=-1,则a1+a2+a3+a4+a5= ;?
(3)若a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,且a4>a2,则a5= .?
答案:(3)13
方法技巧 求解等差数列有关计算问题的常用方法:一是基本量方法,即建立关于a1和d的方程组求出a1和d再解决问题;二是运用等差数列的性质,若m+n=p+q=2k,且m,n,p,q,k∈N*,则am+an=ap+aq=2ak.
即时训练1-1:(1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )
(A)14 (B)21
(C)28 (D)35
解析:(1)因为a3+a4+a5=12,
所以3a4=12,则a4=4,
又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,
故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.
(2)已知{an},{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为( )
(A)-6 (B)6
(C)0 (D)10
解析:(2)由于{an},{bn}都是等差数列,
所以{an-bn}也是等差数列,
而a1-b1=6,a20-b20=6,
所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.故选B.
题型二
等差数列的综合问题
(2)试问a1a2是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.
方法技巧 解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.
(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.
(3)利用函数或不等式的有关方法解决.
即时训练2-1:已知数列{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
解:(1)设等差数列的公差为d.
因为a1+a2+a3=12,
所以a2=4,
因为a8=a2+(8-2)d,
所以16=4+6d,
所以d=2,
所以an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.故an=2n.
(2)若从数列{an}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出数列{bn}的通项公式.
解:(2)a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.
当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.
所以数列{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列.
所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.
故bn=4n.
题型三
等差数列的实际应用
【例3】 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.
请根据提供的信息说明,求:
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由;
(3)哪一年的规模最大?请说明理由.
(2)因为c6=a6b6=2×10=20所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.
方法技巧 (1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决.
(2)解答等差数列应用题的一般步骤:①审题;②建模,将实际问题转化为数学问题;③判型,分清该数列是否为等差数列;④求解,按照等差数列的有关知识求出结果;⑤还原,将结果还原到实际问题中.
即时训练3-1:某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是 8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.
试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次)
解:设在相同的时间内,
从低到高每档次产品的产量分别为a1,a2,…,a10,
利润分别为b1,b2,…,b10,
则{an},{bn}均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,
所以an=60-3(n-1)=-3n+63,
bn=8+2(n-1)=2n+6,
所以利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)
=-6n2+108n+378
=-6(n-9)2+864.
显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864.
答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.
