(共27张PPT)
2.4 等比数列
第一课时 等比数列的概念与通项公式
课标要求:1.通过实例,理解等比数列和等比中项的概念,深化认识并能运用.2.探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题.3.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.
自主学习
知识探究
1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 等于同一常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的 ,公比通常用字母q表示(q≠0).
等比数列的定义还可以用符号语言表述为:
比
公比
3.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则这个等比数列的通项公式是an=
(n∈N*,q≠0).
a1qn-1
自我检测
D
C
C
解析:a4=a1q3=a1(-3)3=27,故a1=-1,
a7=a1q6=-1×(-3)6=-729.
答案:-729
4.在等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a7= .?
5.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是
.?
解析:设等比数列{an}的公比为q,q>0,则a8=a6+2a4即为a4q4=a4q2+2a4,解得q2=2(负值舍去),又a2=1,所以a6=a2q4=4.
答案:4
题型一
等比数列的通项公式及其应用
课堂探究
【例1】 在等比数列{an}中,
(1)若a4=2,a7=8,求an;
(2)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
方法技巧 等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1中含有四个量:首项a1,公比q,项数n和第n项an,只要知道其中的三个,就可以求出另一个.
即时训练1-1:在等比数列{an}中,
(1)已知a3=9,a6=243,求a9;
题型二
等比数列的判断与证明
(2)Sn+1=4an.
方法技巧 判定数列是等比数列的常用方法
变式探究:本例中,将条件改为已知Sn=3an+1,如何证明{an}是等比数列,并求出通项公式?
即时训练2-1: (1)已知a1=1,an+1=2Sn+1,试判断数列{an}是否为等比数列?并证明.
解:(1)数列{an}是等比数列.
证明:因为an+1=2Sn+1,
所以an=2Sn-1+1(n≥2).
两式相减,得an+1-an=2an,
即an+1=3an(n≥2),
又a2=2S1+1=3,a1=1,
所以a2=3a1.
所以{an}是首项为1,公比为3的等比数列.
(2)已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),判断数列{an}是不是等比数列,并说明理由.
题型三
等比中项的应用
【例3】 (1)已知等比数列{an}满足a2=4,a6=64,则a4等于( )
(A)-16 (B)16 (C)±16 (D)32
解析:(1)由等比中项得=a2a6=4×64=256,又a4=a2q2>0,则a4=16,故选B.
方法技巧 熟练掌握等差或等比数列的性质,尤其是等差中项、等比中项,要牢记等比中项有2个.
(2)等差数列{an}的公差d≠0,且a3=0,若ak是a6与ak+6的等比中项,则k等于( )
(A)5 (B)6 (C)9 (D)11
(共24张PPT)
第二课时 等比数列的性质及应用
课标要求:1.掌握等比数列的几个基本性质,能够运用这些性质解决等比数列中的有关问题.2.能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列中的计算问题.3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题.
自主学习
知识探究
(3)当q=1时,等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0).
(4)当q<0时,等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项也同号,但是奇数项与偶数项异号).
显然等比数列的单调性要比等差数列的单调性复杂得多.
2.等比数列常见性质
若{an}是等比数列,公比是q,则
(1)an=a1qn-1=a2qn-2=…= (n>m,n,m∈N*);
(2)对称性:a1an=a2an-1=a3an-2=…=am (n>m,n,m∈N*).
amqn-m
an-m+1
自我检测
1.已知{an},{bn}都是等比数列,那么( )
(A){an+bn},{an·bn}都一定是等比数列
(B){an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等比数列
(C){an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等比数列
(D){an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列
C
解析:两个等比数列的对应项的和可能为0,即不一定为等比数列,但乘积仍是一个等比数列.故选C.
A
解析:lg a3+lg a4=lg(a3a4)=lg(a2a5)=lg 10=1.
答案:1
3.正项等比数列{an}中,a2a5=10,则lg a3+lg a4= .?
答案:1 024
题型一
等比数列性质的应用
课堂探究
(2)在等比数列{an}中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于 .?
答案:(2)-213
方法技巧 运用等比数列性
即时训练1-1:公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10等于( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
题型二
巧设“对称项”解等比数列问题
【例2】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.
方法技巧 等比数列的“对称设项”方法
即时训练2-1:三个数成等比数列,其积为512.若第一个数与第三个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.
题型三
等比数列与等差数列的综合问题
【例3】 已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a2=3,4S2=S4.
(1)求数列{an}的通项公式;
方法技巧 求解等差、等比数列综合的问题的技巧
(1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系.
(2)发挥两个数列的基本量a1,d或b1,q的作用,并用好方程这一工具.
(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验.
即时训练3-1:设数列{an}的前n项和Sn=2an-2n.
(1)求a3,a4;
(1)解:因为a1=S1=2a1-2,所以a1=2,S1=2.
因为Sn=2an-2n,所以2an=Sn+2n,
所以2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,
所以an+1=Sn+2n+1,所以a2=S1+22=2+22=6,
所以S2=2+6=8,所以a3=S2+23=8+23=16,
所以S3=2+6+16=24,所以a4=S3+24=40.
(2)求证{an+1-2an}是等比数列;
(3)求{an}的通项公式.
