3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)
2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)
1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．
2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．
3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.
1．函数的概念
定义
给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的实数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
自变量x的取值的范围 (即数集A)
值域
所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}
思考：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，f是对应关系，y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，h(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
2．两个函数相同
一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．
1．思考辨析
(1)函数y＝f(x)＝x2，x∈A与u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数．( )
(2)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与g(x)＝2x，x∈[0,2]表示的是同一个函数．( )
(3)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与h(x)＝x2，x∈(0,2)表示同一个函数．( )
[提示] (1)两个函数定义域相同，对应关系也相同．
(2)两函数的对应关系不同．
(3)两函数的定义域不同．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．函数y＝的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
C [由x＋1>0得x>－1.
所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]
3．若f(x)＝，则f(3)＝________.
－ [f(3)＝＝－.]
4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________．
x
x＜2
2≤x≤3
x＞3
y
－1
0
1
{－1,0,1} [函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．]
函数的概念
【例1】 (1)下列四组函数，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝x
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝x
D．f(x)＝x2，g(x)＝()4
(2)判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数．
①A＝R，B＝R，对应法则f：y＝；
②A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应法则如图所示．
(1)C [选项A中，由于f(x)＝＝|x|，g(x)＝x两函数对应法则不同，所以它们不是同一函数；
选项B中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；
选项C中，f(x)＝＝x，g(x)＝x的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；
选项D中，f(x)＝x2的定义域为R，g(x)＝()4＝x2的定义域为[0，＋∞)，两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数．]
(2)[解] ①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法则f：y＝的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数．
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
1．判断下列对应关系f是不是定义在集合A上的函数．
(1)A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
(2)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
(3)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．
[解] (1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
(2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
(3)对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．
(4)集合A不是数集，故不是函数．
求函数的定义域
[探究问题]
1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？
提示：不可以．如f(x)＝.倘若先化简，则f(x)＝，从而定义域与原函数不等价．
2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？
提示：[1,2]是自变量x的取值范围．
函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．
【例2】 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝2＋；
(2)f(x)＝(x－1)0＋；
(3)f(x)＝·；
(4)f(x)＝－.
[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．
[解] (1)当且仅当x－2≠0，
即x≠2时，
函数f(x)＝2＋有意义，
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
(3)函数有意义，当且仅当
解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．
[解] 由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.
所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．
求函数定义域的常用方法
?1?若f?x?是分式，则应考虑使分母不为零.
?2?若f?x?是偶次根式，则被开方数大于或等于零.
?3?若f?x?是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.
?4?若f?x?是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.
?5?若f?x?是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
2．下列函数的定义域不是R的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝x2
C．y＝ D．y＝2x
C [A中为一次函数，B中为二次函数，D中为正比例函数，定义域都是R；C中为反比例函数，定义域是{x|x≠0}，不是R.]
3．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝( )
A．{x|x≥－2} B．{x|x＜2}
C．{x|－2＜x＜2} D．{x|－2≤x＜2}
D [由题意得M＝{x|x＜2}，N＝{x|x≥－2}，所以M∩N＝{x|－2≤x＜2}．]
求函数值(值域)
【例3】 设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝.
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；
(2)求函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域．
[思路点拨] (1)直接把自变量x的取值代入相应函数解析式求值即可；
(2)所有函数值的集合即为值域．
[解] (1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.
因为g(x)＝，
所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)．
g(f(2))＝g(10)＝＝.
(2)当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9.
所以函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}．
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域的常用方法
(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域．如：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的值域是R；②反比例函数f(x)＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}；③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域是y；当a＜0时，值域是.
(2)配方法，判别式法是求解二次函数型值域的常用方法．
(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数转化为简单的函数，从而求得函数的值域．
4．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)和f(f(－1))的值．
[解] f(1)＝13＋2×1＋3＝6；
f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.
5．求函数y＝1－x2的值域．
[解] 因为1－x2≤1，所以函数y＝1－x2的值域为(－∞，1]．
1．判断两个函数相同
函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．
2．对函数定义的再理解
(1)函数的定义域必须是非空实数集，因此定义域为空集的函数不存在．如y＝＋就不是函数；集合A中的元素是实数，即A≠?且A?R.
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(3)函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．
例如，对于从集合A＝R到集合B＝R的函数y＝x2，值域是{y|y≥0}，而不是R.
1．思考辨析
(1)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )
(2)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( )
(3)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列函数中，与函数y＝x相等的是( )
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝|x| D．y＝
D [函数y＝x的定义域为R；y＝()2的定义域为[0，＋∞)；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝＝x，且定义域为R.故选D.]
3．将函数y＝的定义域为________．
(－∞，0)∪(0,1] [由
解得x≤1且x≠0，
因此函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．]
4．已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
[解] (1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
∴f(a＋1)＝a＋1＋.
课件54张PPT。第三章 函数3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念非空实数集每一个唯一函数A 相同相同函数的概念求函数的定义域求函数值(值域)点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 函数的表示方法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法．(重点)
2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)
3．理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图像．(重点，难点)
4．能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题．(重点、难点)
1.通过函数表示的图像法培养直观想象素养．
2．通过函数解析式的求法培养运算素养．
3．利用函数解决实际问题，培养数学建模素养.
1．函数的图像
(1)定义：将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．
(2)F是函数y＝f(x)的图像，必经满足下列两条
①图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；
②满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数图像F上．
2．函数的表示法
思考1：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？
提示：不一定．
并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图像法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
3．分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
思考2：分段函数是一个函数还是几个函数？
提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x
1≤x<2
2
2f(x)
1
2
3
A.1 B．2
C．3 D．不存在
C [∵当22．二次函数的图像的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝x2－1
C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16
B [把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B正确．]
3．下列给出的式子是分段函数的是( )
①f(x)＝
②f(x)＝
③f(x)＝
④f(x)＝
A．①② B．①④
C．②④ D．③④
B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]
4．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则其定义域是________．
[－2,3] [由图像可知f(x)的定义域为[－2,3]．]
函数的三种表示方法
【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
[解] ①列表法如下：
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
②图像法：如图所示．
③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
列表法、图像法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图像法中要注意是否连线.
1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则给出的下列图形表示为定义在A上的函数图像的是( )
A B C D
(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
A.1 B．2
C．4 D．5
(1)D (2)B [(1)A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．
(2)由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故选B.]
函数解析式的求法
【例2】 (1)已知f(＋1)＝x－2，求f(x)的解析式；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式；
(3)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式．
[思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．
[解] (1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
因为＋1≥1，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，
所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
(3)过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
①当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；
②当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2；
③当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合①②③，得函数的解析式为
y＝
图像如图所示．
求函数解析式的常用方法
?1?待定系数法：若已知f?x?的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.
?2?换元法：设t＝g?x?，解出x，代入f?g?x??，求f?t?的解析式即可.
?3?配凑法：对f?g?x??的解析式进行配凑变形，使它能用g?x?表示出来，再用x代替两边所有的“g?x?”即可.
?4?方程组法?或消元法?：当同一个对应关系中的两个元素之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.
提醒：?1?应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.
?2?在实际问题背景下，自变量取值区间不同，对应关系也不同，此时需要用分段函数表示.
2．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x＋2 D．f(x)＝3x＋4
A [令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1.]
3．已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.
x－1 [由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得消去f(－x)可得f(x)＝x－1.]
函数的图像及应用
【例3】 (1)作出函数y＝，x∈[2，＋∞)的图像并求出其值域．
(2)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
①5公里以内(含5公里)，票价2元；
②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
[思路点拨] (1)列表→描点→连结；
(2)分段函数的图像需要在同一坐标系中分段画出．
[解] (1)列表
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝的一部分，观察图像可知其值域为(0,1]．
(2)设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式如下：
y＝
函数图像如图所示：
描点法作函数图像的三个关注点
?1?画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.
?2?图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像.
?3?要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
提醒：?1?函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.
?2?分段函数的图像是在同一个直角坐标系内分别作出各段的图像，在作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
4．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示f(x)；
(2)画出f(x)的图像；
(3)若f(a)＝2，求实数a的值．
[解] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2f(x)＝1＋＝1－x，
∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图像如图所示．
(3)∵f(a)＝2由函数图像可知a∈(－2,0)，
∴1－a＝2，即a＝－1.
1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数，解析式后不注明定义域即可视为该函数的定义域为使此解析式有意义的实数集R或R的子集．
2．作函数图像必须要让作出的图像反映出图像的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图像有无对称性，并标明特殊点．
3．分段函数是一个函数，而不是几个函数．
4．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.
1．思考辨析
(1)任何一个函数都可以用解析法表示．( )
(2)函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )
(3)分段函数由几个函数构成．( )
(4)函数f(x)＝是分段函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A. B．3
C. D.
D [∵f(3)＝≤1，
∴f(f(3))＝＋1＝.]
3．函数y＝f(x)的图像如图所示，则其解析式为________．
f(x)＝ [当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；
当1综上，f(x)＝]
4．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．
(1)画出f(x)图像的简图；
(2)根据图像写出f(x)的值域．
[解] (1)f(x)图像的简图如图所示．
(2)观察f(x)的图像可知，f(x)图像上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，
即f(x)的值域是[－1,3]．
课件55张PPT。第三章 函数3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第2课时 函数的表示方法函数图像F上任意一点对应方式取值区间函数的三种表示方法函数解析式的求法函数的图像及应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十八) 函数的概念
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝，则f＝( )
A. B.
C．a D．3a
D [f＝3a，故选D.]
2．下列表示y关于x的函数的是( )
A．y＝x2 B．y2＝x
C．|y|＝x D．|y|＝|x|
A [结合函数的定义可知A正确，选A.]
3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
A [当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}．]
4．函数y＝的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
D [由题意可得所以x≥－1且x≠1，
故函数y＝的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)．故选D.]
5．下列四组函数中表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝()2
B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝，g(x)＝|x|
D．f(x)＝0，g(x)＝＋
C [∵f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝()2(x≥0)两个函数的定义域不一致，∴A中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，∴C中两个函数表示同一函数；f(x)＝0，g(x)＝＋＝0(x＝1)两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一函数，故选C.]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x＋，则f(2)＋f(－2)的值是________．
0 [f(2)＋f(－2)＝2＋－2－＝0.]
7．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝________.
－ [由f(t)＝6，得＝6，即t＝－.]
8．函数y＝的值域是________．
(0,8] [通过配方可得函数y＝＝，
∵(x－2)2＋1≥1，∴0＜≤8，故0＜y≤8.
故函数y＝的值域为(0,8]．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
[解] (1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，所以x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－，
f(12)＝－＝－4＝－.
10．已知集合A是函数f(x)＝的定义域，集合B是其值域，求A∪B的子集的个数．
[解] 要使函数f(x)的解析式有意义，则需满足解得x＝1或x＝－1，所以函数f(x)的定义域A＝{－1,1}．
又f(1)＝f(－1)＝0，所以函数的值域B＝{0}，所以A∪B＝{1，－1,0}，故其子集的个数为23＝8.
[等级过关练]
1．若集合M＝{x|－4≤x≤4}，N＝{y|－2≤y≤2}，下列式子不表示定义在集合M到集合N上的函数的是( )
A．y＝x B．y＝(x－1)
C．y＝x2－2 D．y＝x2
B [当x＝－4时，×(－4－1)＝－?N，故选项B中函数不是定义在集合M到集合N上的函数．]
2．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝ D．y＝|x|
A [对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立；
对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立；
对于C选项，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立；
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．]
3．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．
(0,2) [由题意知即
解得0＜x＜2，于是函数g(x)的定义域为(0,2)．]
4．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
1 2 [∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f(g(1))＝1.
当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，
f(g(x))当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，
f(g(x))>g(f(x))，符合题意；
当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，
f(g(x))5．已知函数f(x)对任意实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)求证f＝－f(x)．
[解] (1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；
令a＝1，b＝0，得f(0)＝f(1)＋f(0)，解得f(1)＝0.
(2)因为·x＝1，所以f＋f(x)＝f＝f(1)＝0，
所以f＝－f(x)．
课时分层作业(十九) 函数的表示方法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是( )
C [距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速行驶，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]
2．已知函数f(x)＝则f(3)的值是( )
A．1 B．2 C．8 D．9
A [f(3)＝3－2＝1.]
3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图像是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A．3 B．2 C．1 D．0
B [由函数g(x)的图像知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.]
4．如果f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
B [令＝t，则x＝，代入f＝，则有f(t)＝＝，所以f(x)＝(x≠0，且x≠1)，故选B.]
5．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0,2]∪{3}
C．[0，＋∞) D．[0,3]
B [当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1二、填空题
6．已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是________．
[依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若07．已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是________．
f(x)＝ [由题图可知，图像是由两条线段组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，得∴即f(x)＝x＋1.
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f(x)＝－x.
综上，f(x)＝]
8．若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．
y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞) [由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0.]
三、解答题
9．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；
(3)已知f＝x2＋＋1，求f(x)的解析式．
[解] (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，
所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.
(2)因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1，得c＝1.
又因为f(x－1)－f(x)＝4x，
所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，
所以f(x)＝－2x2－2x＋1.
(3)∵f＝2＋2＋1＝2＋3.∴f(x)＝x2＋3(x≠0)．
10．已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图像；
(2)求f(x)的定义域和值域．
[解] (1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]．
[等级过关练]
1．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值为( )
A．－1 B．5 C．1 D．8
C [由3x＋2＝2得x＝0，
所以a＝2×0＋1＝1.故选C.]
2．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
A [该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.]
3．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为________．
－1 [因为g(x)＝(x2＋3)，所以g(f(x))＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.]
4．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图像只有一个交点，则a的值为________．
－ [在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图像，如图所示．
由题意，可知2a＝－1，则a＝－.]
5．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过3 000元的部分
3%
超过3 000元至12 000元的部分
10%
超过12 000元至25 000元的部分
20%
某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元．
(1)请写出y关于x的函数关系式；
(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？
[解] (1)由题意，得
y＝
(2)∵该职工八月份交纳了54元的税款，∴5 000故这名职工八月份的工资是6 800元.
