高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.5绝对值不等式第一课时绝对值不等式（25张）

课件25张PPT。3.5　绝对值不等式
第一课时　绝对值不等式(1)课标要求:1.掌握绝对值三角不等式的基本定理及其应用.2.会用绝对值三角不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的几何意义求最值.自主学习知识探究1.定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 时,等号成立.
几何解释:用向量a,b分别替换a,b.
(1)当a与b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义为 .
.
(2)若a,b共线,当a与b 时,|a+b|=|a|+|b|,当a与b 时,
|a+b|<|a|+|b|.
由于定理1与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.ab≥0三角形的两边之和大于第三边反向同向2.定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当 .
时,等号成立.
几何解释:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.当点B不在点A,C之间时:①点B在点A或点C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;②点B不在点A,C上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.
应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.(a-b)(b-c)≥0自我检测B1.已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是(　 　)
(A)|a+b|>|a-b| (B)|a+b|<|a-b|
(C)|a-b|<||a|-|b|| (D)|a-b|<|a|+|b|解析:因为ab<0,所以|a+b|<|a-b|.故选B.A2.若a,b∈R,则以下命题正确的是(　 　)
(A)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
(B)|a|-|b|<|a-b|<|a|+|b|
(C)当且仅当ab>0时,|a+b|<|a-b|
(D)当且仅当ab≤0时,|a-b|=|a|-|b|解析:若a=1,b=-1,则B,D不正确.若a=b=1,则C不正确.故选A.3.若a,b,c∈R,且|a-c|<|b|,则正确的是(　 　)
(A)|a|<|b|+|c| (B)|a|<|b|-|c|
(C)|a|>|b|+|c| (D)|a|>|b|-|c|A解析:因为||a|-|c||≤|a-c|<|b|,所以|a|-|c|<|b|,即|a|<|b|+|c|.故选A.4.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是　　 　,最小值是　　　　.?解析:由定理得|a+b|≤|a|+|b|=5,当且仅当ab>0,即a=3,b=2或a=-3,
b=-2时等号成立.因为|a|最小为0,|b|最小为0,故|a+b|最小值为0.所以|a+b|的最大值是5,最小值是0.
答案:5　05.不等式|x-a|+|x-b|≥|a-b|中等号成立的条件是　　　　.?解析:由定理2易知(a-x)(x-b)≥0时,等号成立.
答案:(a-x)(x-b)≥0题型一 利用绝对值三角不等式证明不等式课堂探究解:(1)由|a-b|>c及|b-c|由c-a<|c-a|知c-a<0,故c(A)|a+b|+|a-b|>2 (B)|a+b|+|a-b|<2
(C)|a+b|+|a-b|=2 (D)不可能比较大小解:(1)当(a+b)(a-b)≥0时,
|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2.
当(a+b)(a-b)<0时,
|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.故选B.题型二 利用绝对值三角不等式求最值【例2】 (1)函数y=|x+1|+|x-2|的最小值为　　　　.?解析:(1)y=|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3,
所以y≥3.
所以函数的最小值为y=3,此时(x+1)(2-x)≥0,
即-1≤x≤2.
所以-1≤x≤2时,函数的最小值为3.答案:(1)3(2)若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.?解析:(2)设f(x)=|x-4|-|x-3|,
则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值.因为|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,
即f(x)max=1,
所以a≥1.
答案:(2)[1,+∞)方法技巧 (1)利用绝对值三角不等式求函数y=|f(x)|+|g(x)|的最小值,可利用|f(x)|+|g(x)|≥|f(x)+g(x)|或|f(x)+g(x)|≥|f(x)-g(x)|来求解,选择依据是看用哪个能消去变量x.此外,也可求y=|f(x)|-|g(x)|的最大值.
(2)求不等式恒有解时参数的取值范围,其原理是:若函数f(x)在D上存在最大值f(x)max(或最小值f(x)min),则对一切x∈D,不等式f(x)B)恒成立,当且仅当f(x)maxB).即时训练2-1:(1)若关于x的不等式|x-1|+|x+m|>3的解集为R,则实数m的取值范围是(　　)
(A)(-∞,-4)∪(2,+∞)
(B)(-∞,-4)∪(1,+∞)
(C)(-4,2)
(D)[-4,1]解析:(1)由于|x-1|+|x+m|>3表示数轴上的x对应点到1和-m的距离之和,它的最小值等于|1+m|,由题意可得|1+m|>3,解得m>2,或m<-4,故实数m的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).故选A.解析:(2)由题意得(|x-1|-|x-2|)max因为(|x-1|-|x-2|)max=2-1=1,
所以1解得实数a的取值范围为(-∞,-1)∪(0,+∞).故选D.(2)若关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1(x∈R)的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　)
(A)(0,1) (B)(-1,0)
(C)(-∞,-1) (D)(-∞,-1)∪(0,+∞)题型三 绝对值三角不等式的综合考查方法技巧 (1)含绝对值不等式的证明,可考虑去掉绝对值符号,也可利用|a+b|≤|a|+|b|及推广形式|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|进行放缩.
(2)对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.应用绝对值不等式性质求函数的最值时,一定要注意等号成立的条件:当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|;当(a-b)(b-c)≥0时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.即时训练3-1:(1)对任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,则实数x的取值范围为　　　　　　　　.?(2)当1≤x≤3时,|3a+2b|-|a-2b|≤|a|·(x+ +1)对任意实数a,b都成立,则实数的取值范围是　 .?