2019年高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和课件新人教A版必修5(共34张PPT)

(共34张PPT)
2.3　等差数列的前n项和
课标要求:1.掌握等差数列的前n项和公式,了解推导等差数列前n项和公式的方法——倒序相加法.2.能够利用等差数列的前n项和公式进行有关的计算.3.掌握等差数列前n项和的最值问题的解法.4.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.5.理解an与Sn的关系,会利用这种关系解决有关的问题.
自主学习
知识探究
1.数列的前n项和的概念
一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an.
3.等差数列的前n项和公式
首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列{an}的前n项和为Sn= ,

首项为a1,公差为d,项数为n的等差数列{an}的前n项和为Sn= .
5.前n项和的最值
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则
(1)当a1<0,d<0时,Sn有最大值S1=a1,无最小值.
(2)当a1>0,d<0时,数列{an}只有前面的有限项为非负数,从某项开始其余所有项均为负数,所以Sn有最大值,无最小值.
(3)当a1<0,d>0时,数列{an}只有前面的有限项为负数,从某项开始其余所有项均为非负数,所以Sn有最小值,无最大值.
(4)当a1>0,d>0时,Sn有最小值S1=a1,无最大值.
(5)当d=0时,数列{an}为常数列.
(2)若等差数列共有2n-1项,则S2n-1=(2n-1)an;若等差数列共有2n项,则S2n=
n(an+an+1).
(5)“片段和”性质:等差数列{an}中,公差为d,前k项的和为Sk,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S(m-1)k,…构成公差为k2d的等差数列.
自我检测
1.在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S5等于(　 　)
(A)10
(B)20
(C)30
(D)40
C
2.记在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列的前11项和S11等于(　 　)
(A)58 (B)88
(C)143 (D)176
B
解析:因为S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,
所以S2+(S6-S4)=2(S4-S2),
所以4+(S6-20)=2(20-4),
所以S6=48.
故选D.
3.记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则S6等于(　 　)
(A)42 (B)44
(C)46 (D)48
D
4.等差数列{an}中,若a1+a4+a7=15,a3+a6+a9=3,则S9=　　　　.?
答案:27
5.记等差数列{an}前n项和为Sn.若am=10,S2m-1=110,则m的值为　　　　.?
答案:6
题型一
等差数列前n项和的基本运算
课堂探究
答案:(1)C　
(2)在等差数列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列{an}的前n项和,则S11等于(　　)
(A)18 (B)99 (C)198 (D)297
(3)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=　　　　.?
答案:(2)B　(3)-72
方法技巧 (1)等差数列运算问题的通性通法
①等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
②等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.
(2)等差数列设项技巧
若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a-d,a,a+d;若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
(2)因为S4=2+6d=20,所以d=3,故S6=3+15d=48.故选D.
(3)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于(　　)
(A)-6 (B)-4 (C)-2 (D)2
解析:(3)法一　(基本量法)设公差为d,则8a1+28d=4a1+8d,即a1=-5d,a7=a1+6d=-5d+6d=d=-2,所以a9=a7+2d=-6.
法二　(性质法)根据等差数列的定义和性质可得S8=4(a3+a6),又S8=4a3,
所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.故选A.
题型二
等差数列前n项和的最值问题
【例2】 等差数列{an}的首项a1>0,设其前n项和为Sn,且S5=S12,则当n为何值时,Sn有最大值?
方法技巧 求等差数列前n项和Sn最值的三种方法
(1)函数法
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解.
即时训练2-1:等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn取得最大值.
题型三
等差数列前n项和的性质及应用
【例3】 已知{an}为等差数列,前10项的和为S10=100,前100项的和S100=10,求前110项的和S110.
方法技巧 求数列的前n项和有着不同的途径,特别是运用一些等差数列的性质和等差数列前n项和的性质使问题解决变得很简单.熟练掌握性质,可以大大减少运算量,提高正确率.
即时训练3-1:(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(　　)
(A)63 (B)45 (C)36 (D)27
解析:(1)由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列.
即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45,即a7+a8+a9=45,故选B.
答案:(1)B
(2)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为(　　)
(A)13 (B)12 (C)11 (D)10
答案:(2)A
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=　　　　.?
解析:(3)因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,所以2(S20-S10)=S10+S30-S20,
所以40=10+S30-30,所以S30=60.
答案:(3)60
题型四
an与Sn的关系及其应用
【例4】 已知正项数列{an}满足a1+a2+a3+…+an= (an+1)2(n∈N*).求数列{an}的通项公式.
方法技巧 已知an与Sn的关系,求an的步骤
(1)当n≥2时,用an=Sn-Sn-1计算得到an.
(2)当n=1时,用a1=S1计算得到a1的值.
(3)检验(2)中a1的值是否满足(1)中得到的an,若满足,则通项公式就是an;若不满足,则用分段的形式表示.