高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.1.2余弦定理（27张）
文档属性
| 名称 | 高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.1.2余弦定理（27张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 765.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-20 15:03:00 | ||
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文档简介
课件27张PPT。1.1.2 余弦定理课标要求:1.掌握余弦定理及其推论.2.会用平面向量方法证明余弦定理.3.能利用余弦定理解决两类解三角形问题.4.能利用余弦定理,结合正弦定理判断三角形的形状.自主学习知识探究1.余弦定理的内容及推论三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即
a2= ,
b2= ,
c2= .
推论:cos A= ,cos B= ,cos C= .b2+c2-2bccos Aa2+c2-2accos Ba2+b2-2abcos C2.对余弦定理的理解
(1)适用范围:对任意的三角形,三个等式都成立.
(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.
(3)简单应用:每个等式都涉及三边和一角四个元素,在等式中可做到知三求一.
若已知边求角时,应用余弦定理的推论较为简单.
(4)定理特例:当夹角为90°时(例如C=90°),则定理变为c2=a2+b2.这就是直角三角形中的勾股定理.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.(5)以cos A= 为例:
若角A为锐角,则cos A>0,从而b2+c2-a2>0,则b2+c2>a2,反之亦成立;
若角A为钝角,则cos A<0,从而b2+c2-a2<0,则b2+c2若角A为直角,则cos A=0,从而b2+c2-a2=0,则b2+c2=a2,反之亦成立.
由此概括为:如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.
由此可判断三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
注意:判断三角形是锐角三角形时,需要确定最大角是锐角或者三个角都是锐角才行.自我检测1.△ABC的两边AB,AC的长分别为5和3,它们夹角的余弦值为- ,则该三角形的第三边长为( )
(A)52 (B)2 (C)16 (D)4BB C3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 >0,则△ABC( )
(A)一定是锐角三角形
(B)一定是直角三角形
(C)一定是钝角三角形
(D)是锐角或直角三角形解析:由 >0得-cos C>0,
所以cos C<0,从而C为钝角,
因此△ABC一定是钝角三角形.
故选C.4.在△ABC中,sin2A-sin2C-sin2B=sin Bsin C,则A等于( )
(A)30° (B)60° (C)90° (D)120°D5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足b2=ac,且c=2a,则cos B= .?题型一 已知两边及一角解三角形课堂探究【例1】 (1)在△ABC中,已知b=3,c=3 ,B=30°,求角A、角C和边a.方法技巧 三角形中,已知两边及一角解三角形有以下两种情况.
(1)三角形中已知两边和一边的对角,有两种解法.一是利用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程,运用解方程的方法求出第三边,这样可免去判断取舍的麻烦.二是运用正弦定理,先求角再求边.
(2)已知两边和两边夹角,直接应用余弦定理求出第三边,然后应用正弦定理或余弦定理推论求出另外两角.即时训练1-1:(1)在△ABC中,已知a=2,b=2 ,c=15°,求A.(2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,c=4( +1),解此三角形.题型二 已知三边(或三边关系)解三角形(2)在△ABC中,已知a2+c2=b2+ac,且sin A∶sin C=( +1)∶2,求角C.误区警示 (1)已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角,再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角,进而求出第三个角.
(2)用正弦定理求角时,要注意根据大边对大角的原理,确定角的大小,防止产生增解或漏解.即时训练2-1:(1)在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg ,则A等于( )
(A)90° (B)60° (C)120° (D)150°(2)△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为( )解析:(2)由题c2=(a+b)2-4=a2+b2+2ab-4,
又C=60°,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab,
所以2ab-4=-ab,
所以ab= .故选A.题型三 利用余弦定理判断三角形形状【例3】 (1)在△ABC中,若sin2A+sin2B(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)不能确定(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a+c=2b,且2cos 2B-
8cos B+5=0,求B的大小,并判断△ABC的形状.方法技巧 判断三角形形状的两种途径.其一是利用正、余弦定理将条件中的角转化为边,通过因式分解,配方等方式得出边的关系,进而判断三角形的形状;其二是利用正、余弦定理将条件中的边转化为角,通过三角变换,得出各内角间的关系,进而判断三角形的形状.即时训练3-1:(1)在△ABC中,若acos A+bcos B=ccos C.试判断△ABC的形状.(2)在△ABC中,若(a-c·cos B)·sin B=(b-c·cos A)·sin A,判断△ABC的形状.
a2= ,
b2= ,
c2= .
推论:cos A= ,cos B= ,cos C= .b2+c2-2bccos Aa2+c2-2accos Ba2+b2-2abcos C2.对余弦定理的理解
(1)适用范围:对任意的三角形,三个等式都成立.
(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.
(3)简单应用:每个等式都涉及三边和一角四个元素,在等式中可做到知三求一.
若已知边求角时,应用余弦定理的推论较为简单.
(4)定理特例:当夹角为90°时(例如C=90°),则定理变为c2=a2+b2.这就是直角三角形中的勾股定理.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.(5)以cos A= 为例:
若角A为锐角,则cos A>0,从而b2+c2-a2>0,则b2+c2>a2,反之亦成立;
若角A为钝角,则cos A<0,从而b2+c2-a2<0,则b2+c2
由此概括为:如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.
由此可判断三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
注意:判断三角形是锐角三角形时,需要确定最大角是锐角或者三个角都是锐角才行.自我检测1.△ABC的两边AB,AC的长分别为5和3,它们夹角的余弦值为- ,则该三角形的第三边长为( )
(A)52 (B)2 (C)16 (D)4BB C3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 >0,则△ABC( )
(A)一定是锐角三角形
(B)一定是直角三角形
(C)一定是钝角三角形
(D)是锐角或直角三角形解析:由 >0得-cos C>0,
所以cos C<0,从而C为钝角,
因此△ABC一定是钝角三角形.
故选C.4.在△ABC中,sin2A-sin2C-sin2B=sin Bsin C,则A等于( )
(A)30° (B)60° (C)90° (D)120°D5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足b2=ac,且c=2a,则cos B= .?题型一 已知两边及一角解三角形课堂探究【例1】 (1)在△ABC中,已知b=3,c=3 ,B=30°,求角A、角C和边a.方法技巧 三角形中,已知两边及一角解三角形有以下两种情况.
(1)三角形中已知两边和一边的对角,有两种解法.一是利用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程,运用解方程的方法求出第三边,这样可免去判断取舍的麻烦.二是运用正弦定理,先求角再求边.
(2)已知两边和两边夹角,直接应用余弦定理求出第三边,然后应用正弦定理或余弦定理推论求出另外两角.即时训练1-1:(1)在△ABC中,已知a=2,b=2 ,c=15°,求A.(2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,c=4( +1),解此三角形.题型二 已知三边(或三边关系)解三角形(2)在△ABC中,已知a2+c2=b2+ac,且sin A∶sin C=( +1)∶2,求角C.误区警示 (1)已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角,再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角,进而求出第三个角.
(2)用正弦定理求角时,要注意根据大边对大角的原理,确定角的大小,防止产生增解或漏解.即时训练2-1:(1)在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg ,则A等于( )
(A)90° (B)60° (C)120° (D)150°(2)△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为( )解析:(2)由题c2=(a+b)2-4=a2+b2+2ab-4,
又C=60°,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab,
所以2ab-4=-ab,
所以ab= .故选A.题型三 利用余弦定理判断三角形形状【例3】 (1)在△ABC中,若sin2A+sin2B
(C)钝角三角形 (D)不能确定(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a+c=2b,且2cos 2B-
8cos B+5=0,求B的大小,并判断△ABC的形状.方法技巧 判断三角形形状的两种途径.其一是利用正、余弦定理将条件中的角转化为边,通过因式分解,配方等方式得出边的关系,进而判断三角形的形状;其二是利用正、余弦定理将条件中的边转化为角,通过三角变换,得出各内角间的关系,进而判断三角形的形状.即时训练3-1:(1)在△ABC中,若acos A+bcos B=ccos C.试判断△ABC的形状.(2)在△ABC中,若(a-c·cos B)·sin B=(b-c·cos A)·sin A,判断△ABC的形状.