2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)
2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点)
1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养．
2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养.
1．算术平均值与几何平均值
对于正数a，b，常把叫做a，b的算术平均值，把叫做a，b的几何平均值．
2．均值不等式
(1)当a＞0，b＞0时，有≥，当且仅当a＝b时，等号成立；
(2)均值不等式的常见变形
①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2；
②若a＞0，b＞0，则ab≤2.
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时“＝”成立．]
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(a≠b)，
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
又∵a＋b＞2(a≠b)，∴a＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
B [∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]
4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．
①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
③ [根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]
对均值不等式的理解
【例1】 给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－－＋－≤－2＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
B [①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确．
②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的．
③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]
1．均值不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．
2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：
(1)定理成立的条件是a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b?＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝?a＝b.
1．下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞1，则x＋≥2＝2；
②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4；
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
② [ ①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝时，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．]
利用均值不等式比较大小
【例2】 (1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D.≥
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)D (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac [(1)由≥得a＋b＝2，
∴A成立；
∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立．
(2)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]
1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
B [显然＞，又因为＜，所以＞＞.故M＞P＞Q.]
利用均值不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.
[思路点拨] 看到＋＋>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．
[证明] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2
＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴＋＋>9.
本例条件不变，求证：>8.
[证明] ∵a，b，c∈R＋，
且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴
＝··
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴＞8.
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[证明] 由均值不等式可得
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
4．已知a＞1，b＞0，＋＝1，求证：a＋2b≥2＋7.
[证明] 由＋＝1，得b＝(a＞1)，
则a＋2b＝a＋＝a＋
＝a＋＋6＝(a－1)＋＋7
≥2＋7，
当且仅当a－1＝时，即a＝1＋时，取等号．
1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有≤.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构.
1．思考辨析
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．( )
(2)若a≠0，则a＋≥2＝2.( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤.( )
[提示] (1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立．
(2)只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立．
(3)因为≤，所以ab≤.
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0<<1
C.< D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由均值不等式知<一定成立．]
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
C [由均值不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．]
4．设a>0，b>0，证明：＋≥a＋b.
[证明] ∵a>0，b>0，
∴＋a≥2b，＋b≥2a，
∴＋≥a＋b.
课件41张PPT。第二章 等式与不等式2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式几何平均值算术平均值≤≥对均值不等式的理解利用均值不等式比较大小利用均值不等式证明不等式点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 均值不等式的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)
2．会用均值不等式求解实际应用题．(难点)
1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．
2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.
已知x，y都是正数．
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
C [∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝
＝＋≥＋2＝
.
故y＝＋的最小值为.]
2．若x>0，则x＋的最小值是________．
2 [x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．]
3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．
100 [∵x，y∈N*，
∴20＝x＋y≥2，
∴xy≤100.]
利用均值不等式求最值
【例1】 (1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0[思路点拨] (1)看到求y＝4x－2＋的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
[解] (1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵0∴1－2x>0，
∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.
利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决.
1．(1)已知x>0，求函数y＝的最小值；
(2)已知0[解] (1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
故y＝(x>0)的最小值为9.
(2)法一：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)
≤＝.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值.
法二：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·
＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值.
利用均值不等式求条件最值
【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
[解] ∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
[解] ∵x，y∈R＋，
∴＋＝(x＋2y)
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝时取等号，
结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.
1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有y＝ax＋型和y＝ax(b－ax)型．
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
[解] 法一：＋＝·1
＝·(a＋2b)
＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当即时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
法二：＋＝＋＝1＋＋＋2
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当即时等号成立，
∴＋的最小值为3＋2.
利用均值不等式解决实际问题
【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[解] 设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0∵00.
∴S≤2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
3．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝
[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋＝560＋48.
当x＋取最小值时，y有最小值．
∵x>0，∴x＋≥2＝30.
当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．
∴当x＝15时，y有最小值2 000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．
1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．
2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.
1．思考辨析
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( )
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.( )
(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.( )
[提示] (1)由a＋b≥2可知正确．
(2)由ab≤2＝4可知正确．
(3)不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )
A．1 B．2 C．2 D．4
A [由均值不等式得，ab≤2＝1.]
3．已知0A. B.
C. D.
A [∵00，
则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×2＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．]
4．已知x>0，求y＝的最大值．
[解] y＝＝.
∵x>0，∴x＋≥2＝2，
∴y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
课件42张PPT。第二章 等式与不等式2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
第2课时 均值不等式的应用小大利用均值不等式求最值利用均值不等式求条件最值利用均值不等式解决实际问题点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十六) 均值不等式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．sA [∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.]
2．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
D [a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；
a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；
a＝4，b＝16，则＜，故C错；
由均值不等式可知D项正确．]
3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是( )
A．ab≤2 B．ab≤
C.≥ D.≤2
D [由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤2，∴≥2，故选D.]
4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )
A．a＞b＞＞
B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞
D.a＞＞＞b
B [a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确．]
5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.＞ B.＋≤1
C.≥2 D.≤
D [由≤2得ab≤4，
∴≥，故A错；
B中，＋＝＝≥1，故B错；
由a＋b＝4，得≤＝＝2，故C错；
由≥2得a2＋b2≥2×2＝8，
∴≤，D正确．]
二、填空题
6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
≤ [∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴≤＝.]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤ [用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]
8．已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
36 [y＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时y取得最小值4.又由已知x＝3时，ymin＝4，
∴＝3，即a＝36.]
三、解答题
9．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4.
[证明] ＋＝＋
＝1＋＋＋1
＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b时“＝”成立．
10．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.
[证明] 左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1
＝＋＋－3.
∵a，b，c为正数，
∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
∴＋＋－3≥3，
即＋＋≥3.
[等级过关练]
1．下列不等式一定成立的是( )
A．x＋≥2 B.≥
C.≥2 D．2－3x－≥2
B [A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误．
B项中，＝≥，∴B正确．
而对于C，＝－，
当x＝0时，＝<2，显然选项C不正确．
D项中取x＝1,2－3x－<2，∴D错误．]
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
C [∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤2＝1，
而4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，
∴a2＋b2≥2.]
3．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________．
2 [xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．]
4．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；
④＋≥2.
其中恒成立的不等式是________．
①② [由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；
②＝
＝≥
＝＝2，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]
5．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋.
[证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴≥，≥，≥，∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等，
∴等号不成立，
∴a＋b＋c＞＋＋.
课时分层作业(十七) 均值不等式的应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a C. D．3
D [∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.]
2．已知x＜0，则y＝x＋－2有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
C [∵x<0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．]
3．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．－3
C．3－2 D．－1
C [∵x＞0，∴y＝3－≤3－2＝3－2.当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立．]
4．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
C [x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋4
＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.
当且仅当
即时等号成立，故x＋y的最小值为9.]
5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25 C．9 D．36
B [(1＋x)(1＋y)≤2
＝2＝2＝25，
当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，
(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.]
二、填空题
6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
[答案] 1
7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
56 [设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，
即x＝12 dm时等号成立．]
8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．
[6，＋∞) [∵a＋b＋3＝ab≤2，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．]
三、解答题
9．当x<时，求函数y＝x＋的最大值．
[解] y＝(2x－3)＋＋
＝－＋，
∵当x<时，3－2x>0，
∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－.
10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
[解] 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－＝118－
＝118－
＝130－
≤130－2＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．
[等级过关练]
1．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
D [y＝＝，
又∵－40.
故y＝－≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．]
2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2
D [∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2＝8，当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，
即8>m2，解得－23．若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
[1＝x＋4y≥2＝4，
∴xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立．]
4．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
[x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤2＋1.∴(x＋y)2≤1.
∴－≤x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立．]
5．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，试求这两个数．
[解] 设＋＝1，a，b∈N*，
∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)
＝1＋9＋＋
≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，即b＝3a时等号成立．
又＋＝1，∴＋＝1，∴a＝4，b＝12.
这两个数分别是4,12.
