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2.5 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和
课标要求:1.掌握等比数列的前n项和公式,了解推导等比数列前n项和公式的过程与方法.2.能够运用等比数列的前n项和公式进行有关的计算.3.掌握等比数列的前n项和的性质及其应用.
自主学习
知识探究
等比数列前n项和公式分q=1与q≠1两种情况,因此当公比未知时,要对公比进行分类讨论.
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1.等比数列{an}中,a1=2,a2=1,则S100等于( )
(A)4-2100 (B)4+2100
(C)4-2-98 (D)4-2-100
C
C
解析:根据题意知,等比数列{an}的公比不是-1.由等比数列的性质,得(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即122=3×(S6-15),解得S6=63.故选C.
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6等于( )
(A)31 (B)32
(C)63 (D)64
C
答案:16
答案:-11
题型一
等比数列的前n项和的基本运算
课堂探究
【例1】 在等比数列{an}中,
(1)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;
方法技巧 (1)解答关于等比数列的基本运算问题,通常是利用a1,an,q,
n,Sn这五个基本量的关系列方程组求解,而在条件与结论间联系不很明显时,均可用a1与q列方程组求解.
(2)运用等比数列的前n项和公式要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程组时,通常用两式相除约分的方法进行消元.
即时训练1-1:已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于 .?
答案:2n-1
题型二
等比数列前n项和的性质
答案:(1)B
(2)已知等比数列{an}的首项a1=1,且a2,a4,a3成等差数列,则数列{an}的公比q= ,数列{an}的前4项和S4= .?
答案:(1)A
(2)若Sn为等比数列{an}的前n项和,且2S4=a5-2,2S3=a4-2,则数列{an}的公比q= .?
答案:(2)3
题型三
等比数列的综合应用
【例3】 已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.
(1)求数列{an}的通项公式;
方法技巧 处理探索性问题的一般方法是:假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立,然后在这个前提下进行逻辑推理.若由此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定结论,其中反证法在解题中起着重要的作用.还可以根据已知条件建立恒等式,利用等式恒成立的条件求解.
即时训练3-1:在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求d,an;
解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.
所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+…+|an|.
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第二课时 数列求和习题课
课标要求:1.通过具体实例,理解并掌握数列的分组求和法.2.通过具体实例,理解并掌握数列的裂项求和法.3.通过具体实例,理解并掌握数列求和的错位相减法.
自主学习
知识探究
1.等差数列的前n项和公式
2.等比数列的前n项和公式
3.数列求和的常用方法
(1)公式法:等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和.
(2)分组转化法:把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差(比)数列,再求解.
(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.
常见的裂项公式
(4)倒序相加法:把数列分别正写和倒写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.
(5)错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,
即等比数列求和公式的推导过程的推广.
(6)并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项 求和.
形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.
4.一些常见数列的前n项和公式
(2)1+3+5+7+…+2n-1=n2.
(3)2+4+6+8+…+2n=n(n+1).
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B
B
2.已知数列{an}的通项公式为an=2n+n,前n项和为Sn,则S6等于( )
(A)282 (B)147
(C)45 (D)70
B
(A)9 (B)99
(C)10 (D)100
4.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+ (n≥2),则数列{an}的前9项和等于
.?
答案:27
题型一
分组求和
课堂探究
【例1】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=n2-n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
解:(1)n=1,2S1=2a1?a1=0,n≥2,
2an=2Sn-2Sn-1=n2-n-[(n-1)2-(n-1)]=2n-2,
?an=n-1,当n=1时,a1=1-1=0,
所以an=n-1.
方法技巧 分组转化法求和的常见类型:(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.(2)通项公式为an=
的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.注意某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,注意在含有字母的数列中对字母的讨论.
即时训练1-1:已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3an+1,求数列{an+bn}的前n项和Tn.
题型二
裂项求和
解:(1)n=1时,a1=S1=2,Sn=2n+1-2,
所以Sn-1=2n-2(n≥2),
所以an=Sn-Sn-1=2n(n≥2),
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
方法技巧 裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
题型三
错位相减法求和
【例3】 已知数列{an}中,a1=2, = +3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和.
方法技巧 错位相减法求和:要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
即时训练3-1:已知数列{an}的前n项和Sn= (an-1),n∈N+.
(1)证明:数列{an}为等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)设bn=log3an,求数列{anbn}的前n项和.
